Oplossen goniometrische vergelijkingen

Oplossen goniometrische vergelijkingen

We geven methoden om goniometrische vergelijkingen met sinus- en/of cosinustermen op te lossen. Een aantal basisformules moet je hierbij altijd kennen.

We brengen ze hier bij elkaar:

1) sin ( A +2 π )=sin ( A) c os ( A+2 π )=cos( A ) 2) sin(A +π)=−sin(A) cos(A+π)=−cos(A) 3) sin ( A )=cos

(

1

2π− A

)

cos ( A)=sin

(

1

2π− A

)

4) sin(π − A)=sin(A) cos(π− A)=−cos(A) 5) sin (− A)=−sin ( A ) cos (− A )=cos ( A )

6) sin2_{(A )+cos}2_{(A)=1 , dus sin}2_{(A )=1−cos}2_{(A ) en cos}2_(A)=1−sin2_{(A )}

7) sin (2 A )=2 sin ( A ) cos ( A ) en cos(2 A )=

{

cos2

( A )−sin2( A ) 2 cos2(A)−1

1−2 sin2( A ) Hieruit volgt: cos2( A)=1

2+ 1 2cos (2 A ) en sin 2 ( A )=1 2− 1 2cos (2 A ) 8) sin(A)=sin(B) ⟺ A=B+k∙ 2π ∨ A=π−B+k ∙ 2 π

cos ( A)=cos ( B) ⟺ A=B+k ∙ 2 π∨ A=−B+k ∙ 2 π

9) sin ( A )=0⟺ A=k ∙ π cos ( A)=0⟺ A=1

2π +k ∙ π 10) sin ( A )=1⟺ A=1

2π +k ∙ 2 π cos(A)=1⟺ A=k ∙ 2 π sin ( A )=−1⟺ A=−1

2 π +k ∙ 2 π cos ( A)=−1⟺ A=π +k ∙ 2 π

Hierbij zijn 9) en 10) handige speciale gevallen van 8). Dit lichten we toe met twee voorbeelden.

sin(A)=0⟺sin(A)=sin(0)⟺(volgens 8)A=0+k ∙ 2 π∨ A=π −0+k ∙ 2 π ⟺ A=2 k ∙ π ∨ A=(2 k +1) ∙ π ⟺ A=k∙ π .

cos(A)=−1⟺cos(A)=cos(π)⟺(volgens 8) A=π +k ∙ 2 π ∨ A=−π +k ∙ 2 π ⟺ A=π +k ∙ 2 π .

Meestal proberen we bij een goniometrische vergelijking toe te werken naar een vergelijking van het type 8) , 9) of 10).

cos ( A) kennen. Deze staan in de volgende tabel. α sin(α) cos (α) 0 0 1 1 6 π 1 2 1 2

√

3 1 4 π 1 2

√

2 1 2

√

2 1 3 π 1 2

√

3 1 2 1 2 π 1 0

Een cosinusterm omzetten in een sinusterm of omgekeerd

Dit kan met de formules: sin ( A )=cos

(

1

2π− A

)

en cos ( A)=sin

(

1

2π− A

)

.

Een minteken voor een goniometrische term wegwerken

Dit kan op meerdere manieren. −sin ( A )=

{

sin ⁡(−A ) sin ⁡( A+π ) sin ⁡( A−π ) −cos ( A )=

{

cos ⁡(π − A) cos ⁡( A+π ) cos ⁡(A−π ) .

Kwadratische termen omzetten in eerstegraadstermen

Hiertoe gebruiken we dat cos(2 A )=2 cos2

(A )−1 en cos(2 A )=1−2 sin2(A ) . Hieruit volgt: cos2( A)=1

2+ 1 2cos (2 A ) en sin 2 ( A )=1 2− 1 2cos (2 A ) .

Het product van een sinus en een cosinus van dezelfde hoek eenvoudiger schrijven

Dit kan m.b.v. 7) : sin ( A ) ∙cos ( A )=1

2sin(2 A) (overstappen op de dubbele hoek).

A) sin2

(A )= p ; hierbij is p een getal met 0 ≤ p ≤ 1 . Methode 1

Er volgt dat sin ( A )=

√

p∨sin ( A)=−

√

p .

Deze vergelijkingen dient men apart op te lossen. Methode 2

Gebruik dat sin2( A )=1 2−

1

2cos (2 A ) ; de vergelijking is dan te herleiden tot cos(2 A)=1−2 p .

B) cos2

(A)=p ; hierbij is p een getal met 0 ≤ p ≤ 1 . Methode 1

Er volgt dat cos( A)=

√

p∨ cos ( A )=−

√

p . Deze vergelijkingen dient men apart op te lossen. Methode 2

Gebruik dat cos2( A)=1 2+

1

2cos (2 A ) ; de vergelijking is dan te herleiden tot cos(2 A)=2 p−1 .

Bij A) en B) geldt dat methode 2 (overstappen op de dubbele hoek) sneller tot een oplossing leidt en dat de oplossingen makkelijker zijn weer te geven dan bij methode 1.

Verder dient men er alert op te zijn of er bij de goniometrische vergelijkingen gemeenschappelijke factoren optreden. Je krijgt dan bijvoorbeeld het type:

I) A ∙ B= A ∙ C en dit geeft A=0∨ B=C ; of II) A ∙( B ±C )=0 en dit geeft A=0∨ B ± C=0 .

Opmerking

De vorm van de oplossing die men vindt kan afhangen van de gevolgde methode.

Meestal is het eenvoudig om in te zien dat twee uiterlijk verschillende antwoorden op hetzelfde neerkomen. Dit zullen toelichten bij enkele van de onderstaande voorbeelden.

Voorbeelden 1) sin (3 x)=1

2

√2

Het getal 1

2

√2 herkennen we als een getal uit de tabel zodat we vinden:

sin (3 x)=sin

(

1 4 π

)

, 3 x= 1 4π +k ∙2 π∨ 3 x= 3 4π +k ∙ 2 π , x= 1 12π +k ∙ 2 3π∨ x= 1 4π +k ∙ 2 3π .

2) cos

(

2 x−1 4π

)

= −1 2

√3

Er geldt dat 1 2

√

3=cos

(

1 6π

)

, dus −1 2

√

3=−cos

(

1 6π

)

=cos

(

π− 1 6π

)

=cos

(

5 6π

)

. De vergelijking wordt: cos

(

2 x−1

4π

)

=cos

(

5 6π

)

, 2 x −1 4π = 5 6 π +k ∙2 π∨2 x− 1 4π = −5 6 π +k ∙2 π , x= 13 24π +k ∙ π∨ x= −7 24 π +k ∙ π . 3) sin

(

2( x−1 3π )

)

=0

Deze is van het type sin(A)=0 , dus kan snel opgelost worden: 2

(

x−1 3π

)

=k ∙ π , x− 1 3π=k ∙ 1 2π , x= 1 3π +k ∙ 1 2π . 4) 2 sin2 (4 x )=1 Methode 1 sin2 (4 x )=¿ 1 2 , sin(4 x)=

√

12= 1 2

√

2∨ sin(4 x)=−

√

1 2= −1 2

√

2 . I) sin (4 x)=1 2

√2 , 4 x=

1 4π +k ∙ 2 π∨ 4 x= 3 4π +k ∙ 2 π , x= 1 16π +k ∙ 1 2π∨ x= 3 16π +k ∙ 1 2π . II) sin (4 x)=−1 2

√2 , 4 x=

−1 4 π +k ∙ 2 π∨ 4 x= 5 4 π +k ∙ 2 π , x=−1 16 π+k ∙ 1 2π∨ x= 5 16π +k ∙ 1 2π . Methode 2 sin2(4 x )=1 2− 1

2cos ⁡(8 x) , dus de vergelijking wordt 2

{

1 2− 1 2cos ⁡(8 x)

}

=1 , 1−cos(8 x)=1 , cos(8 x)=0 , 8 x=1 2π +k ∙ π , x= 1 16π +k ∙ 1 8π . We zullen laten zien dat de oplossingen die met de twee verschillende methodes

gevonden zijn identiek zijn. Bij methode 1 vonden we de oplossingen x=₁₆1 π +k ∙1 2π (

•

) x= 3 16π +k ∙ 1 2π ( ) x= 5 16π +k ∙ 1 2π (

×

) x= −1 16 π+k ∙ 1 2π (∎)

Tussen twee opeenvolgende aangegeven punten op deze lijn ligt een afstand van 1 8π . Er volgt direct dat de vier reeksen van oplossingen samen kort te beschrijven zijn

door de formule x=₁₆1 π +k ∙1

8π en dit zijn precies de oplossingen die gevonden zijn met methode 2.

5) 4 sin3

(

1

2x

)

−3sin

(

1 2x

)

=0

We zien dat hier in het linkerlid een gemeenschappelijke factor voorkomt. Deze factor halen we buiten haakjes.

sin

(

1 2x

)

∙

(

4 sin 2

(

12x

)

−3

)

=0 , sin

(

1 2x

)

=0∨ 4 sin 2

(

12x

)

−3=0 ; I) sin

(

1 2x

)

=0 geeft 1 2 x=k ∙ π , x=k ∙ 2 π ; II) 4 sin2

(

1₂x

)

−3=0 geeft sin

(

1

2x

)

= 1 2

√

3∨ sin

(

1 2x

)

= −1 2

√3 ,

II_a : sin

(

1₂x

)

=1 2

√3 ,

1 2 x= 1 3π +k ∙2 π∨ 1 2x = 2 3π +k ∙2 π , x=2 3π +k ∙ 4 π∨ x=1 1 3π +k ∙ 4 π ; IIb : sin

(

1₂x

)

=−1₂

√3 ,

1₂ x=−1₃ π +k ∙2 π∨1₂x=11₃π +k ∙ 2 π , x=−2₃ π +k ∙ 4 π∨ x=22 3π +k ∙ 4 π . We hadden II) ook anders kunnen oplossen.

4 sin2

(

12x

)

−3=0 , 4

{

1 2−

1

2cos ⁡(x)

}

−3=0 , −2 cos( x )=1 , cos( x )= −1 2 , x=2 3π +k ∙ 2 π∨ x= −2 3 π +k ∙ 2 π .

Eenvoudig is in te zien (zie zo nodig voorbeeld 4) dat deze oplossingen een bondiger vorm van zijn van de oplossingen die gevonden zijn met de eerste methode.

6) sin

(

2 x−1

3π

)

=sin

(

1

6 π−4 x

)

, waarbij −π ≤ x≤ π

interval

[

−π , π

]

liggen. 2 x −1 3π = 1 6π−4 x +k ∙2 π∨ 2 x− 13π =π−

(

1 6π−4 x

)

+k ∙ 2 π , 6 x=1₂π +k ∙2 π∨−2 x=7 6π +k ∙ 2 π , x= 1 12π +k1∙ 1 3π∨ x= −7 12 π +k2∙ π .

We moeten nu k₁ en k₂ zodanig kiezen dat de bijbehorende x−¿ waarden in het interval

[

−π , π

]

liggen. k₁=−3→ x=−11 12 π k1=0→ x= 1 12π k1=−2→ x= −7 12 π k1=1 → x= 5 12π k1=−1→ x= −3 12 π= −1 4 π k1=2→ x= 9 12π = 3 4π k2=0→ x= −7 12 π k2=1 → x= 5 12π

We merken op dat de twee oplossingen x=−7

12 π en x= 5

12π twee keer gevonden worden.

Dit betekent dat de grafieken van f ( x)=sin

(

2 x −1

3π

)

en g ( x)=sin

(

1

6π −4 x

)

elkaar raken voor x=−7₁₂ π en x=₁₂5 π . Algemeen duiden meervoudige oplossingen op het raken van de

grafieken van de bijbehorende functies.

7) cos

(

3 x−1

6 π

)

=−sin

(

x + 1

4 π

)

, waarbij 0 ≤ x ≤2 π Eerst het minteken wegwerken: cos

(

3 x−1

6π

)

=sin

(

−x − 1 4π

)

. Vervolgens de sinusterm omzetten in een cosinusterm:

c os

(

3 x−1 6π

)

=cos

(

1 2π −

(

−x− 1 4π

)

)

, cos

(

3 x− 1 6 π

)

=cos

(

x+ 3 4π

)

.

Deze laatste vergelijking is van de vorm cos ( A)=cos ⁡(B) , dus kan op de standaardmanier opgelost worden. 3 x−1 6 π=x + 3 4π+k ∙2 π∨ 3 x− 1 6 π=−x− 3 4 π +k ∙ 2 π , 2 x =11 12π +k ∙ 2 π∨ 4 x= −7 12 π +k ∙ 2 π , x= 11 24π +k1∙ π∨ x= −7 48π +k2∙ 1 2π . We bepalen nu die oplossingen die in het interval

[

0,2 π

]

liggen.

k1=0→ x= 11 24π k2=1 → x= 17 48π k1=1 → x=1 11 24π k2=2→ x= 41 48π k₂=3→ x=117 48π k₂=4 → x=141 48π 8) sin (3 x) cos (3 x )=1 2cos ⁡(4 x)

Links staat het product van een sinus- en cosinusterm van dezelfde hoek, dus gebruiken we de verdubbelingsformule van de sinus.

1₂sin (6 x)=1

2cos ⁡(4 x ) , sin (6 x )=cos ⁡(4 x) , sin (6 x)=sin

(

1 2π −4 x

)

, 6 x=1 2π −4 x+k ∙ 2 π∨ 6 x=π −

(

1 2π −4 x

)

+k ∙2 π , 10 x=1 2π +k ∙ 2 π∨2 x= 1 2π +k ∙ 2 π , x= 1 20π +k ∙ 1 5π∨ x= 1 4 π +k ∙ π . 9) cos ( 4 x )−sin2(2 x )=1 4 .

Hier zetten we de kwadratische term om in een eerstegraadsterm die een uitdrukking is van de cosinus van de dubbele hoek dus van cos(4 x) .

cos ( 4 x )−

{

1 2− 1 2cos ⁡(4 x)

}

= 1 4 , 3 2cos ( 4 x )= 3 4 , cos( 4 x)= 1 2

,

4 x=1 3π +k ∙2 π∨ 4 x= −1 3 π +k ∙ 2 π , x= 1 12π +k ∙ 1 2π∨ x= −1 12 π +k ∙ 1 2π .

10) sin (2 x )=

√

3 cos (2 x) , waarbij 0 ≤ x ≤2 π

De gebruikelijke methodes leiden hier vanwege de factor

√

3 niet tot een simpele

standaardvergelijking. Als we echter bedenken dat het kwadraat van een sinusterm uitgedrukt kan worden in het kwadraat van een cosinusterm met dezelfde hoek (vanwege de formule sin2

(A )=1−cos2(A )¿ , dan ligt de aanpak voor de hand: kwadrateer beide leden van de vergelijking.

sin2

(2 x )=3 cos2(2 x ) , 1−cos2(2 x )=3 cos2(2 x ) , 4 cos2(2 x )=1 , 4

{

1

2+ 1

2cos (4 x)

}

=1 , 2 cos(4 x)=−1 , cos( 4 x)= −1 2 , 4 x=2 3π +k ∙ 2 π∨4 x = −2 3 π +k ∙2 π , x= 1 6π +k ∙ 1 2π∨ x= −1 6 π +k ∙ 1 2π . De oplossingen op het interval

[

0,2 π

]

zijn:

1 6π , 1 3π , 2 3π , 5 6 π , 1 1 6π , 1 1 3π , 1 2 3π , 1 5 6π .

We dienen deze oplossingen nog te controleren omdat we gekwadrateerd hebben. Na controle blijven nog slechts over de oplossingen 1

6 π , 2 3π , 1 1 6π , 1 2 3π . Opmerking

Voor wie bekend is met de basiseigenschappen van de tangensfunctie is een snellere oplossing mogelijk. We gebruiken de eigenschap:

tan ( A )=tan ( B) ⟺ A=B+k ∙ π . De gegeven vergelijking is te herschrijven tot sin(2 x)

cos(2 x)=

√3 , tan (2 x )=

√

3 , tan (2 x )=tan

(

1 3 π

)

, 2 x = 1 3π +k ∙ π , x=1₆π +k ∙1 2π .

Dit geeft op het interval

[

0,2 π

]

de vier eerder gevonden oplossingen: ₆1π , ₃2π ,

11

6π , 1 2 3π .