Structurele veranderingen in
voorspellingstrategieën
Niels Groot
6326005
28 – Juni – 2013
Econometrie
Universiteit van Amsterdam
Bachelorscriptie
Inhoudsopgave
1. Introductie……...………. 3
2. Theoretisch kader……...……….. 4
2.1. Samenvatting eerder onderzoek……….... 4
2.2. Achtergrondtheorie structurele breuken…….………..……. 9
2.3. Opzetting model……….………... 10
3. Resultaten………. 11
3.1. Model toetsen………...………. 11
3.2. Toetsen op maximaal één breuk…………..……….. 12
3.3. Model met breukdummy………..………. 15
3.4. Toetsen op meerdere breuken……….………... 17
4. Conclusie……….………. 19
1. Introductie
Het inzicht in welke verwachtingen de mensen hebben over bijvoorbeeld de grootte van de groei van de economie en hoe deze verwachtingen veranderen in de loop van de tijd, zijn van groot belang. Zoals Heemeijer et al. (2012) opmerken: “Dynamic macroeconomic models typically correspond to so-called expectations feedback systems, where agents’ expectations about certain future variables, such as e.g. the inflation rate, are one of the key determinants of the actual realization of these variables.” ( Heemeijer et al., 2012, p.1).
Omdat de variabelen zoals bijvoorbeeld de inflatie dus voor een belangrijk deel verklaard kunnen worden door verwachtingen, zijn er de afgelopen jaren al veel onderzoeken gedaan naar verwachtingspatronen. Enkele voorbeelden van papers die met experimenten deze verwachtingspatronen hebben onderzocht zijn die van Anufriev & Hommes (2012), Hommes (2011) en Heemeijer et al. (2012).
De resultaten van de laatste van deze drie papers staat centraal in deze scriptie. In deze paper van Heemeijer et al. (2012) willen de schrijvers verschillende leermodellen onderscheiden die zijn ontwikkeld om de voorspellingen te modeleren. Om dit te doen hebben ze een experiment opgezet waarbij de deelnemers gedurende 51 periodes de verwachte inflatie moeten
voorspellen en waarbij ze worden uitbetaald op basis van de nauwkeurigheid van hun voorspellingen. Alle informatie die de deelnemers hierbij krijgen is de daadwerkelijk gerealiseerde inflatie tot dan toe en hun eigen voorspellingen. De clou is dat de werkelijke inflatie afhangt van de gedane voorspellingen van de deelnemer zelf. Tijdens het experiment worden de deelnemers opgedeeld in twee even grote groepen. De ene groep heeft een lage theta en de andere een hoge theta. Hoe groter deze theta hoe groter de random verstoringen van het inflatieproces in elke periode en hoe moeilijker de inflatie dus stabiel is te krijgen.
De resultaten van dit experiment geven weer hoe de inflatie veranderde in de loop van de tijd, en of de deelnemers erin slaagden om de inflatie stabiel te krijgen. De schrijvers
onderscheiden vervolgens welke voorspelstrategie de deelnemers hebben gebruikt. Als wordt gekeken naar de grafieken van de werkelijke en voorspelde inflatie, lijkt het of sommige deelnemers gaandeweg het experiment veranderen van voorspelstrategie. Deze veranderingen
zijn natuurlijk van groot belang voor de economie omdat deze ook de waarden van de variabelen veranderen.
Daarom onderzoekt deze paper of en hoeveel breuken in het voorspelgedrag er inderdaad gevonden kunnen worden met econometrische technieken en of dit aantal afhangt van de grootte van theta. Hierbij wordt eerst in sectie 2 een samenvatting van het experiment gedaan door Heemeijer et al. (2012) gegeven. De noodzakelijke theorie over structurele breuken die hierbij wordt gebruikt alsmede het model worden ook verder beschreven in deze sectie. In sectie 3 wordt vervolgens getoetst op structurele breuken en in sectie 4 wordt hieruit een conclusie getrokken en wordt nog een suggestie voor een vervolgonderzoek gegeven. In sectie 5 staat ten slotte de bibliografie weergeven.
2. Theoretisch kader
In deze sectie wordt de theoretische achtergrond besproken. Eerst wordt in paragraaf 2.1 een samenvatting gegeven van het experiment dat is uitgevoerd door Heemeijer et al. (2012). Vervolgens wordt in sectie 2.2 de theorie van structurele breuken besproken en in sectie 2.3 wordt het model dat gebruikt wordt in dit onderzoek beschreven.
2.1 Samenvatting eerder onderzoek
Heemeijer et al. (2012) willen de verschillende leermodellen onderscheiden die zijn
ontwikkeld en bestudeerd in macro-economische modellen. Zij maken hierbij gebruik van een twee generatie overlappingsmodel, zoals eerder ook gebruikt door Bullard (1994) en Tuinstra & Wagener (2007). In het experiment moeten de deelnemers voor 51 periodes voorspellen hoe hoog de inflatie in die periodes zal zijn. Ze krijgen een beloning als ze de werkelijke inflatie goed voorspellen en hoe dichterbij hun voorspellingen, hoe groter de beloning is. De deelnemers hebben hierbij de beschikking over maar weinig informatie, namelijk de
werkelijke inflaties van de afgelopen periodes alsmede hun eigen voorspellingen. Omdat de werkelijke inflatie afhangt van hun voorspellingen voor die periode en de periode daarna, moeten de deelnemers de inflatie twee periodes vooruit voorspellen.
namelijk een lage theta van 1.01 en de andere groep een hoge theta van 1.11. Deze theta bepaalt de snelheid waarmee de overheid geld bijdrukt en dus de snelheid waarmee het geld groeit. Dit beïnvloedt de inflatie en hoe groter deze theta, hoe groter de random verstoringen zullen zijn in het proces en hoe moeilijker de inflatie te schatten is.
De resultaten van het experiment zijn hieronder weergeven in figuur 1 tot en met 3. In deze figuren staat op de horizontale as de periodes uitgezet, op de verticale as de hoogte van de inflatie. De rode lijnen zijn hierbij de voorspellingen van de deelnemers voor de inflatie van die periode en de blauwe lijnen zijn de daadwerkelijk gerealiseerde inflaties.
Figuur 1: Voorspellingen (rode lijn) en werkelijke inflatie (blauwe lijn) voor deelnemers 1-8 in het experiment met de lage theta (Heemeijer et al., 2012).
Figuur 2: Voorspellingen (rode lijn) en werkelijke inflatie (blauwe lijn) voor deelnemers 9-16 in het experiment met de lage theta en 1-4 in het experiment met de hoge theta (Heemeijer et al., 2012).
Figuur 3: Voorspellingen (rode lijn) en werkelijke inflatie (blauwe lijn) voor deelnemers 5-16 in het experiment met de hoge theta (Heemeijer et al., 2012).
Als er wordt gekeken naar deze 32 grafieken, kan duidelijk worden opgemaakt dat sommige deelnemers het beter doen dan andere deelnemers doordat zij de inflatie stabiel weten te krijgen. Dit komt omdat niet alle deelnemers dezelfde strategie gebruiken om de inflatie te voorspellen. Heemeijer et al. (2012) onderscheiden zes verschillende voorspelstrategieën: naïef (gebruik makend van de informatie van een periode terug), gemiddelde van de laatste twee werkelijke inflaties, gemiddelde van de laatste drie, adaptief ( laatste voorspelling plus een fractie van het verschil tussen inflatie een periode terug en hun laatste voorspelling), OLS op prijzen en OLS op een constante (het gemiddelde van alle waarnemingen).
Heemeijer et al. (2012) proberen de deelnemers ook op te delen in drie groepen op basis van hoe goed ze in staat blijken te zijn de inflatie stabiel te krijgen. De eerste groep bestaat uit deelnemers die gedurende het hele experiment erin slagen om de inflatie stabiel te houden, de tweede groep bestaat uit deelnemers die dit gedurende het hele experiment niet lukt en de derde groep zijn de deelnemers die gedurende het experiment de inflatie van onstabiel naar stabiel weten te krijgen, zie tabel 1.
Categorie Deelnemers lage theta Deelnemers hoge theta
Stabiel 2,8,9,11,12,14,15,16
-Onstabiel 4,10,13 1,2,3,7,8,9,12,13,14,15,16
Onstabiel, daarna stabiel 1,3,5,6,7 4,5,6,10,11
Tabel 1: Classificatie van de deelnemers op basis van stabiliteit inflatie (Heemeijer et al., 2012).
Uit deze tabel lijkt het of de inflatie moeilijker is in te schatten met een hoge theta van 1.11 dan met de lage theta van 1.01, aangezien er geen enkele deelnemer is in het experiment met de hoge theta die de inflatie vanaf het begin stabiel weet te krijgen, terwijl dit bij de lage theta wel het geval is. Bij beide subgroepen zijn er deelnemers door de onderzoekers ingedeeld in de categorie van eerst onstabiel, daarna stabiel. De deelnemers uit deze laatste groep lijken van voorspelstrategie te zijn gewisseld gedurende het experiment om zo de inflatie stabiel te krijgen. Deze deelnemers zijn het meest interessant om te onderzoeken en zijn van groot belang voor de economie, omdat veranderingen in hun voorspelgedrag de waarden van de economische grootheden drastisch kunnen veranderen.
Daarom staat in deze scriptie ook centraal of en hoeveel breuken er gevonden worden kunnen worden in het voorspelgedrag van de deelnemers en of dit aantal breuken misschien afhangt
van de grootte van theta, aangezien een hogere theta leidt tot meer schommelingen in de inflatie waardoor de deelnemers misschien vaker geneigd zijn om van voorspelregel te veranderen.
2.2 Achtergrondtheorie structurele breuken
Voor onderzocht kan worden in hoeverre structurele breuken in het voorspelgedrag te vinden zijn met econometrische toetsen, zal eerst wat meer achtergrond over deze toetsen worden gegeven.
Bekende papers over structurele breuken zijn die van Andrews (1993) Bai en Perron (1998, 2003). In deze papers wordt de toetsen afgeleid om te testen op een of meerdere structurele breuken en wordt de limietverdeling van deze toets gevonden. In dit onderzoek zal alleen gebruik worden gemaakt van de toets ban Bai en Perron. De technische afleiding hiervan wordt in deze scriptie niet besproken, maar hieronder worden in het kort de belangrijkste aspecten gegeven.
Van de toets van Bai en Perron (1998, 2003) zijn meerdere versies. De versie die hier gebruikt wordt is degene waarbij voor het bepalen van het aantal breuken wordt gekeken naar het Schwarz informatie criterium (BIC). Eerst moet worden aangegeven welke parameters mogen veranderen voor of na de breuk. Om te toetsen of er een breuk in de parameters zit op een bekend bepaald moment, wordt hierna gebruik gemaakt van de Chow breuk test. Hierbij wordt eerst een regressie gedaan over de totale en vervolgens over het gedeelte voor en na het moment van de mogelijke verandering in parameters. Als de residuen van deze twee
deelregressies samen nu veel kleiner zijn dan die van de totale regressie, is er een breuk in de parameters.
Er doet zich echter een probleem voor bij het toetsen op breuken in het voorspelgedrag van de deelnemers. Namelijk dat, als er een breuk is, niet bekend is op welk tijdstip deze precies is. Bai en Perron (1998, 2003) hebben dit als volgt opgelost. Voor elke periode, behalve de waarden aan de randen omdat daar de toets niet mogelijk is, wordt de Chow breuk toets berekend en de F-waarde (deze chow breuk toets volgt een F-verdeling) hiervan wordt onthouden. De maximale F-waarde van al deze Chow breuk toetsen is vervolgens de plek waar de grootste kans op een structurele breuk zit. Als het moment van de breuk is gevonden
wordt de regressie uitgevoerd met op die plek een verandering in de parameters. Om
vervolgens het model met breuk te vergelijken met die zonder breuk, wordt gekeken naar het BIC van de regressie, waarbij het model met de laagste BIC wordt gekozen.
Een belangrijk voordeel van de toets van Bai en Perron (1998, 2003) ten opzichte van die van Andrews (1993) is dat hierbij ook getoetst kan worden op meerdere structurele breuken. De procedure hierbij is weer hetzelfde als hierboven, maar dan voor elk model tot het maximale aantal toegestane breuken. Het aantal breuken dat gekozen wordt is hierbij vervolgens weer gebaseerd op de waarden van de BIC, waarbij wederom het model met de laagste BIC wordt gekozen.
2.3 Opzetting model
Om te kunnen toetsen op structurele breuken in het voorspelgedrag is ook een model nodig. In dit model wordt de werkelijke inflatie voorspeld aan de hand van vorige werkelijke inflaties en/of de zelf gedane vorige voorspellingen. Hoe meer lags, dat wil zeggen: hoe meer periodes terug, er meegenomen worden in het model, hoe meer voorspelregels er gevangen zullen worden door het model. Een nadeel van meer lags is echter dat het onderscheidingsvermogen van de toets op structurele breuken wel afneemt, omdat er meer variabelen zijn.
Het model dat gebruikt zal worden in dit onderzoek is het model dat teruggaat tot 3 periodes geleden:
(1)
waarbij
e ti, de voorspelde inflatie is van deelnemers i voor periode t en
t de werkelijke inflatie is in periode t en tde random storingen. Dit zorgt ervoor dat drie van de zes eerder genoemde in het model opgenomen zijn. Dit zijn naïef (gebruik makend van de informatie van een periode terug), gemiddelde van de laatste twee werkelijke inflaties en adaptief (laatste voorspelling plus een fractie van het verschil tussen inflatie een periode terug en de laatste voorspelling). Desondanks is dit model niet te groot waardoor het onderscheidingsvermogen van de toets niet verloren gaat.
l t e k t i l l e t i k kb
a
c
(
*
)
(
*
)
, 3 2 , 3 1 1Met dit model en de theorie over structurele breuken kan voor de deelnemers van het
experiment van Heemeijer et al. (2012) getoetst worden op structurele breuken. De uitslagen hiervan worden weergeven in sectie 3.
3. Resultaten
In deze sectie worden de resultaten van het onderzoek weergeven. Hierbij wordt eerst onderzocht in sectie 3.1 of het model zoals beschreven in (1) goed gespecificeerd is.
Vervolgens wordt in sectie 3.2 getoetst op maximaal één breuk met behulp van de toetsen van Bai en Perron (1998, 2003). Daarna wordt in sectie 3.3 het model aangepast aan de hand van de gevonden breuken. Tenslotte wordt in sectie 3.4 nog getoetst met Bai en Perron op
meerdere structurele breuken.
3.1 Model toetsen
Voordat getoetst wordt op breuken in het model, wordt eerst in deze sectie nog onderzocht of de grootte van het model goed gespecificeerd is, en of er niet meer of minder periodes mee moeten worden genomen. Allereerst wordt gekeken of de voorspelling van een periode terug overbodig is en vervolgens wordt gekeken of de werkelijke inflatie van vier periodes terug nog van belang is.
Omdat de werkelijke inflatie die bij de deelnemers van het experiment bekend is pas bekend is twee periodes nadat je het moest voorspellen, kan het zo zijn dat de deelnemers denken dat de voorspelling van een periode terug niet van belang is. Om dit te toetsen, is er een
Redundant Variable Test uitgevoerd. Deze toets is gebaseerd op een F-verdeling met (k, m-n) vrijheidsgraden, waarbij k het aantal variabelen die worden getoetst op overbodigheid is, m het aantal observaties en n het totale aantal variabelen. In dit geval volgt deze toets dus een F-verdeling met (1, 42) vrijheidsgraden. De nulhypothese van deze toets is dat de variabele waarop getoetst wordt inderdaad overbodig is tegenover de alternatieve waarbij de variabele niet overbodig is.
Uit deze toets kwam dat in 12 van de 32 gevallen de nulhypothese verworpen wordt bij een tien procent betrouwbaarheid. Bij de overige 20 deelnemers wordt de nulhypothese niet verworpen ten opzichte van de alternatieve hypothese. Omdat in meer dan een van de drie
gevallen de nulhypothese verworpen wordt, lijkt het erop dat voor een groot aantal
deelnemers de voorspelling van een periode terug wel degelijk van belang is, bijvoorbeeld voor de adaptieve voorspelregel, en daarom wordt deze wel in het model gelaten.
Een van de andere voorspelregels die wordt genoemd bij het experiment van Heemeijer et al. (2012) is dat deelnemers hun voorspelling berekenen als het gemiddelde van de laatste drie werkelijke inflaties. Dit zou betekenen dat de inflatie van vier periodes terug ook mee zou moeten worden genomen in het model. Om dit te controleren wordt er een Omitted Variable Test uitgevoerd. Deze toets volgt weer een F-verdeling met dit keer (1,40) vrijheidsgraden, omdat er 1 variabele extra is en er een periode minder is wegens een extra lag. De
nulhypothese van deze toets is dat de variabele niet significant is en dus niet moet worden toegevoegd en de alternatieve hypothese is dat ie wel moet worden toegevoegd.
Uit de resultaten van deze toets komt naar voren dat in slechts vijf van de 32 gevallen de nulhypothese verworpen wordt bij een tien procent betrouwbaarheid. Bij de overige 27 deelnemers werd de nulhypothese niet verworpen ten opzichte van de alternatieve hypothese. Hieruit kan geconcludeerd worden dat het niet loont om de werkelijke inflatie van vier periodes terug mee te nemen in het model en dat het model dus zo de juiste grootte heeft.
3.2 toetsen op maximaal één breuk
Nu het model qua grootte goed blijkt te zijn, wordt in deze sectie getoetst op maximaal één breuk. De parameters die hierbij mogen veranderen in het model (1) zijn achtereenvolgens alleen de constante, alleen voorspelparameters, alleen parameters van de werkelijke inflatie en alle parameters. De toets op alleen de constante is hetzelfde als toetsen of het gemiddelde van de voorspellingen veranderd is tijdens het experiment, gegeven de andere parameters.
De resultaten van deze toetsen zijn in tabel 2 op de volgende pagina weergeven. Hierin staat voor elke deelnemer, als er een breuk is gevonden, op welk tijdstip deze is gevonden. Als de BIC in het model zonder breuk lager is dan die van het model met breuk, staat er een streep. Merk op dat de Bai en Perron (1998, 2003) toets niet kan worden uitgevoerd voor deelnemer S16 omdat zijn/haar voorspellingen vanaf tijdstip drie gelijk zijn aan nul en er dus
Variërende parameters Constante c Voorspelparameters k a Werkelijke inflatie parameters l b Alle parameters S1 12 15 15 15 S2 - - 15 - S3 - 10 26 25 S4 - - - - S5 10 - - 10 S6 - 16 21 16 S7 - - 14 15 S8 10 10 10 - S9 - - - 10 S10 - - 21 - S11 12 12 12 12 S12 15 18 - - S13 - - - - S14 10 10 13 13 S15 - - - - S16 xxx xxx xxx xxx U1 11 14 10 10 U2 - - - 39 U3 - - 11 10 U4 - 18 18 17 U5 12 10 10 10 U6 22 13 11 11 U7 - - - - U8 - - - - U9 - - - - U10 - 12 13 12 U11 22 18 10 15 U12 15 - 15 15 U13 - - - 18 U14 42 - - - U15 - 22 21 21 U16 - - - - Aantal deelnemers met breuk 12 14 18 19
Uit deze toetsen komt dat bij een aantal deelnemers breuken worden gevonden bij alleen de constante, alleen voorspelparameters, alleen werkelijke inflatie parameters en alle parameters. Deze breuken worden ook gevonden bij deelnemers die door Heemeijer et al. (2012) nog waren ingedeeld in de categorie stabiel, zie tabel 1. Het aantal breuken dat gevonden wordt als alleen de constante mag veranderen is hierbij het laagste, namelijk maar 12. Dit duidt erop dat, als er maar maximaal één breuk toegestaan is, de structurele veranderingen niet heel vaak leiden tot een significant ander gemiddelde van de voorspellingen, gegeven de waarden van de andere parameters.
Verder valt op dat het aantal breuken dat gevonden wordt als alle parameters mogen veranderen hoger is dan het aantal bij de andere drie categorieën, namelijk 19. Dit komt waarschijnlijk omdat als deelnemers van voorspelregel veranderen, dit vaak tot gevolg heeft dat de coëfficiënten van alle parameters veranderen, en dus dat er een breuk zit in de waarde van alle parameters. Het feit dat als alle parameters mogen variëren er dus wel op meer parameters wordt getoetst zorgt er bij die deelnemers dus niet voor dat het
onderscheidingsvermogen te laag wordt.
Ook valt op dat bij deelnemer S8 bij zowel de constante, alle voorspelparameters en alle werkelijke inflatie parameters een breuk wordt gevonden, maar bij de toets waarbij alle parameters tegelijk mogen veranderen er geen enkele breuk wordt gevonden. En voor deelnemers en S9 en U13 geldt dit juist precies andersom. Dit komt in het eerste geval waarschijnlijk omdat het onderscheidingsvermogen als wordt getoetst op alle parameters niet groot genoeg is en de toets dus hierdoor geen breuken vindt. In het geval van S9 en U13 kan het komen doordat er wel breuken zitten in de parameters, maar meer dan een. Hierdoor is het mogelijk dat de BIC van nul breuken lager is dan die van een breuk, maar kan er als wordt getoetst op alle parameters toch een breuk worden gevonden.
Ten slotte kan nog gekeken worden naar het aantal breuken bij de subgroep met de lage theta ( alle deelnemers beginnend met S) en bij de subgroep met de hoge theta ( alle deelnemers beginnend met U). Hieruit volgt dat het totaal aantal breuken bij het experiment met de lage theta net iets lager is dan bij de hoge theta, namelijk 30 om 33 en dat dit alleen komt door de subcategorie waarbij alle parameters mogen variëren, te weten 8 om 11.
t n t e m t i n n m m t i l t e k t i l l e t i k k
c
b
a
c
)
)
*
(
)
*
(
(
*
)
*
(
)
*
(
, 3 2 3 1 2 , , 3 2 , 3 1 13.3 Model met breukdummy
Nu in de vorige sectie is getoetst op maximaal een breuk, kan het model zoals beschreven bij (1) voor deelnemers waar een breuk in alle parameters is ontdekt zo worden aangepast dat deze de voorspellingen beter fit. De optie die in dit verslag wordt gebruikt is door een dummy toe te voegen die 1 is voor het moment van de breuk en 0 vanaf het moment van de breuk. Het nieuwe model wordt dan zoals aangegeven bij (2), waarbij δ de dummyvariabele is.
(2)
Een voorbeeld van een regressie uitgevoerd, in dit geval deelnemer 1 van het experiment met de lage theta, is hieronder in tabel 3 te zien. Hierin staat in de eerste kolom de variabelen zoals beschreven in (2), in de tweede kolom hun coëfficiënten en in de derde kolom de t-statistiek hiervan. Onderaan staan vervolgens nog de R-squared en Adjusted R-squared weergeven.
Variabele Coëfficiënt t-statistiek Constante 0.968 2.850 Voorspelling(-1) 0.516 10.716 Voorspelling(-2) 0.396 7.344 Voorspelling(-3) -0.229 -5.616 Werkelijk(-2) -0.256 -12.647 Werkelijk(-3) -0.441 -20.911 Dummy1 6.454 1.973 Dummy1 * Voorspelling(-1) 0.379 1.759 Dummy1 * Voorspelling(-2) -2.389 -10.135 Dummy1 * Voorspelling(-3) 1.289 3.200 Dummy1 * Werkelijk(-2) 0.405 5.449 Dummy1 * Werkelijk(-3) 0.417 5.835 R-squared 0.973 Adjusted R-squared 0.965
Tabel 3 Voorbeeldregressie met breukdummy van deelnemer S1
Om te kijken hoe goed dit model met breukdummy in staat is de voorspellingen van de deelnemers uit te leggen, wordt er gekeken naar de verklaringsgraad. Om hierbij wel een penalty te geven voor het feit dat er veel variabelen toegevoegd zijn, wordt hier niet gekeken naar de R-squared, maar naar de adjusted R-squared. In deze voorbeeldregressie van deelnemer S1 is deze adjusted R-squared gelijk aan 0.965. In het model waar de breukdummy nog niet was toegevoegd, was dit maar 0.47.
Het toevoegen van de breukdummy is gedaan voor alle deelnemers waarbij een breuk in alle parameters is ontdekt. Van al deze deelnemers is vervolgens de adjusted R-squared van de
bijbehorende regressies onthouden en de resultaten hiervan zijn te zien in tabel 4. Hier is in de eerste kolom de deelnemers te zien waarbij een breuk is geconstateerd, in de tweede kolom de adjusted R-squared in het model zoals beschreven bij (1) en in de derde kolom de adjusted R-R-squared in het model zoals beschreven bij (2). De regressie met de breukdummy kan hierbij voor deelnemer U2 niet worden uitgevoerd omdat er dan collineairiteit ontstaat.
Deelnemer Adjusted R-squared zonder dummy Adjusted R-squared met dummy S1 0.470 0.965 S3 0.01 0.603 S5 0.107 0.334 S6 0.658 0.770 S7 0.144 0.479 S9 0.412 0.716 S11 0.683 0.729 S14 0.401 0.848 U1 0.654 0.933 U2 -0.090 xxx U3 -0.068 0.363 U4 0.055 0.520 U5 0.365 0.686 U6 0.526 0.753 U10 0.293 0.469 U11 0.431 0.688 U12 0.069 0.419 U13 -0.055 0.113 U15 0.244 0.637
Tabel 4 Adjusted R-squared in het model zonder en met breukdummy
Uit deze tabel valt op te maken dat de adjusted R-squared voor alle deelnemers met een breuk omhoog gaat, ondanks dat er een hoop extra parameters worden toegevoegd. Desalniettemin is deze stijging niet voor alle deelnemers even groot. Zo is de grootste stijging van de adjusted R-squared te zien bij deelnemer S3, waarbij het stijgt van 0.001 naar 0.603. De kleinste stijging te zien is bij deelnemer S11, waarbij de adjusted R-squared maar stijgt van 0.683 naar 0.729.
3.4 toetsen op meerdere breuken
Naast toetsen op maximaal een breuk, kan met de toets van Bai en Perron (1998, 2003) ook getoetst worden op meerdere structurele breuken in het voorspelgedrag van de deelnemers. Dit staat centraal in deze sectie. Het model dat hierbij gebruikt wordt is weer gelijk aan het model gedefinieerd bij (1). De parameters die hierbij mogen veranderen zijn wederom achtereenvolgens constante, alleen voorspelparameters, alleen werkelijke inflatie parameters, alle parameters.
De resultaten van deze toetsen staan in tabel 5. Uit deze tabel valt op te maken dat, nu er ook meer dan een breuk in de variërende parameters mag zitten, het aantal breuken enorm oploopt. Zo is het
gemiddeld aantal breuken dat wordt gevonden bij alleen de constante meer dan drie per deelnemer. Ook het aantal deelnemers waarbij een breuk wordt gevonden loopt op. Zo worden er in de eerste drie kolommen bij bijna alle deelnemers breuken geconstateerd, terwijl dit bij maximaal één breuk nog bij rond de helft van het aantal deelnemers was.
In tegenstelling tot bij als er maar maximaal een breuk is toegestaan, is het aantal breuken dat gevonden wordt als alle parameters mogen variëren beduidend lager dan bij de drie
subcategorieën. Dit kan twee oorzaken hebben. Als eerste kan het zo zijn dat er minder breuken worden gevonden bij alle parameters variërend omdat het onderscheidingsvermogen daalt als het aantal variërende parameters toeneemt. Dit gebrek aan onderscheidend vermogen zorgt er dan voor dat de voorspelling dat er meer breuken worden verwacht als alle
parameters variëren niet uitkomt. De tweede oorzaak is meer een logisch gevolg van het feit dat de restrictie van maximaal een breuk nu is weggevallen. Blijkbaar was bij een aantal deelnemers de BIC van één breuk hoger dan die van nul breuken, maar de BIC van twee of meerdere breuken juist weer lager en was dit als alle parameters mogen variëren niet het geval.
Vervolgens kan nog gekeken worden naar de drie deelnemers die bij maximaal een breuk apart vermeld waren, namelijk S8, S9 en U13. Hieruit blijkt dat bij deelnemer S8 nog steeds alleen breuken worden gevonden als alleen de constante, alle voorspelparameters en alle werkelijke inflatie parameters mogen veranderen, maar niet als alle parameters mogen veranderen. De reden hiervoor is waarschijnlijk nog steeds het gebrek aan onderscheidend vermogen als getoetst wordt op alle parameters. In het geval van S9 en U13 worden nu wel breuken gevonden in de subcategorieën, dus de reden was dus inderdaad de reden die ook eerder al werd genoemd in sectie 3.2 en als oorzaak twee in de vorige alinea.
Variërende parameters Constante c Voorspelparameters k a Werkelijke inflatie parameters l b Alle parameters S1 12, 19 15, 27 15, 25 14, 21 S2 13, 20, 27, 40 16, 23, 33, 40 15, 22, 29, 40 - S3 - 10 11, 26 10, 19, 26 S4 10, 17, 24, 37 11, 18, 26, 36 11, 19, 31, 38 - S5 10, 18 11, 21 10, 18 13, 21 S6 13, 20 15, 42 15, 44 16, 44 S7 10, 24, 31 14, 22 14, 24 14, 22 S8 10, 20, 31 10, 20, 28 10, 18, 25 - S9 10, 17, 27, 34, 41 - 10, 17, 33 10 S10 22, 30, 37 15, 23, 30 15, 22, 29 18, 25 S11 12 12 12 12 S12 15, 24, 33, 40 10, 17, 31, 40 10, 17, 24, 34 14, 21 S13 13, 20, 32, 39 17, 27, 34, 44 14, 29, 37, 44 - S14 10, 17, 27, 34 10 13, 23 14, 21, 28 S15 13, 30, 37, 44 10, 18, 25, 32 10, 21, 31, 41 - S16 xxx xxx xxx xxx U1 10, 17, 24 10, 30, 37 10, 26 10 U2 15, 28, 36, 43 13, 20, 28, 40 15, 22, 31, 40 15, 26, 33, 40 U3 10, 28, 35, 42 12, 21, 31, 42 11, 28, 35, 42 10, 44 U4 10, 22 18 11, 18 11, 18 U5 12, 20 10, 18 10, 18 10, 18 U6 11, 18 13 11, 24 11, 18 U7 13, 20, 27, 40 13, 25, 33, 40 14, 25, 32, 39 - U8 16, 23, 32, 39 19, 27 18, 27 - U9 13, 20, 32, 39 15, 23, 32, 39 14, 23, 34, 42 - U10 10, 17 10, 17 14, 22 10, 17 U11 22 18 10, 19 10, 18 U12 15, 28, 37, 44 15, 24, 32 15, 24, 31, 44 15 U13 13, 20, 30, 37 11, 18, 31, 39 14, 21, 33, 40 11, 18, 26, 33, 40 U14 18, 27, 35, 42 28, 37, 44 15, 25, 32, 43 - U15 11, 20, 30, 39 10, 20, 30, 42 14, 21, 33, 43 21 U16 10, 23, 36, 44 12, 36, 44 10, 17, 32 - Aantal deelnemers met breuk 30 30 31 21 aantal breuken 97 82 91 44
Tenslotte kan weer worden gekeken naar het aantal breuken bij deelnemers met een lage theta en bij deelnemers met een hoge theta. Het gemiddeld aantal breuken van deelnemers met de lage theta is, deelnemer 16 niet meegerekend, gelijk aan 2.4 en bij de hoge theta gelijk aan 2.65. Dit verschil is wel groter dan bij de restrictie van maximaal één breuk, maar nog steeds niet heel groot.
4. Conclusie
In deze scriptie is onderzocht of en hoeveel breuken er met behulp van de Bai en Perron (1998, 2003) toetsen gevonden konden worden in het voorspelgedrag van deelnemers bij het experiment van Heemeijer et al. (2012) en of het aantal breuken afhing van theta. Hierbij is eerst getoetst op maximaal een breuk en later op meerdere breuken.
Er is allereerst gebleken dat het inderdaad mogelijk is dat er één structurele breuk te vinden is in het voorspelgedrag. Deze breuken zaten er als alleen de constante mag variëren, als alleen alle voorspelparameters mochten variëren, als alleen alle werkelijke inflatie parameters mochten variëren, maar ook als ze allemaal mochten veranderen. Als ze allemaal mochten variëren, waren er bij maximaal een breuk zelfs meer breuken gevonden. Daarna is gebleken dat als er bij deelnemers waar een breuk in alle parameters is gevonden een dummy werd toegevoegd, het model inderdaad beter in staat was om de voorspellingen van de deelnemers te verklaren.
Vervolgens is gebleken dat er bij heel veel deelnemers ook meerdere structurele breuken te vinden zijn, en dan vooral als alleen de constante, alleen voorspelparameters of alleen werkelijke inflatie parameters mochten veranderen. Als alle parameters mochten veranderen is het aantal breuken dat gevonden werd nu minder groot, waarschijnlijk door een gebrek aan onderscheidingsvermogen. Ten slotte is nog gebleken dat als de theta groter was, er inderdaad meer breuken gevonden werden. Het aantal breuken dat meer gevonden werd is echter weer niet zodanig dat er eenduidig kan worden gezegd dat het aantal breuken stijgt als theta stijgt.
Verder onderzoek op het voorspelgedrag van deelnemers kan zich meer richten op de voorspelregels zelf. Er kan bijvoorbeeld, op basis van de gevonden breukdata in dit verslag, geprobeerd worden de modellen zo aan te passen, dat uit de regressies kan worden gehaald welke voorspelregels de deelnemers gedurende het experiment hebben gebruikt.
Bibliografie
Andrews, D.W.K. (1993),Tests for Parameter Instability and Structural Change with Un- known Change Point, Econometrica, July, 61:4, 821-856.
Anufriev, M., C. Hommes, (2012), Evolution of market heuristics, Knowlegde Exgineering Review, 27, 255-271
Bai, J., P. Perron, (1998), Estimating and testing linear models with multiple structural changes, Econometrica, 47-78
Bai, J., P. Perron, (2003). Computation and analysis of multiple structural change models, Journal of Applied Econometrics, 18, 1-22.
Bullard, J. (1994), Learning equilibria, Journal of economic theory, 64, 468-485. Heemeijer, P., C. Hommes, J. Sonnemans, J. Tuinstra (2009). - Price stability and
volatility in markets with positive and negatieve expectations feedback: An
experimental investigation, Journal of Economic Dynamics & Control, 33, 1052-1072 Heemeijer, P., C. Hommes, J. Sonnemans, J. Tuinstra (2012). An experimental study on
expectations and learning in overlapping generations models. Studies in nonlinear dynamics & econometrics 16(4), 1-47
Hommes, C., J. Sonnemans, J. Tuinstra and H. van de Velden (2005): Coordination of expectations in asset pricing experiments, Review of Financial Studies, 18, 955-980.e Hommes, C. (2011), The heterogeneous expectations hypothesis: Some evidence from the
lab, Journal of Economic Dynamics & Control, 35, 1-24
Lucas, R.E. (1986), Adaptive behavior and economic theory, Journal of business, 59, S401- S426
