Om te kunnen bepalen op welke punten het boek aangevuld moet worden, gaan we eerst na in hoeverre de kernactiviteiten in het boek ondersteund worden. In deze paragraaf beschrijven we daarom het leerboek aan de hand van de kernactiviteiten.
4.3.1 Abstraheren
Abstraheren is het ontdoen van het concrete. Bij abstraheren wordt de situatie ontdaan van situatiegebonden aspecten om in meer algemenere termen weergegeven te worden. Freudenthal (1991) betoogt dat leerlingen moeten leren om problemen/vraagstukken op de juiste manier te mathematiseren. Hij gebruikt de term horizontaal mathematiseren voor het vertalen van de rijke tekst naar een wiskundige beschrijving. Biedt het boek (voldoende) ondersteuning voor het (leren van) horizontaal mathematiseren, voor het leren ontdoen van situatiegebonden aspecten? Biedt het boek ondersteuning voor het leren zien van overeenkomsten en verschillen tussen concrete contexten en geabstraheerde vormen?
Belevingswereld en focus
In het boek van Getal en Ruimte worden contextrijke opdrachten afgewisseld met kale rijtjes sommen. Contextrijk wil in het geval van het boek zeggen dat de opgave met een situatie aangekleed is. De situaties zijn uit de beroepspraktijk (het loon van iemand berekenen wanneer dit bestaat uit een vast en flexibel deel), vaak uit de economie (de gasrekening, een autoverhuurbedrijf, aantal klanten in een supermarkt of dierentuin) en uit wat meer exacte (het leeglopen van een vat) en biologisch (het kweken van bacteriën) onderzoek. De situaties komen meestal niet uit de belevingswereld van de leerling. In zijn gesprekken met vrienden zal een leerling het niet over het kweken van bacteriën, het aantal
48
klanten of het leeg laten lopen van een vat hebben. Hoewel de situaties niet uit de belevingswereld van de leerling komen, kan hij zich er waarschijnlijk wel een voorstelling van maken.
Het voorstellen van de situatie is vaak niet eenvoudig omdat de beschrijving van de situatie in het boek beperkt is tot 3 à 4 zinnen. Een voorbeeld van het introductieverhaaltje van een opgave is gegeven in figuur 4.4.
Een ijscoman weet uit ervaring dat hij op een zonnige dag bij een prijs van 130 cent per ijsje 700 stuks verkoopt. Bij elke 10 cent prijsverhoging verkoopt hij er 50 minder. Er bestaat een lineair verband tussen de prijs p en het aantal verkochte ijsjes q.
(Reichard et al., 2002) blz. 34, hoofdstuk 1, opgave 50
Figuur 4.4 Voorbeeld van een introductietekst van een opgave uit het leerboek
De context is gereduceerd tot een kort verhaaltje. De situatie die wordt geschetst is die van een ijscoman die ijsjes verkoopt op een zonnige dag. Meer wordt er niet genoemd. In de schets van de situatie wordt niets gezegd over bijvoorbeeld de klanten of de plaats waar de ijscoman zijn waren verkoopt. Er wordt geen informatie gegeven over de kinderen die hun ouders proberen over te halen een ijsje te kopen. Hoe lekker zij ijs vinden en hoe graag de ouders de wensen van hun kinderen willen inwilligen, maar rekening houden met allerlei zaken als de inhoud van hun portemonnee en de hoeveelheid ijs die de kinderen al hebben gehad. Er staat ook niets geschreven over de klant die een keus moet maken uit het aanbod van de ijscoman. Bekende overwegingen als ‘welke neem jij?’, een vraag die toch voor veel mensen bij het kopen van ijs hoort, blijven ongenoemd. Als we het introductie verhaal lezen dan lijkt het of alle ijsjes even duur zijn, namelijk 130 cent. Maar de ervaring van de leerlingen is een andere; de grootste en populairste ijsjes zijn vaak duurder dan de kleine ‘gewone’ ijsjes. De plaats waar de ijscoman met zijn kar staat is ook belangrijk. Hoeveel concurrenten heeft hij en hoever staan die bij hem uit de buurt? Als de leerling aan een ijscoman die ijsjes verkoopt denkt, zal hij allerlei andere associaties hebben die in dit verhaal niet zijn genoemd. De leerling kan zich wel een voorstelling maken, maar is dit wel een voorstelling die hem helpt de opdracht beter te begrijpen en op te lossen?
Zoals beschreven is veel ‘overbodige’ informatie weggelaten in de introductie tekst van de situatie. Alleen de informatie, die voor de gewenste uit te voeren berekening nodig is, wordt vermeld. Er is geselecteerd welke informatie gegeven wordt. Het focussen heeft deels al plaats gevonden. Daarnaast is er versimpeld. Zoals we zagen, hebben of alle soorten ijsjes dezelfde prijs of wordt er slechts naar één soort ijsje gekeken. De eerste vertaalslag van de complexe context naar een abstract wiskundig model is al gemaakt en niet door de leerling. In zijn betoog over wat er vaak mis gaat bij het gebruik van contexten door ontwerpers van leermaterialen, noemt Petraglia (1998b) dit punt ook. Petraglia (1998b) vraagt zich terecht af wiens rijkheid van context het eigenlijk is. Hij merkt op dat de informatie die beschikbaar is, niet de informatie is die verstrekt wordt door de echte wereld, maar gegenereerd is door de ideeën van de ontwerpers/auteurs (ideeën over welke informatie de echte wereld zou verstrekken en hoe die informatie eruit zou zien). Dat er informatie uit een situatie uit het dagelijks leven wordt gegeven, betekent dus niet dat er dan per definitie sprake is van een authentieke, contextrijke opdracht. Er heeft al simplificatie en selectie plaats gevonden.
Hoe zit het met de overige opdrachten in het boek? Wat zijn de algemene conclusies met betrekking tot het gebruik van contexten, de belevingswereld en de eerste abstracties? Zoals we bij de voorbeelden van de keuze van contexten zagen (zie vorige pagina) gaat het in het algemeen om situaties die niet direct uit het dagelijkse leven van de leerling komen, maar die wel voor te stellen zijn
Bronnen
49 door de leerling (zie voor twee extra voorbeelden figuur 4.5). Telkens gaat het om korte situatieschetsen van een zin of vier. Noodzakelijkerwijs is de informatie die gegeven wordt geselecteerd. Vaak is de complexe situatie uit het dagelijkse leven gesimplificeerd. De eerste stappen in het abstractieproces van de situatie uit het dagelijkse leven zijn door de auteurs gemaakt.
Na het innemen van een medicijn hangt de concentratie C in mg/liter van het geneesmiddel in het bloed af van de tijd die verlopen is sinds het innemen. Hierbij hoort de formule C = -0,0004t3 + 0,04t2 + 0,28t met t in minuten.
(Reichard et al., 2002) blz. 34, hoofdstuk 1, opgave 21
Het jongerenblad POPcollage start een reclamecampagne om de losse verkoop te verhogen. De campagne zal enkele maanden duren. De uitgever van het blad hanteert voor het jaar na de start van de reclamecampagne het model
(
0,05 2)
1 5 9 2 + − + = t A .Hierin is A het aantal wekelijks verkochte exemplaren in duizendtallen en t de tijd in weken met t = 0 op het moment dat de campagne begint.
(Reichard et al., 2002) blz. 34, hoofdstuk 1, opgave 23
Een voetballer trapt de bal de lucht in. De hoogte h van de bal als functie van de tijd t kan beschreven worden door de formule h = -5t2 + 15t. Hierbij is h in meters en de tijd t in seconden.
(Reichard et al., 2002) blz. 34, hoofdstuk 1, opgave 42
Figuur 4.5 Voorbeelden van simplificatie van situaties uit het dagelijks leven
Positie en bijbehorende vraag
Behalve dat situaties vaak niet direct uit de belevingswereld van de leerling komen, zijn ze ook niet vanuit de positie van de leerling geschreven. Dit geldt ook voor het voorbeeld van figuur 4.4. Een leerling heeft waarschijnlijk zelf alleen ijsjes gekocht en niet verkocht. De leerling moet zich verplaatsen in de positie van de ijscoman.
Met het zich verplaatsen in de positie van een ijscoman, moet de leerling zich ook vragen gaan stellen, die hij zich bij zijn dagelijkse bezigheden niet snel zal stellen. Een ijscoman moet de prijs van de ijsjes bepalen. De vraag is nu welke bedrag de ijscoman voor de ijsjes wil vragen. Dit is iets nieuws voor een leerling; het is niet gemakkelijk om zich deze vraag en het beantwoorden daarvan voor te stellen. De omschrijving en informatie gaat over een vraag, die een leerling zichzelf niet automatisch zal stellen. We zullen dit in het volgende gedeelte nog iets verder uitwerken.
Voor veel opdrachten in het boek geldt dat de situatieschets niet vanuit de positie van de leerling is geschreven. Vaak wordt er geschreven vanuit de positie van een econoom of specialist (bijvoorbeeld bij de groei van bacteriën of de afname van de concentratie medicijn in het bloed). Bij
50
veel opdrachten moet de leerling daarom redeneren vanuit een perspectief wat normaal gesproken niet het zijne is.
De variabelen, de waarden van deze variabelen en relaties/verbanden tussen deze variabelen
Kan een leerling zich helemaal geen voorstelling maken over het vraagstuk van het verband tussen de prijs en het verkochte aantal? Met wat dieper nadenken kan de leerling wel tot een eerste voorstelling van het verband tussen beide komen. Een leerling weet van zichzelf wel dat hij een ijsje dat 100 euro kost niet koopt. Wanneer de ijsjes gratis zijn, eet hij er zoveel als hij op kan voor ze smelten en voordat hij misselijk wordt. Een leerling kan zich wel voorstellen dat prijs en aantal op een bepaalde manier van elkaar afhangen. Een ijsje van 100 euro koopt hij niet, van 10 euro ook niet, maar van twee euro misschien wel. Waar ligt de grens precies? Daar heeft een leerling vast niet vaak over nagedacht. Dat die grens bij hem op een andere plek ligt dan bij andere mensen, daar zal een leerling over het algemeen ook niet (heel erg diep) over nagedacht hebben. Het gaat hier dus om een globaal idee van het verband tussen prijs en aantal en de getalswaarde van de prijs en het aantal dat daar ongeveer bij verwacht kan worden.
Wanneer we nu kijken naar de informatie, die in de situatieschets gegeven worden, dan gaat deze informatie over het verband tussen en de getalswaarden van deze twee variabelen. Er is gegeven hoeveel ijsjes er bij een bepaalde prijs verkocht worden (getalswaarde) en hoe dit aantal verandert als de prijs verandert (verband). Er wordt zelfs expliciet genoemd dat het om een lineair verband gaat en dat de variabelen waar naar gekeken wordt de prijs en het aantal zijn. Deze variabelen zijn overigens een keus van de auteur, het had bijvoorbeeld ook de temperatuur en het aantal verkochte ijsjes kunnen zijn. Alleen in dat geval zou er geen sprake zijn geweest van een optimaliseringvraagstuk (wat het in figuur 4.4 wel is). Het introducerende verhaal bevat voornamelijk informatie over de door de auteur (en voor de beoogde som) belangrijk gevonden variabelen, de relatie tussen die variabelen en de waarden van die variabelen.
Dit geldt in het algemeen voor de inhoud van de inleidende teksten. Deze bevatten vooral informatie over welke variabelen bekeken worden en hoe die variabelen met elkaar in verband staan. Over de waarden van de variabelen wordt alleen iets gezegd wanneer het verband niet expliciet in de vorm van een formule gegeven is.
Eerste samenvattende conclusie introductieteksten
In het leerboek is de context vaak een situatie die niet in het dagelijks leven van de leerling voorkomt omdat (1) de leerling zich niet in de positie bevindt van waaruit de context beschreven wordt en (2) de vragen die gesteld zijn geen vragen zijn waarmee de leerling in het dagelijks leven wordt geconfronteerd. De informatie die in deze inleidende teksten wordt gegeven heeft vooral betrekking op welke variabelen van belang zijn en hoe deze variabelen zich tot elkaar verhouden. Vóór het beschrijven van de situatie heeft selectie van informatie plaats gevonden. De eerste stappen in het abstractieproces van de complexe werkelijkheid naar een wiskundig vraagstuk zijn door de auteurs gemaakt.
Verschil in uitgangspunt
Zoals we hebben laten zien, is de schets van de situatie in figuur 4.4 er één vanuit de optiek van een optimaliseringvraagstuk. Hoewel er gebruik wordt gemaakt van een bekende context, moet de leerling toch met andere ogen naar deze context kijken. De leerling moet zelf de vertaalslag maken van zijn eigen ervaringen, naar de gegevens en de vraag in de opdracht, voordat hij/zij met de opdracht aan de slag kan. De leerling moet op het uitgangspunt komen waarvan de auteur uitgaat dat hij is na het lezen van de introductie tekst. De leerling moet de abstractiestappen die door de auteurs van de opgave zijn gemaakt, doorzien. Hij moet kunnen volgen en begrijpen wat er gebeurd is. Zijn uitgangspunt na het lezen van de tekst moet hetzelfde zijn als wanneer hij de vertaalslag zelf gemaakt had.
Bronnen
51 Het kan zijn dat de leerling deze vertaalslag niet maakt. Dat betekent dat er een gat gaapt tussen waar de leerling zich in het abstractieproces bevindt en waar hij geacht wordt zich te bevinden. De stap van de concrete situatie naar de geabstraheerde tussenvorm in de situatieomschrijving wordt niet gemaakt. In termen van Freudenthal: “de leerling wordt gedwongen mentale sprongen te nemen”. Met alle bijbehorende gevolgen.
Het vervolg van het abstractieproces
Hoewel de eerste abstractiestappen al hebben plaats gevonden, blijft nog een deel over voor de leerlingen om zelf te doen. In het voorbeeld uit figuur 4.4 is het verband tussen de prijs en het aantal in woorden geschetst. De leerlingen moeten vervolgens in de eerste opdracht deze informatie in de vorm van een formule schrijven (figuur 4.6).
a Geef de formule van p als functie van q. b Druk de dagopbrengst R uit in q.
c Welke prijs moet de ijscoman voor een ijsje vragen om een maximale dagopbrengst te verkrijgen?
(Reichard et al., 2002) blz. 34, hoofdstuk 1, opgave 50
Figuur 4.6 De eerste drie opdrachten die volgen op de inleidende tekst uit figuur 4.4 deel 1
hoofdstuk 4
Er is een grote kans dat de leerling in de oriëntatie alleen een globaal idee heeft van het verband tussen beide. De leerling moet, voordat hij een formule op kan stellen, het verband tussen de prijs en het aantal precies beschrijven. De leerling moet van de formulering ‘als het ijsje duurder wordt, verkoopt de ijscoman minder ijsjes’ naar ‘als het ijsje 10 cent duurder wordt, verkoopt hij 50 ijsjes minder’. Hij moet van het globale idee, naar specifieke getallen. Dat is een volgende stap in het abstractieproces. De daaropvolgende stap is om te weten hoe de basisvorm van de formule eruit ziet. In dit geval is dat p = a · q + b. Daarna moet de leerling de waarden van de variabelen a en b berekenen. Om dit te doen moet de leerling weten hoe hij de getallen hiervoor kan gebruiken. Bovendien geldt dat de leerling, om te weten dat hij a en b moet berekenen, een goed begrip moet hebben van de algemene vorm van de formule. Kortom er blijven diverse moeilijkheden en stappen in het abstractieproces voor de leerling over.
Van het kopen van een ijsje op een zonnige middag wordt overgegaan naar het cijferen met getallen en het werken met variabelen. Een ingewikkeld abstractieproces met veel deelstappen. Sommige daarvan zijn al door de auteurs van de opgave gemaakt. De rest moet door de leerlingen gemaakt worden.
Omgekeerd abstraheren
Met de geabstraheerde vorm van het verhaal (na het beantwoorden van opdracht a en b) is het makkelijker om opdracht c uit te voeren. De leerling moet dan wel de vraag vertalen naar de wiskundige vraag “bij welke q is R maximaal?” (dit is niet alleen een vorm van abstractie, maar ook een vorm van communicatie die de leerlingen onder de knie moeten krijgen). Het antwoord van de wiskundige berekening moet de leerling vervolgens gebruiken om de vraag in de opdracht in ‘gewone’ taal te beantwoorden. Hier wordt in feite het proces van abstraheren omgedraaid; de wiskundige berekening wordt omgekeerd geabstraheerd in een talig antwoord. Het abstracte antwoord wordt vertaald naar een antwoord op de contextvraag.
52
4.3.2 Structureren
In dit gedeelte bespreken we onder andere de manier waarop het boek ingedeeld is. In deze paragraaf belichten we telkens verschillende onderdelen van deze indeling. Het totaalbeeld van de indeling van het boek is beschreven in bijlage B.2.
Het is de bedoeling dat het lesmateriaal, waaronder het boek, in het begin voor leerlingen structuur aanbrengt. Op welke manier brengt het boek structuur aan in het lesmateriaal? We zullen in dit kader de volgende zaken van het boek bespreken:
- structuur door middel van de indeling van het boek - structuur door verwijzingen binnen het hoofdstuk - structuur door middel van een totaal overzicht - structuur door het verwijzen naar voorkennis - structuur door symbolen bij opdrachten
De indeling van het boek
Het boek is volgens een bepaalde structuur ingedeeld. Hoofdstuk 1 is onderverdeeld in vier paragrafen, namelijk de paragrafen lineaire formules, functies onderzoeken, vergelijkingen en ongelijkheden, en als laatste toepassingen van functies. Ook de paragrafen zijn weer opgedeeld in stukjes. Zo is de paragraaf vergelijkingen en ongelijkheden opgedeeld in een deel vergelijkingen en een deel ongelijkheden.
In het boek staan in hoofdstuk 1 in totaal 56 opdrachten. In een algemene uitleg voor in het boek wordt het werkschema (zie figuur 4.3) geïntroduceerd met de volgende woorden: “sommige problemen vragen om een standaard aanpak in de vorm van een werkschema”. Nadat een dergelijk werkschema is geïntroduceerd, wordt in het boek een voorbeeld gegeven en vervolgens staat een aantal opgaven waar het werken met dit schema mee geoefend kan worden. Door deze manier van indelen is het nauwelijks meer een vraag welke oplossingsstrategie gebruikt moet worden, maar meer hoe die strategie toegepast kan worden. Het boek kiest er voor het aantal problemen waar de leerling tegelijkertijd mee geconfronteerd wordt te beperken door een duidelijke indeling van typen problemen bij elkaar. Achter in het boek staat voor elk hoofdstuk een paragraaf met gemengde opgaven. Daar staan de opgaven meer door elkaar en is er bij een context ook sprake van meerdere soorten vragen.
Verwijzen binnen een hoofdstuk
Hoewel paragrafen in vormgeving een scherpe scheiding aanbrengen doen ze dat inhoudelijk niet even scherp. Er zijn veel verbanden tussen de stof uit de verschillende (sub)paragrafen en er is vaak ook ten dele overlap. In de paragraaf ‘functies onderzoeken’ komt bijvoorbeeld het onderdeel modelleren aan bod. Modelleren ligt dicht tegen toepassingen van functies aan. Bij het toepassen van wiskundige formules voor het oplossen van contextrijke problemen is een van de (moeilijkste) stappen het modelleren van de rijke context in wiskundige formules.
Op meer gebieden liggen de inhouden van de paragrafen dicht tegen elkaar aan. Een gevolg hiervan is dat in het boek terloops in verschillende paragrafen een aantal met elkaar verband houdende begrippen worden geïntroduceerd. Zo wordt in de paragraaf ‘toepassingen van functies’ de notatie van een oneindig interval geïntroduceerd, terwijl de rest van de bespreking van domein en bereik al in de paragraaf ‘functies onderzoeken’ heeft plaats gevonden. Een ander voorbeeld is dat in de paragraaf ‘toepassingen van functies’ de verticale lijn wordt geïntroduceerd, terwijl in de paragraaf ‘lineaire formules’ de horizontale lijn is geïntroduceerd. Kortom begrippen die inhoudelijk dicht bij elkaar staan, staan topografisch/optisch op erg verschillende plaatsen.
De vraag is echter of het mogelijk is om in een boek alle met elkaar verband houdende begrippen ook topografisch bij elkaar te zetten, wanneer de verschillende begrippen nog geleerd dienen te worden. Dit lijkt niet mogelijk te zijn in een één-dimensionale structuur. Als voor een
Bronnen
53 bepaalde indeling wordt gekozen, kan het zijn dat niet alle met elkaar in verband staande onderwerpen onder hetzelfde kopje vallen. Zou er geschoven worden zodat deze onderwerpen wel bij elkaar staan, dan is er grote kans dat andere onderwerpen topografisch gezien weer (te) ver bij elkaar vandaan staan.