Na elk vooronderzoek zijn Het Zwitserleven en Het benefietconcert aangepast. Alleen de veranderingen in Het Zwitserleven zijn tot dusverre besproken. Hier bespreken we daarom vooral aanpassingen aan Het benefietconcert. In het derde vooronderzoek is voor het eerst de applicatie Tsunami ingezet. Tsunami besteedt aandacht aan richtingscoëfficiënten, modelvorming (met de begrippen domein en bereik), vergelijkingen en ongelijkheden. De applicatie bestaat uit vier tabbladen. Het eerste deel is een korte inleiding op het begrip Tsunami en de gebeurtenissen van 19601. In het tweede deel wordt de reikwijdte van een Tsunami na een aantal uur bekeken en hier worden de begrippen ‘domein’ en ‘bereik’ aan gekoppeld. In het derde deel (en vierde toetsdeel) wordt het model uitgebreid. In dit vooronderzoek is ook een conclusieschema ontwikkeld dat we hier bespreken.
4.1.1 Aanpassingen in de applicaties
In deze paragraaf bespreken we de aanpassingen van de oriëntatieopdrachten, de formuleringen van de (deel)opdrachten en de feedback.
Oriëntatieopdrachten
Na het tweede vooronderzoek stelden we voor om de oriëntatie op het interactieve gedeelte aan te vullen met een oriëntatie op de inhoud van een opdracht. In figuur 4.1 staat een voorbeeld van zo’n opdracht.
Is de winst gelijk aan 0 euro wanneer er geen kaarten verkocht worden?
(opdracht 02 oriëntatie prijsbepaling, tabblad ‘prijsbepaling’, benefietconcert, derde vooronderzoek)
Figuur 4.1 Voorbeeld oriëntatie op inhoud
De opdracht vraagt leerlingen alleen het aantal kaarten gelijk aan 0 maken en af te lezen of de winst gelijk is aan 0. De opdracht wil de leerlingen stil laten staan bij de betekenis van het wiskundige begrip winst en de verbanden tussen de verschillende variabelen laten verkennen. Behalve een oriëntatie op
1 Bij aanvang van het vooronderzoek was het begrip tsunami relatief onbekend. Tijdens het vooronderzoek vond de tsunami in Azië plaats en was het fenomeen veelvuldig op het nieuws.
160
functies, variabelen en hun onderlinge relatie(s) kan in oriëntatieopdrachten ook aandacht besteed worden aan de verbanden tussen de verschillende situaties. Oriëntatieopdrachten krijgen daardoor tevens een structurerende rol. Zo wordt in figuur 4.2 de vraag gesteld of in de nieuwe situatie de oude formule geldig blijft. Door deze inhoudelijke component is het onderscheid tussen oriëntatieopdrachten en de overige opdrachten minder scherp. Er is meer sprake van een geleidelijke overgang.
In de opdracht 'instellen breedte' in het niveau 'inleiding' heb je bekeken bij welke lengte de breedte gelijk aan 17 meter wordt. In de opdracht 'opstellen formule breedte' in het niveau 'basis model' heb je gezien dat je de lengte kunt berekenen met de formule:
breedte = meters hek / 2 - lengte.
Kun je deze formule in de nieuwe situatie nog steeds toepassen? Waarom wel/niet?
opdracht ’02 instellen breedte’, niveau oriëntatie artiestenruimte, benefietconcert, derde vooronderzoek
Figuur 4.2 Voorbeeld aandacht verband tussen opdrachten in oriëntatieopdrachten
Formulering (deel) opdrachten en terugkoppeling
Opdrachten
Om leerlingen beter over het probleem en (vaker) over hun antwoord en de achtergronden te laten beredeneren werd voorgesteld om opdrachten meer sturend te maken. Een voorbeeld uit het eerste vooronderzoek staat in figuur 4.3.
Wat is het verschil tussen de grafiek uit opdracht 6 en de grafiek uit opdracht 34?
(opdracht 35, tabblad ‘basismodel benefietconcert’, versie benefietconcert eerste vooronderzoek)
Figuur 4.3 Voorbeeld van vraag naar een beschrijving van een observatie ui het eerste
vooronderzoek
Eén aanpassing betreft de formulering van de opdracht zelf. De leerlingen worden nu nadrukkelijker gewezen op waar ze op moeten letten. De focus wordt getoond. Hierdoor neemt de kans toe dat leerlingen zien wat ze moeten zien, maar ontneemt hen ook de kans zelf een focus te ontdekken. Een illustratie van de aangepaste opdracht uit figuur 4.3 staat in figuur 4.4.
Christa kan zelf bepalen hoeveel meters afzethek ze wil huren. Teken minimaal twee grafieken van de breedte waarbij het aantal meters hek verschilt. Vergelijk de twee grafieken. Geef van elk van de onderstaande drie punten aan of zij in de twee grafieken verschillen of gelijk zijn:
Het derde vooronderzoek
161
(1) de helling van de grafiek (2) het snijpunt met de x-as (3) het snijpunt met de y-as
(opdracht 02 verschil grafieken meters hek breedte, tabblad ‘basismodel’, benefietconcert, derde vooronderzoek)
Figuur 4.4 Voorbeeld van vraag naar een beschrijving van een observatie met meer sturing
in de focus
Een andere aanpassing betreft de toevoeging van een ‘waarom’-vraag. Na de gebruikelijke opdracht om een beschrijving te geven van de waarneming wordt nu ook gevraagd naar een verklaring. Dit kan worden geïllustreerd met de vervolgopdracht die aan figuur 4.3 is toegevoegd (zie figuur 4.5).
Verklaar waarom:
(1) de helling van de grafiek gelijk blijft (2) het snijpunt met de x-as verschilt (3) het snijpunt met de y-as verschilt
(opdracht 02 verschil grafieken meters hek breedte (vervolg opdracht), tabblad ‘basismodel’, benefietconcert, derde vooronderzoek)
Figuur 4.5 Voorbeeld naar vraag om verklaring van gedane observatie
Terugkoppeling op opdrachten
We stelden ook voor om in opdrachten expliciet aandacht te schenken aan de kernactiviteiten. In figuur 4.6 staat de terugkoppeling op de opdracht uit figuur 4.1 waarin de relatie wordt beschreven tussen het wiskundige model en de werkelijkheid, een onderdeel van abstraheren.
Er is een verschil tussen de manier waarop het woord winst in de wiskunde wordt gebruikt en de manier waarop het in het dagelijks leven wordt gebruikt. In de wiskunde kan de winst ook kleiner dan 0 worden. Verlies is in de wiskunde negatieve winst.
Je kunt links zien dat wanneer je bv. het aantal kaarten gelijk aan 20 maakt, de winst dan - 4261.60 euro wordt.
De opbrengst is wel altijd groter of gelijk aan 0 euro.
(terugkoppeling op opdracht 02 oriëntatie prijsbepaling, tabblad ‘prijsbepaling’, benefietconcert, derde vooronderzoek)
162
Deelopdrachten
In eerste instantie waren de deelopdrachten vooral bedoeld om de hoofdopdracht in kleinere eenheden te verdelen waarop meer gedifferentieerde terugkoppeling kon worden gegeven. Later is dit uitgebreid en werden deelopdrachten ook steeds meer gericht op de uitvoering van kernactiviteiten. Dit is goed te zien in figuur 4.7. De hoofdopdracht uit het benefietconcert is gelijk gebleven (Geef de formule voor de breedte als functie van de 'lengte' en het aantal 'meters hek'.). De deelopdrachten volgen echter meer de oplossingsmethode van het boek en de instructie krijgt steeds meer trekjes van uitgewerkte voorbeelden, waarin accenten worden gelegd op het uitvoeren van activiteiten, als structureren, evalueren, interpreteren en beredeneren (zie Mayer, 1985; Renkl, 2002).
Deelopdracht 1: ‘Stap 1: Bedenk welke zijden van het aantal meters hek gemaakt worden. Welke zijden zijn even groot? Hoe groot?
Vul de volgende zin in en maak hem verder af: Van het aantal meters hek wordt .... maal een zijde met een afmeting gelijk aan ... gemaakt en maal een zijde met een afmeting gelijk aan ... gemaakt.
Herschrijf deze zin tot:
aantal meters hek = ... · ... + .... · ...
Controleer in de simulatie of deze formule klopt.’ ++
Deelopdracht 2: ‘Stap 2: Lees in de begrippenlijst na wat als functie van betekent.
In de opdracht wordt gevraagd de breedte als functie van de lengte en het aantal meters hek te geven. Dit betekent dat de formule er als volgt uit moet zien: b = .... met achter het is teken iets met lengte en meters hek.
Je moet nu dus de formule h = 2 l + 2 b herleiden. Doe dit! Controleer in de simulatie of klopt wat je hebt opgeschreven.’ ++
Deelopdracht 3: ‘Stap 3: De vraag is nu of je antwoord klopt met wat je al weet. Je weet dat het verband tussen de lengte en de breedte lineair is.
De algemene formule van een lineair verband is: y = a x + b (pas op dit is een andere b dan de breedte). In dit geval wordt dit:
breedte = - l + 0,5 h (met l = lengte en h = aantal meters hek).
Je weet nu dat het snijpunt met de y-as van de grafiek gelijk is aan 0,5 h. Je weet ook dat de richtingscoëfficiënt gelijk is aan -1. Controleer deze twee dingen in de grafiek!
Tot slot kun je het snijpunt met de x-as uitrekenen. -l + 0,5 h = 0
l = 0,5 h
Bij deze lengte wordt de breedte gelijk aan 0.’
Figuur 4.7 Voorbeeld deelopdrachten in derde vooronderzoek
Om leerlingen vaker aan te zetten tot structureren zorgden deelopdrachten nu bijvoorbeeld ook voor herhalingen, bouwden ze voort op eerdere redeneringen en bevatten ze verwijzingen naar voorgaande deelopdrachten. Dit is geïllustreerd in figuur 4.8.
Het derde vooronderzoek
163
De opdracht luidt:
‘Geef de formule voor de breedte als functie van de 'lengte' en het aantal 'meters hek'. ‘Wanneer je niet weet hoe je deze opdracht aan moet pakken, kun je de bijbehorende deelopdrachten bekijken.‘
++
De bijbehorende deelopdrachten luiden:
Deelopdracht 1: ‘In 'opdracht 03 lineair?' heb je gezien dat het verband tussen de lengte en de breedte lineair is. In 'opdracht 04 opstellen formule breedte' wordt gevraagd om een formule op te stellen voor dit lineaire verband tussen de lengte en de breedte.
Welke van de onderstaande formules neem je als uitgangspunt? (Let op! Je hebt maar één antwoord poging.)
a) y = a · x + b b) y = a · x² + b · x + c c) y = a · x³ + b · x² + c · x + d’ ++
Deelopdracht 2: ‘In 'opdracht 04 opstellen formule breedte deelopdracht 1' heb je gezien dat voor een lineair verband je de formule y = a · x + b als uitgangspunt neemt. In 'opdracht 04 opstellen formule breedte' wordt gevraagd om een formule op te stellen voor de breedte als functie van de 'lengte' en 'meters hek'.
Hoe vul je nu y, a, x en b in? Kies uit één van de onderstaande alternatieven. (Let op! Je hebt maar één antwoord poging.)
a) y = breedte, x = lengte b) y = lengte, x = breedte’
Figuur 4.8 Geannoteerd voorbeeld deelopdracht van het derde vooronderzoek
In stap 3 van de deelopdrachten (zie figuur 4.9) worden verbanden gelegd tussen de gevonden oplossing en wat de leerling al weet. De leerling wordt gestimuleerd te interpreteren doordat wordt nagegaan wat het gevonden antwoord betekent voor bijvoorbeeld een grafiek. Ook kan er gerekend worden aan punten in de grafiek en kunnen deze gecontroleerd worden (beredeneren).
'Stap 3: De vraag is nu of je antwoord klopt met wat je al weet. Je hebt gezien in stap 2 dat je een kwadratische formule krijgt (q²). De algemene formule van een kwadratisch verband is:
y = a x² + b x + c In dit geval wordt dit: R = -0,004 q² + 12,00 q
164
De grafiek van een kwadratische vergelijking is een bergparabool wanneer de a een negatief getal is. In dit geval is de a gelijk aan -0,004. De grafiek van de opbrengst uitgezet tegen het aantal kaarten is een bergparabool en heeft een maximum. Met andere woorden; er is een aantal kaarten waarbij de opbrengst maximaal is.
Controleer dit in de grafiek die je in opdracht 07 hebt getekend!'.
Figuur 4.9 Voorbeeld stap in deelopdracht waarin interpretatie en aantonen een plek krijgen
Terugkoppeling op deelopdrachten
De terugkoppeling na een foutief antwoord is uitgebreid. Er wordt uitgelegd waarom een antwoord onjuist is en het goede antwoord wordt gegeven. De feedback na een goed gemaakte deelopdracht varieert per opdracht. Soms volgt alleen ‘correct antwoord’. In de meeste gevallen echter volgt meer feedback over het oplossingsproces of er wordt een voorbeeld gegeven hoe leerlingen het antwoord hadden kunnen controleren. In figuur 4.10 wordt het antwoord in de formule gepast en er wordt aangegeven hoe de leerling verder kan gaan. Er wordt in feite informatie ‘weggegeven’ waarmee de balans enigszins verschuift van alles zelf ontdekken naar deels tonen.
Inderdaad dit is het goede antwoord. De formule ziet er dus als volgt uit: breedte = a · lengte + b
Bedenk nu zelf hoe je a en b kunt bepalen of zoek dit op in de woordenlijst (zie niveau 'uitleg') of in je boek.
(terugkoppeling op opdracht 06 lineair (vervolg), tabblad ‘basismodel’, benefietconcert, derde vooronderzoek)
Figuur 4.10 Voorbeeld terugkoppeling op juist antwoord in derde vooronderzoek
4.1.2 Aanvullen met het conclusieschema
We concludeerden uit het tweede vooronderzoek dat leerlingen vaker na moeten denken over hun verkregen resultaten. Om deze reflectie te bevorderen hebben we in het derde vooronderzoek een ‘conclusieschema’ ingevoerd (zie figuur 4.11). In dit papieren schema moeten de leerlingen hun evaluaties en interpretaties uit deelopdrachten samenvatten. Voor ieder tabblad in een SimQuest- simulatie is er een apart schema.
Een conclusieschema bestaat uit een tabel met drie kolommen. In de eerste kolom staat het thema of onderwerp. De tweede kolom bevat de naam van de opdracht. De derde kolom is waar het om draait. Hier moeten de leerlingen hun ideeën noteren. De vormgeving stimuleert ze om conclusies te verbinden aan (deel)opdrachten. Op deze manier zijn hun conclusies voor henzelf en voor de docent traceerbaar. Het conclusieschema biedt slechts één plek voor het schrijven van een overkoepelende conclusie over (deel)opdrachten om te benadrukken dat deze in feite herhalingen zijn van de kernopdracht. Soms is een schema deels voorzien van een conclusie van een deskundige (zie figuur 4.11). De leerlingen kunnen deze conclusie verder uitbouwen en ze ook zien als vorm van feedforward
Het derde vooronderzoek
165 voor de eigen conclusie(s). Op deze manier is een vorm van ‘cognitief leerlingschap’ (Brown, Collins, & Duguid, 1989; Sfard, 2001) geïntroduceerd.
Onderwerp Naam Conclusie
Niveau basisdeel b (zonder artiestenruimte) = – l + 0,5 h opdracht 02 verband lengte – breedte opdracht 03 Niveau basisdeel O (zonder artiestenruimte) = – l² + 0,5 h l opdracht 04 verband lengte - oppervlakte opdracht 05
Figuur 4.11 Voorbeeld conclusieschema in het derde vooronderzoek