Zoals we in de inleidende paragraaf al schreven zijn er twee zienswijzen op wiskunde, namelijk (Bransford et al., 1999):
1. een vak waarin voornamelijk rekenvaardigheid belangrijk is en 2. een vak waarin inzicht in wiskundige begrippen centraal staat.
Een soortgelijke tweedeling in opvatting over wat nuttig en na te streven valt in een vak zien we ook in veel andere domeinen. Kernachtig wordt dit samengevat in de uitspraak van Simon uit 1996 dat “.. the meaning of "knowing" has shifted from being able to remember and repeat information to being able to find and use it” (geciteerd in Bransford et al., 1999, p. 1). Deze tweedeling in opvatting heeft ook consequenties voor ideeën over wat een goede vorm van leren is. Bij “herinneren” en “herhalen”, of meer toegespitst op wiskunde “rekenvaardigheid” lijkt een vorm van instructie waarbij demonstratie, imitatie en intensieve oefening van technieken afdoende te zijn. Bij het vinden en gebruiken van kennis, of in andere woorden bij meer inzichtelijke eisen aan kennis, worden aan het leerproces ook andere eisen gesteld. De activiteiten zoals die onderscheiden werden in het vorige hoofdstuk zijn illustratief voor activiteiten die tot inzicht leiden en waar inzicht uit kan worden afgeleid.
Grabinger (1996, p. 667) geeft een overzicht van de “oude” en “nieuwe” opvattingen van leren binnen de onderwijskunde. Deze zijn samengevat in de volgende tabel (tabel 3.1).
Tabel 3.1. Overzicht van veranderde opvattingen over leren volgens Grabinger (1996).
Oude aannamen Nieuwe aannamen
Kennis is eenvoudig transfereerbaar als er abstracte en gedecontextualiseerde begrippen worden geleerd
Transfer is moeilijk en heeft inhoud en context nodig
Leerlingen zijn ontvangers van kennis Leerlingen zijn actieve constructeurs van kennis Leren is een behavioristische aangelegenheid
waarin de band tussen stimulus en response versterkt wordt
Leren is cognitief en steeds in ontwikkeling
Leerlingen komen “leeg” naar de onderwijssituatie Leerlingen brengen hun eigen kennis en vaardigheden mee naar een leersituatie. Kennis en vaardigheden worden het best
verworven onafhankelijk van de context
Kennis en vaardigheden worden het best verworven in realistische contexten
Toetsing moet een realistische en holistische benadering volgen
De “aannamen” die door Grabinger (1996) genoemd worden zijn voornamelijk gerelateerd aan begripvol leren. Veel recente publicaties over leren en instructie (binnen en buiten de wiskunde) sluiten op de hier genoemde aannamen aan. In hun standaard werk “How people learn” laten Bransford et al (1999) zien dat actieve vormen van leren gerelateerd zijn aan het verwerven van begrip en het verwerven van transfereerbare kennis.
Alhoewel vaak als zodanig gepresenteerd, zijn deze opvattingen over kennis en leren niet geheel nieuw. Dewey (1916), bijvoorbeeld, benadrukte al het belang van het “doen” van “science”, “wiskunde”, en “geschiedenis om begripsvolle kennis te verwerven. Het doen van wiskunde omvat
30
activiteiten als probleem oplossen, abstraheren, ontdekken, en bewijzen. Processen die gelijksoortig zijn aan de processen die wij ook als sleutelprocessen hebben geïdentificeerd. Ook in het werk van Bruner, dat deels zijn oorsprong binnen wiskunde leren had, is er volop aandacht voor betekenisvol leren (Bruner, 1973; Bruner, Goodnow, & Austin, 1956). Ook in Bruner’s opvatting is leren een actief proces waarin lerenden nieuwe ideeën ontwikkelen op basis van hun bestaande opvattingen. Instructie, volgens Bruner, moet er vooral op gericht zijn dat leerlingen principes zelf ontdekken, de gewenste instructiemethode is een actieve dialoog (socratisch leren). De Socratische methode is op zichzelf een goed voorbeeld dat al ver in de oudheid naar leren is gekeken. Goffree (2002) haalt een onderzoek van Mooy uit 1946 aan, waarin klassengesprekken worden uitgeprobeerd om leerlingen bewust te maken hoe ze leren.
Zo zijn we via kennis en leren bij “instructie” gekomen en dringt zich de vraag op welke instructievormen van belang zijn voor het initiëren van processen die tot begripvolle kennis leiden. Het is verleidelijk om hier alleen uit te gaan van onderwijsmethoden waarin leerlingen actief met de stof bezig zijn. Echter, ook bij kennisoverdracht, bijvoorbeeld in de vorm van demonstraties, kunnen leerlingen actief met de stof bezig zijn. Ausubel, Novak, en Hanesian (1968), bijvoorbeeld, maken en verduidelijken het onderscheid tussen iets getoond krijgen en passief zijn. Tussen passief ontvangen en actief ontvangen zit een groot verschil en actief receptief leren kan wel degelijk bestaan. Het is niet correct te beweren dat een leerling tot niets in staat zal zijn wanneer hem, nadat hem iets is gedemonstreerd, gevraagd wordt zelf een (vrijwel identiek) probleem op te lossen. Ook in dit onderzoek zullen wij regelmatig de nadruk leggen op tonen, bijvoorbeeld door middel van expliciteren. Wel is het zo dat onderwijsvormen sterk kunnen verschillen in de mate waarin ze leerlingen uitnodigen om actief te worden. In paragraaf 3.4 zullen we voorbeelden bespreken van projecten / onderwijsvormen die leerlingen specifiek uitnodigen tot actief leren.
Bovenstaande discussie is gerelateerd aan de polemiek over ‘nieuw’ en ‘oud’ leren die nu in Nederland volop gevoerd wordt. Vaak spelen in deze discussie niet alleen onderwijskundige, leertheoretische argumenten een rol, maar ook argumenten die te maken hebben met financiën en schoolorganisaties. Als we ons beperken tot de onderwijskundige argumenten dan zien we dat er wel degelijk evidentie is aan te voeren voor de effectiviteit van vormen van leren waarin actief leerling gestuurd omgaan met de stof, leren in realistische contexten en samenwerken leren (de Jong, 2006b) belangrijk zijn, maar dat er ook nadrukkelijk gezocht wordt naar combinaties van oude en nieuwe vormen waarin ook een belangrijke rol is voor structurering en informatie aanbieding door de docent dan wel de leeromgeving (de Jong, 2006b). Op het gebied van de wiskunde werd een soortgelijke opvatting al vertolkt door Freudenthal (1991) wanneer hij de volgende uitspraak doet (blz. 55): “Guiding means striking a delicate balance between the force of teaching and the freedom of learning.” Ook in de leeromgeving die wij gecreëerd hebben, spelen informatie aanbieding en demonstratie, naast exploratie en ondersteuning een belangrijke rol.
Een onderscheid dat een grote rol speelt in de discussie over actief en meer passief leren is dat tussen inzichtelijk en mechanistisch leren, oftewel, het verschil tussen imiteren en creëren. Voor het aanleren, beheersen en op het juiste moment kunnen inzetten van kennis is het belangrijk dat leerlingen niet alleen memoriseren, maar ook dat zij begrijpen wat ze leren. De tegenhanger van het begrijpen wat men leert, is het leren van “recepten”. Hierbij kan de leerling standaard problemen op een standaard manier oplossen. Op deze manier heeft de leerling geen inzicht nodig (Doyle, 1983). Zonder te begrijpen wat de beginsituatie eigenlijk inhoudt en waarom daar juist die oplossingsmethode op moet volgen, kunnen leerlingen wel de juiste oplossing leveren. Volgens van Streun (1989) verdelen wiskunde docenten opgaven in twee verschillende categorieën, namelijk routineopgaven en nadenkopgaven. Voor de routineopgaven kan een algoritmische oplosmethode gebruikt worden. Kenmerkend voor een algoritmische oplosmethode is dat het doel scherp vast ligt, dat de voorwaarden voor de toepassing van de methode duidelijk zijn, dat de opgave scherp is gedefinieerd en dat het doel
Didactiek
31 bij toepassing van de methode gegarandeerd wordt bereikt (De Jong, 1986). Vooral dit laatste kenmerk duidt een groot verschil aan tussen de algoritmische oplosmethode en de heuristische oplosmethode, waar bij gebruik van de laatste niet persé het doel wordt bereikt. Ook Perrenet (1995) maakt dit onderscheid, alleen hij gebruikt de term transferopgaven voor de nadenkopgaven. Bij de transferopgave is het aan de leerling om verband te leggen tussen het nieuwe en het reeds bekende (Reed, 1992). De garantie van het bereiken van het doel leidt ertoe dat een routineopgave kan worden opgelost zonder dat het vraagstuk noch de oplossing door de leerling begrepen wordt (o.a. Schoenfeld, 1985; Van Streun, 1989). Wanneer een opgave binnen een scherp begrensde klasse valt, dan kan, wanneer de leerling de juiste klasse uit de verschillende klassen weet te kiezen, de leerling de opgave met behulp van de algoritmische oplosmethode oplossen. Voorwaarde hiervoor is wel de capaciteit van de leerling om de verschillende klassen van opgaven uit elkaar te kunnen houden. Het op deze wijze onderwijzen van wiskunde zal op een gegeven moment zijn effectiviteit verliezen. Wanneer de opgaven ingewikkelder worden en het herkennen van de klassen niet meer zo voor de hand liggend is of wanneer opgaven niet langer binnen de strikt gedefinieerde klasse vallen, zullen deze leerlingen verward raken en/of vast lopen. Van Streun (1989) verwoordt deze onderwijsmethode en zijn gevolgen op blz. 93 als volgt:
“Het snel presenteren en inoefenen van de wiskundige algoritmen leidt wel tot een bevredigende prestatie bij het oplossen van standaardopgaven, maar blijkt in wendbaarheid te kort te schieten bij het oplossen van toegepaste problemen.”
Een afweging kan dus gemaakt worden tussen snel presenteren en inoefenen met bevredigende prestaties op standaardopgaven aan de ene kant en veel tijdrovender begripsvol leren met als resultaat een grotere wendbaarheid en wellicht op korte termijn minder bevredigende prestaties op standaard opgaven, aan de andere kant (Gravemeijer et al., 1993).
Men zou nu kunnen besluiten om zich voornamelijk te richten op het bijbrengen van inzicht en het inoefenen van technieken niet langer na te streven. Het is niet zo dat het leren van het één automatisch het leren van het ander tot gevolg heeft. Doyle (1983, p. 166) schrijft:
‘Learning to use an algorithm does not necessarily enable one to understand why the algorithm works or when to use it. Similarly, learning to understand why an algorithm works or when it should be used does not necessarily lead to computational proficiency.’
Maar het is wel belangrijk dat leerlingen behendigheid krijgen in het uitvoeren van (reken)technieken. Uit onderzoek is gebleken dat leerlingen pas ingewikkelder algoritmes kunnen leren wanneer ze eenvoudiger algoritmes geautomatiseerd hebben (Mayer, 1985). Er is momenteel een tendens de rekenvaardigheid een wat meer prominente rol te laten spelen. In de nieuwe examenprogramma's wordt namelijk dit punt expliciet genoemd en er gaan hierover ook vragen op examens gesteld worden. We zoeken dan ook naar een combinatie van het inoefenen van technieken en het verkrijgen van inzicht in concepten.
In samenvatting hebben wij in de door ons ontwikkelde methode gezocht naar een vorm van instructie waarin demonstratie en uitleg een belangrijke plaats hebben naast actieve omgang met wiskunde door de leerlingen. Dit laatste gebeurt dan wel op een gestructureerde en ondersteunde manier. Het doel is processen van abstractie, structureren, evalueren, interpreteren, beredeneren en communiceren te bevorderen zodat begripsmatige kennis ontstaat. Hierbij moet nog steeds ruimte worden gemaakt voor het inoefenen van technieken. In de volgende paragraaf worden kort enkele benaderingen beschreven die ter inspiratie hebben gediend.
32