Zoals we in figuur 4.2 lieten zien, heeft een leerling verschillende bronnen tot zijn beschikking. In deze paragraaf zullen we één van deze bronnen, namelijk het leerboek, als uitgangspunt nemen. Het leerboek is concreet en gelijk in verschillende klassen, daar waar docenten en medeleerlingen verschillen. We zullen bespreken waar in onze ogen aanvulling op het leerboek wenselijk is en hoe en of deze aanvulling door het te ontwikkelen materiaal dan wel door de docent gegeven kan/dient te worden. We zullen deze bespreking aan de hand van de verschillende kernactiviteiten doen. Voorafgaand aan deze bespreking zullen we echter een korte introductie van de verschillende bronnen geven.
4.2.1 Het leerboek
Keuze voor methode Getal en Ruimte
In het Nederlandse wiskundeonderwijs worden verschillende leermethoden gebruikt. Eén van de meest gangbare wiskunde methoden is de methode Getal & Ruimte. Omdat methoden onderling verschillen, onder andere wat betreft de tijdstippen waarop verschillende onderwerpen worden behandeld, is er voor gekozen om in het onderzoek scholen te laten deelnemen, die met de methode Getal & Ruimte werken. In de bespreking van het leerboek, zullen we (vooral) het leerboek van de methode Getal & Ruimte bespreken.
Een boek heeft slechts beperkte ruimte. Lange teksten zal bijna geen enkele leerling lezen, kleinere stukken tekst lezen de meeste leerlingen ook niet. Het gevolg daarvan is dat een boek keuzes moet maken in waar het zich op richt in stukken tekst. Daarom zal een boek bij voorbaat al niet alle ondersteuning bieden, die we in hoofdstuk 1.3 hebben voorgesteld. Om al deze punten namelijk te behandelen is veel verklarende tekst nodig. In dit gedeelte zullen we bespreken welke keuzes de samenstellers van Getal en Ruimte gemaakt lijken te hebben.
Differentiatie
Een boek dat de leerling in handen krijgt, is voor elke leerling hetzelfde, de inhoud verandert niet. Verschillende leerlingen krijgen met eenzelfde boek te maken. De leerlingen kunnen er zelf voor kiezen extra opgaven te maken uit de gemengde opgaven in het boek of uit de diagnostische toets (al
Bronnen
43 staat die laatste vaak wel op de studiewijzer ingepland). Ook staan er (alhoewel niet in hoofdstuk 1) differentiatie opgaven, die volgens de inleiding van het boek bedoeld zijn voor de leerlingen met wiskunde B. Maar binnen een opgave wordt er niet aan differentiatie gedaan door bijvoorbeeld voor de betere leerlingen dieper op het vraagstuk in te gaan of door te vragen naar de achterliggende wiskunde.
Gemaakte keuzes in het boek
Een eerste punt waarop keuzes gemaakt moeten worden, is het tonen of het zelf ontdekken van kennis. In het boek wordt vrijwel direct de theorie geïntroduceerd. Bij de theorie worden uitgewerkte voorbeelden gegeven. Met de verschillende opgaven, die op de theorie volgen, worden de leerlingen geacht zelf aan de slag te gaan. Zij kunnen daarbij de voorbeelden gebruiken om de opgave te maken. Het is aan de leerling om te ontdekken waarin de nieuwe opgave verschilt van het voorbeeld. Een verdere beschrijving is te vinden in bijlage B.2.
De auteurs van het boek doen in het boek zelf geen uitspraak over welk doel zij voor ogen hebben: - een diep inzicht in de wiskunde of
- vooral het kunnen gebruiken van de stof (oefenen van technieken).
Het boek biedt zowel aangeklede opgaven als kale rijtjes aan. Deze kale rijtjes zijn geschikt voor het inoefenen van technieken. Wanneer we kijken naar de aandacht die bij de aangeklede opgaven aan het werken met die context wordt besteed (zie o.a. ook de gedeelten abstraheren en structureren), dan lijkt het boek beperkte aandacht aan diep inzicht te besteden en vooral uit te zijn op het kunnen toepassen van technieken. Dit idee wordt versterkt wanneer we kijken naar de introductie van werkschema’s die oplosschema’s voor standaardproblemen zijn (zie ook onderstaand voorbeeld in figuur 4.3).
44
(Reichard et al., 2002) blz. 21, hoofdstuk 1, voorbeeld
Figuur 4.3 Voorbeeld van een oplosschema uit het leerboek
Ook de geslotenheid van opdrachten en het vragen naar een getal als antwoord en daar niet verder bij stilstaan (ook niet in het antwoordenboek) ondersteunt deze gedachte verder. We zullen in het vervolg van deze paragraaf zien, dat in het boek tal van mogelijkheden zijn om met de andere bronnen de kernactiviteiten inzichtelijk (beter) te ondersteunen.
4.2.2 Technologie
Technologie is een heel brede noemer waaronder veel verschillende middelen vallen, zoals webpagina’s, rekenmachines, GR’s, applets (zoals te vinden op de webpagina van het Freudenthal instituut), maar ook programma’s als WiskHint, Maple, enz. De inzet van technologische middelen is
Bronnen
45 relatief nieuw in het onderwijs. Pakweg een halve eeuw geleden bestonden deze technologische (hulp)middelen eenvoudigweg nog niet. In het wiskundeonderwijs is de laatste 50 jaar behoorlijk wat veranderd door de invoering van technologische middelen (zie ook Vonk & Doorman, 2000). Eerst kwam de rekenmachine, met als gevolg dat allerlei regels voor het hoofdrekenen niet meer geleerd hoefden te worden. Daarna volgde de GR en allerlei computerprogramma’s. De GR wordt in de bovenbouw volop gebruikt en mag ook bij het centrale eindexamen gebruikt worden. Computerprogramma’s worden steeds vaker ingezet. Het maken van het centrale examen op de computer bevindt zich op dit moment van schrijven (2008) nog in de test fase.
Hoewel op scholen maar mondjesmaat computer programma’s worden gebruikt (vooral wanneer we het internet als informatiebron buiten beschouwing laten) is er wel veel onderzoek naar het gebruik van computer programma’s gedaan. Dit gebruik kan heel veel verschillende vormen aannemen. Een specificatie van het soort computerprogramma’s en het gebruik daarvan is gewenst. Harskamp et al (1996) maken een indeling in de opbouw van de didactische functie van computergebruik:
1. Als basisfunctie kan de computer ingezet worden om berekeningen uit te voeren en antwoorden te controleren. Een voorbeeld hiervan is de inzet van de rekenmachine in het onderwijs of computerprogramma’s met gelijkwaardige mogelijkheden.
2. Een stap verder gaat het gebruiken van de computer voor het tekenen en verkennen van grafieken. Een voorbeeld hiervan is het gebruik van de GR in het onderwijs. Een ander voorbeeld zijn applets waarbij je de waarden van de variabelen in formules kunt veranderen, waarna de computer de nieuwe grafiek tekent, zonder dat de computer nog verdere informatie geeft.
3. De volgende stap is het onderwijzen van probleemoplosvaardigheden met behulp van de computer en het geven van feedback.
4. Op het hoogste niveau komt de didactiek van de computeromgeving volledig overeen met de didactiek van het studieboek. In hun publicatie komen de auteurs tot de conclusie dat op dat moment er geen computeromgeving was die dit hoogste niveau bereikt had. De meeste omgevingen voerden slechts berekeningen uit zonder de leerling hierbij te betrekken.
De discussies over wat er als gevolg van het inzetten van de GR en computers niet langer geleerd hoeft te worden en wat noodzakelijk blijft om te leren, zijn volop aanwezig. Ook over het moment van inzetten lopen de meningen uiteen. Kunnen leerlingen goed werken met rekenmachines, GR’s en computerprogramma’s wanneer de achterliggende theorie (nog) niet behandeld is? Het is volgens Drijvers (2002) zaak om te zorgen dat de lerende de techniek die in de computeromgeving gebruikt wordt, doorziet op basis van de pen-en-papier ervaring die de lerende al heeft. Buchberger (1989) suggereert dat studenten alleen van computeralgebra gebruik dienen te maken, wanneer ze in staat zijn om de bewerkingen met de hand uit te voeren. De praktijk op het VWO is op dit moment echter anders. Zo gebruiken de leerlingen in 4 VWO de GR om maxima te bepalen, maar kunnen zij dit niet (voor alle soorten tweedegraads functies) met de hand. De gedachte is dat leerlingen niet hoeven te begrijpen hoe het antwoord bereikt is, de GR berekent dit immers voor hen, ze hoeven alleen nog te leren wat ze met dit antwoord kunnen. Daarmee zijn we terug bij de discussie over wat er wel en niet geleerd hoeft te worden als een nieuwe technologie ingezet wordt.
Telkens als een nieuw technologisch middel in het onderwijs ingevoerd wordt, vindt onderzoek plaats naar de mogelijkheden, beperkingen en gevolgen van de inzet van dit middel. Uit de discussies en conclusies van het onderzoek naar en de ervaring met de inzet van de GR, kunnen allerlei lessen geleerd worden wat betreft de inzet van andere computerprogramma’s. Een goed voorbeeld hiervan zijn de onderzoeksvragen, die Harskamp et al. (1996) zich hebben gesteld in hun onderzoek naar de invloed van het gebruik van de GR op het begrip en de wiskundige vaardigheden van leerlingen:
- Gebruiken leerlingen die met het nieuwe materiaal werken vaker een visuele strategie om problemen op te lossen dan leerlingen die er niet mee werken?
46
- Behalen leerlingen die het nieuwe materiaal gebruiken betere resultaten bij het oplossen van wiskunde problemen dan leerlingen die uitsluitend met het bestaande materiaal werken?
- Welke knelpunten stellen docenten vast in de leerstofuitlijning en de opgaven van het lesmateriaal? - Geven docenten die met het nieuwe materiaal werken meer probleem gericht onderwijs en krijgen de
leerlingen meer gelegenheid tot zelfwerkzaamheid dan in andere situaties en welke organisatorische problemen doen zich voor bij gebruik van het nieuwe materiaal?
We herkennen hier veel huidige onderzoeksvragen van het onderzoek naar de inzet van computerprogramma’s, zelfs enkele vragen die we in dit proefschrift hopen te beantwoorden.
Bij de aspecten waarvan wij vinden dat het boek aangevuld dient te worden, zullen we dan ook trachten, op basis van reeds uitgevoerd onderzoek naar technologieën, het te ontwikkelen materiaal daarvoor in te zetten.
In hoofdstuk 3 concludeerden we dat onderzoekend leren een veelbelovende didactiek is. Om deze vorm van leren te realiseren ligt de inzet van technologie voor de hand. Wanneer we technologie inzetten om leerlingen experimenten te laten doen en data te laten verzamelen, dan betekent dit dat er nog een extra vorm van ondersteuning gegeven dient te worden. Reid, Zhang en Chen (2003) onderscheiden drie soorten ondersteuning bij het doen van onderzoek:
- interpretatieve ondersteuning, - experimentele ondersteuning en - reflectieve ondersteuning.
Interpretatieve ondersteuning dient volgens deze auteurs om leerlingen te helpen bij het verkrijgen van de juiste betekenis van de begrippen en het genereren van beantwoordbare onderzoeksvragen. Experimentele ondersteuning dient om leerlingen te helpen bij het opstellen en doen van experimenten op een systematische en logische manier en het trekken van juiste conclusies uit de resultaten van de experimenten. Reflectieve ondersteuning dient om leerlingen te helpen de nieuw verworven kennis te integreren met de bestaande kennis en het zelfbewustzijn tijdens en van het leerproces te vergrootten.
4.2.3 De docent
Bij de bespreking van de ondersteuning van het leren van de kernactiviteiten, zullen er zaken zijn waarvoor noch het boek, noch de technologische middelen (voldoende) ondersteuning (kunnen) bieden voor leerlingen. Het is daarom wenselijk dat de overige twee bronnen, namelijk de medeleerlingen en de docent, deze nog ontbrekende ondersteuning kunnen bieden. Deze twee bronnen hebben beide het voordeel dat tweezijdige communicatie mogelijk is en dat ze de mogelijkheid hebben (mits ze in staat zijn de informatiebehoefte van de leerling juist te bepalen) om de keuze van de informatie die ze doorspelen heel nauw af te kunnen stemmen op de behoefte van de leerling, met andere woorden ze zijn heel flexibele bronnen.
Een belangrijke karakteristiek van de docent is de mogelijkheid van tweezijdige communicatie. Een docent is vaak een prettige informatiebron voor de leerling. Moet bij technische hulpmiddelen een vast protocol gevolgd worden om de gewenste informatie op het scherm te krijgen, een docent is veel flexibeler. In tegenstelling tot medeleerlingen heeft de docent grondige kennis van het vakgebied. Dit kan nadelig zijn als het de docent belemmert om aansluiting te vinden bij de leerlingen. Het is echter ook voordelig. Deze flexibele vakkennis maakt het mogelijk om precies te balanceren tussen het tonen en zelf ontdekken. De docent kan zijn beheersing van de stof uitbaten door het volgen van de redenering van de leerling om vervolgens aan te sluiten aan de leerling en hem een stapje verder te helpen. Zijn kennis, maar ook zijn ervaring, kan de docent benutten om precies op het punt van de zone van nabije ontwikkeling1 te komen.
1 Hiermee wordt bedoeld dat de docent de leerling uitdaagt door net voorbij het punt te gaan, tot waar de leerling de stof beheerst, door bijvoorbeeld een opdracht te geven die net iets moeilijker is dan de opdracht die de leerling al heeft opgelost.
Bronnen
47
4.2.4 Medeleerlingen
Mede dankzij het sociaal-constructivisme is er ruime(re) aandacht voor samenwerken gekomen (Verloop & Lowyck, 2003). Een voordeel van samenwerking tussen leerlingen is dat ze elkaars taal spreken (Noddings, 1985), daar waar er communicatieproblemen kunnen optreden tussen docent en leerling (Korthagen & Lagerwerf, 1995). Het is echter niet zo dat leerlingen per definitie elkaars taal spreken. Sfard (2001) vindt bijvoorbeeld dat leerlingen elkaar soms ook misverstaan. Volgens de auteur moet er meer aandacht komen voor zaken die tot dan toe als irrelevant gezien werden en dat zijn er volgens haar veel. Op een aantal gaat ze in haar artikel in, zoals intenties (het wel of niet erop uit zijn om ideeën uit te wisselen), en vertrouwen in eigen kunnen (bijvoorbeeld voor het wel of niet beginnen van een eigen denklijn).
Over het algemeen biedt onderzoek naar samenwerkend leren een positief beeld, mede doordat leerlingen een probleem vanuit verschillende gezichtspunten leren zien en met verschillende interpretaties geconfronteerd worden (Kreijns, Kirschner, & Jochems, 2003; Verloop & Lowyck, 2003). Er zijn echter ook andere geluiden, waarbij samenwerken een negatieve invloed heeft op de leerresultaten (zie o.a. Kreijns et al., 2003; Leidner & Fuller, 1997; Rogers et al., 2000). Het is dus nodig om te bepalen onder welke omstandigheden het samenwerken een positieve invloed op het leren heeft. Onderzoek richt zich onder andere op welke leerlingen het beste kunnen samenwerken (o.a. Johnson & Johnson, 1987; Wang & Lin, 2007; Webb & Palinscar, 1996) en hoe deze samenwerking (het beste) vorm gegeven kan worden (o.a. Dewiyanti, 2005; Gijlers, 2005; Kreijns et al., 2003; Leidner & Fuller, 1997; Slavin, 1996; Webb & Palinscar, 1996).
Onderzoek naar samenwerken op een informele wijze waarbij leerlingen tijdens individueel werken een medeleerling zelf om samenwerking kunnen vragen is er weinig (Slavin, 1996). In dit onderzoek laten we de keuze aan de docent (en leerlingen zelf) om te bepalen of en hoe er samengewerkt wordt.