In dit onderzoek vormen de zes kernactiviteiten het algemene kader. Daarbij hebben we aandacht voor de eerder genoemde verwerkingsfase in probleem oplossen (zie figuur 3.10 2) en de mogelijke link met de factoren (zie figuur 3.11 3).
3.5.1 Abstraheren
Geobserveerde handelingen en uitspraken van leerlingen
Oriënteren
In het eerste vooronderzoek zagen we dat de opdracht ‘Probeer zelf de verschillende knoppen uit en bekijk wat er gebeurt’ nauwelijks tot actieve exploratie leidde. In dit vooronderzoek voeren de
2
(1) lezen van opdracht, (2) oriëntatie, (3) plan van aanpak, (4) uitvoering plan van aanpak, (5) verwerken van de resultaten en (6) plaatsen van de resultaten
3 (1) voorkennis, (2) simulatievaardigheden, (3) onderzoeksvaardigheden, (4) monitoren en (5) ideeën, normen en waarden (50,75) (41,68) (42,79) (37,68) (41,64) Dit is de cirkel met alle mogelijke oplossingen (afstand = 10)
Het tweede vooronderzoek
129 leerlingen opdrachten in inleidende opdrachten om de knoppen uit te proberen over het algemeen wel uit (zie tabel 3.8); 19 van de 20 leerlingen maakt op z’n minst 1 berekening met de Zwitserleven- interface. Gemiddeld werden er 2,05 (1,34) simulatieberekeningen uitgevoerd. Omdat het hier onder andere om het verkennen van het interactieve gedeelte gaat zonder dat daar wiskunde achter steekt, is het verschil tussen de groepen leerlingen met een verschillende strategie niet relevant, alle leerlingen moeten een beeld krijgen wat er is afgebeeld en welke knoppen waarvoor dienen.
We kunnen verder specificeren door te kijken naar het aantal maal dat leerlingen een simulatieberekening hebben uitgevoerd met zelf gekozen waarden voor variabelen. Ook deze resultaten staan in tabel 3.8. Een kwart van de totale groep heeft geen simulatieberekening met eigen waarden uitgevoerd. Onderscheid tussen de verschillende groepen leerlingen leert dat de helft van de zwakke leerlingen het alleen bij het berekenen van de standaardwaarden (de waarden zoals ze zijn bij het openen van de opdracht) laat. Deze leerlingen beginnen aan de volgende opdrachten zonder een goed beeld te hebben van het interactieve gedeelte. Bij de andere twee groepen is dit slechts één leerling. Dit verschil is niet significant.
Tabel 3.8 Het aantal leerlingen dat simulatieberekeningen uitvoert bij een inleidende
opdracht
sterk gemiddeld zwak Totaal
0 - 1 - 1 1 2 1 3 6 2 3 5 2 10 4 1 - - 1 5 - 1 - 1 aantal simulatie berekeningen 6 - - 1 1 Totaal 6 8 6 20 0 1 1 3 5 1 2 5 1 8 2 2 1 1 4 4 1 - - 1 5 - 1 - 1 aantal simulatie berekeningen met minimaal 1 eigen waarde 6 - - 1 1
Naar aanleiding van de resultaten van het eerste vooronderzoek zijn oriëntatieopdrachten aan het materiaal toegevoegd. Deze oriëntatieopdrachten zijn bedoeld om leerlingen een beter begrip van het interactieve gedeelte te geven. Hoe vaak zijn bij deze opdrachten in dit vooronderzoek simulatieberekeningen uitgevoerd? Van een tweetal oriëntatieopdrachten staan in tabel 3.9 de gegevens. Deze opdrachten volgen op de inleidende opdracht uit tabel 3.8 en zijn door alle leerlingen gemaakt. We zien dat bij de oriëntatieopdrachten gemiddeld meer simulatieberekeningen (gemiddelde oriëntatie x = 4,50 (4,26), t = 2,44, df = 38, p = 0,020 (2-zijdig) en gemiddelde oriëntatie y = 4,55 (4,03), t = 2,61, df = 38, p = 0,013 (tweezijdig getoetst)) uitgevoerd worden dan bij de inleidende tekst uit tabel 3.8.
De invloed van voorkennis op het aantal simulatieberekeningen in de oriëntatieopdracht is niet significant (p > 0,10). Verder is er een negatieve correlatie tussen het aantal simulatieberekeningen met eigen waarden bij de inleidende opdracht en het aantal simulatieberekeningen bij de oriëntatieopdracht ‘oriëntatie x-coördinaat’, spearman’s rho = -0,56, p = 0,01 (tweezijdig getoetst). De opdracht ‘oriëntatie y-coördinaat volgde vervolgens op de opdracht ‘oriëntatie x-coördinaat’. Deze
130
negatieve correlatie is net niet meer significant, spearman’s rho = -0,43, p = 0,060 (tweezijdig getoetst). Kortom, hoe minder simulatieberekeningen leerlingen uitvoeren bij de inleidende opdracht, hoe meer simulatieberekeningen ze uitvoeren bij de daarop volgende oriëntatieopdracht.
De oriëntatieopdrachten zetten de leerlingen aan om het interactieve gedeelte te verkennen. Aan het doel waartoe de opdrachten werden ontworpen lijkt derhalve te zijn voldaan. Maar er zijn wel enige kanttekeningen te plaatsen. Er zijn bijvoorbeeld signalen dat leerlingen toch nog onvoldoende begrip van het interactieve gedeelte hebben (categorie 2b, tabel negatief in bijlage B.4.2.1). Het gaat daarbij voornamelijk om de zwakke leerlingen. Deze leerlingen weten, ook na de oriëntatieopdracht, bijvoorbeeld niet hoe een invoerveld met de animatie samenhangt (zie ook figuur 3.16).
Tabel 3.9 Aantal simulatieberekeningen bij een tweetal oriëntatieopdrachten
opdracht voorkennis leerling N gemiddeld aantal SimQuest- berekeningen sterk 6 2,33 (1,51) gemiddeld 8 4,63 (4,66) zwak 6 6,50 (5,09) oriëntatie x- coördinaat Totaal 20 4,50 (4,26) sterk 6 4,33 (4,13) gemiddeld 8 3,00 (2,20) zwak 6 6,83 (5,27) oriëntatie y- coördinaat Totaal 20 4,55 (4,03)
Leerling 18 kijkt op zicht, of ze ongeveer goed uit zal komen. Ze twijfelt of haar idee ‘dat je het tussen de streepjes af kan lezen’ klopt: “ja, misschien toch wel, ik weet het niet, het is maar een gok”.
(leerling 18, vooronderzoek 2)
Figuur 3.16 Voorbeeld gebrek begrip van interactief gedeelte na oriëntatieopdracht
De (verwachting over de resultaten van de) inzet van interactieve gedeelten
In deze paragraaf zullen we drie aspecten bespreken die te maken hebben met abstraheren in de fase van het opstellen van een plan van aanpak: (1) het bedenken of weten hoe het interactieve gedeelte ingezet kan worden, (2) de grotere openheid van opdrachten, waardoor leerlingen meer moeten kiezen en (3) de rol van verwachtingen van leerlingen over mogelijke uitkomsten.
Bij iedere opdracht moeten leerlingen bedenken of weten hoe het interactieve gedeelte ingezet kan worden. De uitspraken van leerlingen over deze kennis nemen we als signaal voor het abstraheren in deze fase. Zoals te verwachten zijn er aanzienlijke verschillen.
In sommige uitspraken geven leerlingen er blijk van een goed idee hebben hoe het interactieve gedeelte gebruikt kan worden (zie ook categorie 3b, tabel positief in bijlage B.4.2.1). Twee voorbeelden van dergelijke uitspraken zijn: “ik bekijk er nog één voor de zekerheid” en “dan verander ik …., want ….”.
Het tweede vooronderzoek
131 Het komt echter ook voor dat leerlingen niet weten hoe ze met behulp van de computeromgeving hun vraag kunnen beantwoorden (zie ook categorie 3b, tabel negatief B.4.2.1 in bijlage). Hun onbegrip blijkt bijvoorbeeld uit uitspraken als: “lijkt me wel ja, maar hoe je dat kan uitproberen?”, ‘ik heb geen idee’ en ‘dat wordt/was gokken’.
Bij het opstellen van een plan van aanpak kunnen leerlingen waarden van variabelen zelf kiezen. In tegenstelling tot wat leerlingen over het algemeen gewend zijn, gaat het hierbij in de opdrachten regelmatig om meerdere variabelen. Bij een gebruikelijke opdracht zijn alle variabelen door de ontwerper van een waarde voorzien, op de variabele waarvan de waarde uitgerekend moet worden na. Wij hebben er bij sommige opdrachten voor gekozen om meerdere variabelen geen waarde te geven (ongedefinieerd te laten). De opdrachten zijn op dit punt meer open en leerlingen moeten zelf waarden kiezen voor deze extra ongedefinieerde variabelen. Een voorbeeld van een gebruikelijke opgave is: ‘iemand legt 10 kilometer af in een half uur tijd. Wat is zijn gemiddelde snelheid?’. Het is mogelijk om dit voorbeeld meer open te maken; de leerling zou bijvoorbeeld zelf de afstand kunnen kiezen. De formulering van de opdracht wordt dan: ‘kies een afstand. Iemand legt deze afstand in een half uur tijd af. Wat is zijn gemiddelde snelheid?’ Deze openheid zijn leerlingen niet gewend en onze keuze voor een dergelijke openheid heeft, mede daardoor, een aantal gevolgen. In dit gedeelte over abstraheren gaan we op twee van deze punten in, namelijk het wel of niet overgaan tot kiezen door leerlingen (in deze fase) en het inoefenen van rekenwerk (in fase 6). In andere paragrafen komt een ander punt, de garantie dat leerlingen ‘zien wat ze moeten zien’, aan de orde.
Zoals gezegd moeten leerlingen regelmatig zelf meerdere waarden kiezen. Leerlingen zijn dit niet gewend en het komt voor dat dit leidt tot het niet kunnen oplossen van een opdracht. Een voorbeeld hiervan staat in het volgende kader (figuur 3.17):
Opnieuw is dit een voorbeeld over de opdracht over het vinden van vijf oplossingen om een lengte 10 te krijgen. Leerling 14 wil in eerste instantie de stelling van Pythagoras gebruiken. Hij loopt echter tegen het feit aan dat hij daar twee onbekenden in over houdt. Hij realiseert zich niet dat hij één van beide kan kiezen en dan vervolgens de andere met de stelling kan berekenen. Hierdoor wordt de stelling voor hem onbruikbaar.
(leerling 14, opdracht 02 vijf lengtes, tabblad basismodel, vooronderzoek 2)
Figuur 3.17 Voorbeeld van hoe extra keuzes die leerlingen moeten maken tot moeilijkheden
kunnen leiden
De leerling in dit voorbeeld denkt de formule alleen te kunnen gebruiken wanneer alle variabelen, behalve die variabele die berekend dient te worden, vastliggen. De leerling ziet in dat er twee onbekenden zijn. Hij kiest niet een waarde voor één van de twee, maar trekt de conclusie dat hij de formule niet kan gebruiken.
De onbekendheid met het zelf moeten kiezen van waarden van variabelen, is een voorbeeld van hoe de factor ‘ideeën, normen en waarden’ een rol speelt. Er zijn meer manieren waarop ideeën, normen en waarden leerlingen kunnen beïnvloeden. Een tweede voorbeeld zijn ideeën over de ‘schoonheid’ van de uitkomst. Dat wil zeggen dat leerlingen verwachten dat de uitkomsten over het algemeen gehele getallen zijn (getallen uit de verzameling Z), hoewel eenvoudige (decimale) breuken (getallen uit de verzameling Q) af en toe ook voor kunnen komen. Wortels en breuken met daarin wortels (getallen uit de verzameling R) zijn voorbeelden van uitkomsten die leerlingen minder verwachten.
132
In boeken en in proefwerken wordt vaak gezorgd voor ‘mooie’ uitkomsten, hoewel in reële situaties uitkomsten over het algemeen niet mooi zijn. In het volgende voorbeeld (figuur 3.18) vertrouwt de leerling erop dat ook in SimQuest ‘mooie’ getallen de uitkomst zijn. Dit heeft in dit voorbeeld tot gevolg dat de leerling zijn plan van aanpak op deze aanname bouwt. Hij baseert zijn keuze van de waarden van invoervariabelen hierop. De leerling gaat op zoek naar gehele getallen, of in zijn woorden ‘makkelijke macht’. In dit geval leverde dit inderdaad een oplossing op.
“als je een driehoek hebt, deze moet 10 zijn, heb je dus a2 + b2 = c2 dus a2 + b2 is gelijk aan 100
makkelijke macht 4 25 36 40 60 64 en ohja 64 en 36 is 6 is100 dus dan krijgen we 6 en 8 dus dan hebben wij ehm 44 en 8 is 10 dit is er ook één van 10. Dat is 44, 75. of nee, wacht”
(leerling 16, vooronderzoek 2)
Figuur 3.18 Voorbeeld van ‘verwachting’ mooie getallen
Omgekeerd abstraheren
In dit gedeelte zullen we op aspecten die te maken hebben met de verwerking (evaluatie en interpretatie) van resultaten ingaan, namelijk (1) het nadenken over de resultaten van het uitgevoerde plan van aanpak en (2) het bedenken of en zo ja hoe de aanpak herhaald en/of uitgebreid dient te worden. Voor beide geldt dat leerlingen van de abstracte berekening of beredenering terug moeten naar de contextrijke vraag. Leerlingen moeten ‘omgekeerd abstraheren’ (voor de evaluatie en interpretatie). Eén van de aspecten van het nadenken over de resultaten van het uitgevoerde plan van aanpak is nadenken over de redelijkheid van het antwoord. We stelden in deel 1, hoofdstuk 3 dat contexten als feedback op de juistheid van het antwoord kunnen fungeren. Uit de literatuur blijkt dat het voorkomt dat leerlingen deze vorm van feedback niet in hun voordeel gebruiken. Het gebeurt dat leerlingen uitkomsten krijgen, die nooit kunnen voor datgene wat ze berekenen (bijvoorbeeld een negatieve waarde van een omtrek bij een bepaalde lengte en breedte). Leerlingen beseffen dit niet altijd; ze geven dit soort uitkomsten wel als antwoord, zonder daarbij opmerkingen over de onredelijkheid van het antwoord te maken. Het vraagt om meer als alleen de aanwezigheid van een context, om condities te scheppen waarbij alle leerlingen profiteren van feedback van de context op het resultaat van hun berekening.
Tijdens het werken met Zwitserleven kwam het voor dat de concrete vraagstelling voor leerlingen aanleiding was om gemaakte fouten op te merken, zoals in onderstaand voorbeeld (figuur 3.19). De leerlinge uit dit voorbeeld gebruikt de implicatie van de waarden die ze berekend heeft (een auto moet in een bergachtig gebied harder tijden dan in een vlak gebied), om na te gaan waar ze in de berekening een fout heeft gemaakt.
Leerling 17 vult in een formule het verkeerde getal in. Wanneer ze het antwoord ziet begint ze te lachen, “want hij moest dan binnen de bergen harder rijden dan buiten de bergen”. Vervolgens vult ze wel het juiste getal in.
(leerling 17, vooronderzoek 2)
Het tweede vooronderzoek
133 Een ander aspect van de verwerking is het nadenken of de opdracht beantwoord is of dat aanpak herhaald en/of uitgebreid dient te worden. Het kan bijvoorbeeld zijn dat de uitkomsten aanleiding zijn om nog een andere waarde te bekijken of een verwante vraag te beantwoorden. Een aanleiding kan zijn dat uitkomsten niet voldoen aan de normen waaraan ze volgens leerlingen moeten voldoen. De ideeën over deze normen kunnen leerlingen bijvoorbeeld hebben opgedaan in het gevolgde onderwijs. Het is positief als deze ideeën door de manier van werken naar voren komen en gepreciseerd of bijgesteld kunnen worden. Maar deze ideeën kunnen ertoe leiden dat leerlingen weinig vertrouwen hebben in wat ze doen. Een voorbeeld hiervan staat in figuur 3.20.
Bij de opdracht van figuur 3.23 kiest leerling 2 een vrij steile lijn. Dat betekent dat hij hoge waarden voor ‘a’ en ‘b’ krijgt. Als hij de oplossing heeft gevonden, maakt hij de opmerking: “volgens mij moet het ook met kleinere getallen kunnen”.
(leerling 2, vooronderzoek 2)
Figuur 3.20 Voorbeeld van gevolgen van een idee opgedaan in gevolgd onderwijs
In een abstracte context zijn extreme uitkomsten mogelijk en zijn de situaties waar ze bij horen vaak wiskundig gezien juist interessant. Zo hoort een oneindig grote waarde van ‘a’ bij een verticale lijn. Een interessant speciaal geval. Helaas trekt de leerling in bovenstaand voorbeeld (figuur 3.20) niet de conclusie dat hij richting een speciaal geval gaat. Hij vraagt zich daarentegen af of het niet ook met kleinere getallen kan. Wanneer hij zou proberen zijn vraag te beantwoorden dan komt hij wellicht alsnog tot de interessante conclusie. Helaas is dit tijdens deze sessie niet (waarneembaar) gebeurd.
Automatiseren
Wanneer leerlingen nieuwe kennis hebben verworven, moet deze kennis geautomatiseerd worden om de hoge cognitieve belasting te reduceren (zie deel 1, hoofdstuk 3). Dit automatiseren van kennis of inoefenen van technieken geschied door het veelvuldig uitoefenen van deze technieken. In Zwitserleven kunnen onder andere veel situaties berekend worden door veel verschillende waarden voor de ongedefinieerde variabelen te kiezen. Verschillende situaties in het interactieve gedeelte leveren verschillende gradaties van moeilijkheid van rekenwerk op. Wanneer een leerling zelf kan kiezen dan kan hij wat het rekenwerk betreft makkelijke waarden kiezen. Op deze manier kan het gebeuren dat het automatiseren en inoefenen van het rekenwerk te weinig aandacht krijgen. Wanneer leerlingen helemaal niet aan het rekenen slaan, krijgt het rekenwerk zeker te weinig aandacht. Dit laatste is tijdens dit onderzoek over het algemeen het geval; leerlingen vinden hun antwoorden veelal door proberen.
Mogelijke oorzaken gebrekkige abstractie en situatiegebonden antwoorden
Een beperkt aantal leerlingen heeft ook na het maken van oriëntatieopdrachten geen goed begrip van het interactieve gedeelte. Deze leerlingen hebben vaak het antwoord van de oriëntatieopdracht gevonden door te proberen, zonder na te denken over het waarom. We komen hier later op terug bij de activiteit beredeneren/bewijzen/aantonen.
Het vinden van het antwoord door proberen, leidt ook tot onvoldoende geautomatiseerde rekenkennis. De simulaties zijn niet primair bedoeld voor het automatiseren van het rekenwerk, wel voor het verkennen van de rekentechnieken. In de volgende onderzoeken kiezen we ervoor om het automatiseren aan de hand van het boek te doen. Wel willen we dat leerlingen enige verschillende berekeningen uitvoeren. We komen hier bij structureren op terug.
134
We zagen dat leerlingen zich soms wel dingen afvragen, maar vervolgens niet proberen deze eigen vragen te beantwoorden. De oorzaak hiervan ligt mogelijk op het motivationele vlak. Pintrich, Marx en Boyle (1993) wijzen op drie aandachtspunten, signalen van motivatie, waarop observaties gericht kunnen worden, te weten: (1) de keuze om zich bezig te houden met een taak, (2) het niveau van betrokkenheid, de mate waarin een leerling in een opdracht duikt en (3) de bereidvaardigheid om door te gaan met een opdracht. Het tweede aandachtspunt van motivatie dat Pintrich, Marx en Boyle (1993) noemen lijkt slechts matig te zijn. De leerlingen gaan wel met de opdracht aan de slag (aandachtspunt 1), maar duiken niet zover in de opdracht dat ze naar antwoorden op eigen vragen op zoek gaan. Er zijn zowel positieve als negatieve signalen wat betreft het abstraheren door leerlingen (zie ook ‘tabellen bijlage B.4.2.1’). De relatie tussen de werkelijkheid, de gecontextualiseerde opdracht en de wiskundige kern van de opdracht is niet altijd duidelijk en/of leerlingen denken daar niet altijd over na. Ook blijkt dat sommige leerlingen wel en andere leerlingen geen idee hebben hoe het interactieve gedeelte ingezet kan worden bij het maken van een opdracht.
Een mogelijke oorzaak voor gebrekkige abstractie is de afwezigheid van feedback op abstraheren. Leerlingen krijgen soms wel en soms niet feedback over de relatie tussen de context, de opdracht en de abstractie. De oorzaken hiervan verschillen voor de verschillende typen opdrachten (zie figuur 3.12).
optimalisatieopdrachten Bij optimalisatie opdrachten krijgen alleen leerlingen die een door de auteur opgelegde beperking overtreden daar terugkoppeling op (zie ook voorbeeld van figuur 3.8 paragraaf 2.1.2). Leerlingen die het goed doen en leerlingen die het ‘per ongeluk’ goed doen niet. Zo zal in het geval van deelopdracht 2 van figuur 3.6 een leerling die de richtingscoëfficiënt ongemoeid laat, niets te horen krijgen wat betreft deze variabele. Er is dus geen garantie dat een leerling geconfronteerd wordt met de vraag hoe de relatie tussen (1) de waarden in het interactieve gedeelte en (2) de opdracht en/of de werkelijkheid is.
meerkeuze opdrachten Bij meerkeuze opdrachten krijgen leerlingen feedback nadat zij één van de antwoordmogelijkheden gekozen hebben. In het geval het antwoord fout is, krijgt de leerling te horen dat zijn antwoord onjuist is en uitleg over het juiste antwoord. In deze uitleg komt meestal ook de relatie tussen context, opdracht en/of abstractie aan de orde. In het geval het antwoord goed is, krijgt de leerling enkel de feedback dat het antwoord correct is.
open-antwoord opdrachten Bij open-antwoord opdrachten volgt in het geheel geen feedback. Een mogelijke oorzaak van gebrekkige abstractie als gevolg van bepaalde verwachtingen van leerlingen, zoals dat de uitkomst een ‘mooi’ getal moet zijn, is de voorgaande ervaringen van leerlingen op dit punt. In het ontwikkelde materiaal zijn de uitkomsten regelmatig ‘lelijk’. Wanneer leerlingen zelf situaties kiezen, dan zullen de uitkomsten ook vaak ‘lelijk’ zijn. In de praktijk zullen uitkomsten vaak ook geen mooie afgeronde getallen zijn. Leerlingen zullen hun verwachtingen moeten aanpassen.
Er ontstaat verwarring door het zelf kunnen kiezen van waarden van ‘overige’ variabelen. We schreven dit toe aan het feit dat leerlingen gewend zijn aan materiaal waarin alles behalve datgene wat ze moeten berekenen vast ligt. We zullen bij structureren verder ingaan op dit punt van wel of niet ‘overige variabelen’ vrij laten.
Mogelijke aanpak bij de verdere ontwikkeling van materiaal
Bij de verdere ontwikkeling van het materiaal kan de hoeveelheid feedback uitgebreid worden, bijvoorbeeld door bij correcte antwoorden ook feedback toe te voegen. Verder kan bij deelopdrachten ook bij open-antwoorden feedback gegeven worden, hoewel dit gezien de beperkingen van SimQuest alleen algemene feedback kan zijn en niet direct terugslaat op het antwoord van de leerlingen.
Het tweede vooronderzoek
135 Daarnaast zou er bij de deelopdrachten meer informatie gegeven kunnen worden over waarom bepaalde variabelen een bepaalde waarde gekregen hebben.
In de feedback op correcte antwoorden en in de deelopdrachten kan de redelijkheid van het antwoord worden aangestipt. Leerlingen krijgen hierdoor voorbeelden van hoe informatie uit de context kan bijdragen aan evaluatie van een uitkomst.
Sommige leerlingen, zo bleek, verwachten dat de uitkomst uit ‘mooie’ en niet al te extreme waarden bestaan. Leerlingen zullen deze verwachtingen bij moeten stellen, omdat in reële situaties dat ook vaak niet het geval zal zijn. Mooie uitkomsten dragen daarom bij aan een gevoel van gekunsteldheid van