De Japanse wiskundige It ˆo bekeek het aandeel als een stochast. Een Wie- nerproces dz is een voorbeeld van een stochastisch proces, dat uitgebreid aan bod komt in boeken zoals [9] en [14]. Een Wienerproces is een wille- keurig verloop, een verloop dat niet beschreven kan worden met een spe- cifieke verdeling zoals de normaalverdeling. Er wordt gesproken over een gegeneraliseerd Wienerproces voor een variabele x als er constanten a en b bestaan en een Wienerproces dz zodat de verandering van x beschreven kan worden door
dx =a·dt+b·dz.
Hiervan is een volledige afleiding te vinden in [14]. Indien de parameters a en b afhangen van de waarde van de variabele x en de tijd t, dan wordt het een Itˆo proces genoemd [14]:
dx =a(x, t) ·dt+b(x, t) ·dz.
In beide gevallen is a gelijk aan de gemiddelde verandering per tijdseen- heid en is b2gelijk aan de variantie van x [14].
De kennis over deze processen kwam It ˆo van pas bij het beschrijven van het koersverloop van een aandeel. Dit verloop kan beschreven wor- den aan de hand van een Wiener proces met een constante waarde voor a en b. Echter, dit is te simplistisch aangezien de hoogte van de waarde van het aandeel gecorreleerd is met de hoogte van deze variabelen. Door de variabelen a en b te delen door de waarde van het aandeel wordt deze observatie meegenomen in het model. Als S de waarde van een aandeel is op tijd t, dan kan het koersverloop beschreven worden door [9]:
Hier staat µ voor het gemiddelde rendement van een aandeel per jaar en
σvoor de volatiliteit van de aandeelprijs per jaar. Vergelijking B.1 wordt
veelal gebruikt voor de beschrijving van het gedrag van de waarde van het aandeel en is bekend als de geometrische Brownse beweging [14]. It ˆo stelde vervolgens dat de verandering van een functie G van x en t gelijk is aan dG= ∂G ∂x + ∂G ∂t + 1 2 ∂2G ∂x2b 2 dt+∂G ∂xbdz, waarbij∂G ∂x + ∂G ∂t + 1 2∂ 2G ∂x2b
2de gemiddelde verandering van de functie G
per tijdseenheid is,∂G ∂x
2
b2de variantie van G en dz het Wienerproces is behorende bij de functie G. Aan de hand van deze vergelijking heeft Kiy- oshi It ˆo in 1951 It ˆo’s lemma afgeleid voor een beschrijving van het koers- verloop van een aandeel [15]:
dG= ∂G ∂Sµ+ ∂G ∂t + 1 2 ∂2G ∂S2σ 2S2 dt+∂G ∂SσSdz. (B.2)
Deze kennis werd in 1973 gebruikt voor de publicatie The Pricing of Options and Corporate Liabilities in de Journal of Political Economy van Black, Scholes en Merton (BSM). In dit artikel werd een vergelijking gepresen- teerd waarmee een handelaar de prijs bepaalde van een derivaat. Wel werden daar een aantal - tegenwoordig twijfelachtige - aannames bij ge- daan. Zo gingen ze er vanuit dat ieder aandeel S zich aan vergelijking B.1 houdt. Dit komt er op neer dat ieder aandeel zich bewoog volgens de ge- ometrische Brownse beweging. Ook bestaat er geen risicovrije arbitrage, een situatie die aangeduid wordt met het no-arbitrage argument. Het is de taak van de quant om winst te genereren door in te spelen op arbi- tragemogelijkheden. Deze winst is volgens de theorie van BSM dus niet mogelijk [14].
De waarde van een optie f werd door BSM gezien als een functie van S en t. Dat een correlatie tussen de waarde van een aandeel S en de waarde van een optie f bestaat, is per definitie waar door de intrinsieke waarde 1.1. Sterker nog, over een korte periode bekeken, zal de prijs van de optie perfect gecorreleerd zijn met de prijs van het onderliggende aan- deel. Indien de correlatie bekend is, dan kan een portfolio gemaakt wor- den met een zekere verdeling tussen het aantal aandelen en het aantal op- ties waardoor de verandering in de waarde van het aandeel ook een ver- andering van de waarde van de optie bewerkstelligt. Op die manier is de waarde van de portfolio met zekerheid vast te stellen [14]. In appendix A
is een rekenvoorbeeld te vinden waarin dit principe wordt duidelijk ge- maakt. Wel moet een kanttekening geplaatst worden over de tijd waarin de portfolio zeker of risicovrij is. Aangezien de verhouding ∂ f∂S verandert als S of t verandert, zal voor een risicovrije of voorspelbare portfolio de verhouding f ten opzichte van S frequent moeten worden aangepast [14]. Deze kennis levert in combinatie met vergelijkingen B.1 en B.2 op dat
d f = ∂ f ∂SµS+ ∂ f ∂t + 1 2 ∂2f ∂S2σ 2S2 dt+∂ f ∂SσSdz. (B.3)
Omdat een handelaar graag het risico minimaliseert, probeert hij of zij de stochastische, onvoorspelbare, component te elimineren. Dit is het Wiener proces dz. Deze component valt weg op het moment dat iemand ´e´en optie verkoopt en ∂ f∂Se deel van een aandeel koopt. De positie van deze persoon kan uitgedrukt worden in de waardeΠ van zijn portfolio:
Π = −f + ∂ f
∂SS. (B.4)
Nu kan ingezien worden dat:
∆S =µS∆t+σS∆z, ∆ f =∂ f ∂SµS+ ∂ f ∂t + ∂2f ∂S2 σ2S2 2 ∆t+ ∂ f ∂SσS∆z, ∆Π = −∆ f + ∂ f ∂S∆S. (B.5) Hetgeen gesubtitueerd kan worden tot
∆Π = −∂ f ∂t − ∂2f ∂S2 σ2S2 2 ∆t. (B.6) Omdat in deze vergelijking B.6 de term∆z ontbreekt, zal de waarde van de portfolio gedurende ∆t voorspelbaar en daarmee risicovrij zijn. Vanwege het no-arbitrage argument geldt dat∆Π =rΠ∆t, waarbij r een risicovrije
rente is. Deze rente bestaat per aanname van BSM. Door vergelijkingen B.4 en B.5 in te vullen in∆Π =rΠ∆t volgt de Black-Scholes-Merton differen-
tiaal vergelijking: r f = ∂ f ∂t +rS ∂ f ∂S + 1 2σ 2S2∂2f ∂S2. (B.7)
Deze vergelijking geldt voor ieder derivaat met als onderliggende waarde aandeel S en geeft de waarde die een derivaat f(S, t) in theorie zou krij- gen [14]. De meest beroemde oplossingen van de differentiaal vergelijking
opgesteld door Black, Scholes en Merton zijn de formules die de prijs van een call en een putoptie aangeven:
c =S0N(d1) −Ke−rTN(d2), (B.8) en p=Ke−rTN(−d2) −S0N(−d1), (B.9) waarbij d1= ln (S0\K) + (r+σ2\2)T σ √ T , d2= ln(S0\K) + (r−σ2\2)T σ √ T =d1−σ √ T, N(x) =P(X ≤x) met X normaal verdeeld.
Deze vergelijkingen komen voort uit vergelijking B.7 met als voorwaarde dat vergelijkingen 1.1, waarin de intrinsieke waarden van de opties ge- noemd zijn, blijven gelden. De gehele afleiding van vergelijkingen B.8 en B.9 is te vinden in zowel [9] als [14].
Vanaf 1973 werd deze vergelijking overgenomen door financieel eco- nomen wereldwijd. Ook werd het een vast onderdeel van de business school en universiteiten waar studenten voor de financi¨ele wereld wer- den klaargestoomd [32], veelal zonder de afleiding die in deze scriptie is gebruikt.
Echter, een derivaat f met als onderliggende waarde het aandeel S kan alleen aan de vergelijking B.7 voldoen in een theoretische wereld waar geen arbitrage bestaat [14]. Anders gezegd, een functie f(S, t)die niet aan vergelijking B.7 voldoet, cre¨ert arbitragemogelijkheden voor handelaren. Op basis van deze aanname werd gehandeld [14].
Ook wordt in vergelijking B.7 geen rekening gehouden met de risicoa- versie van investeerders. Dit komt omdat de waarde µ er niet in voorkomt. Het gemiddelde jaarlijkse rendement van een aandeel S, gesymboliseerd met µ, is positief gecorreleerd met risico aversie [14]. Dit betekent dat niet inzichtelijk is hoeveel risico een handelaar wil nemen. In het geval van een pensioenfondsen speelt risico een grote rol. Bij het verliezen van geld, verliest een klant zijn pensioen. Iets dat grote maatschappelijke gevolgen met zich mee draagt. In het geval van de quants is bekend dat deze niet risico avers zijn, zolang het risico maar meetbaar en dus inzichtelijk is [30].