CONTINUE WISKUNDE 1, 2020 10e college: De regel van L’Hˆopital Jan-Hendrik Evertse

(1)

CONTINUE WISKUNDE 1, 2020 10e college: De regel van L’Hˆ opital

Jan-Hendrik Evertse

Universiteit Leiden

evertse@math.leidenuniv.nl

(2)

Deel 1: 0/0-limieten en ∞/∞-limieten

(3)

3/55

De regel van L’Hˆ opital voor 0/0-limieten

Laat f , g differentieerbare functies zijn met

x →alimf (x ) = 0, lim

x →ag (x ) = 0.

Neem aan dat lim

x →a

f⁰(x )

g⁰(x ) bestaat en eindig is. Dan is

x →alim f (x ) g (x ) = lim

x →a

f⁰(x ) g⁰(x ).

Hier mag a ook ∞ of −∞ zijn. De regel geldt ook voor linker- en rechterlimieten.

(4)

De regel van L’Hˆ opital voor ∞/∞-limieten

Laat f , g differentieerbare functies zijn met

x →alimf (x ) = ±∞, lim

x →ag (x ) = ±∞.

Neem aan dat lim

x →a

f⁰(x )

g⁰(x ) bestaat en eindig is. Dan is

x →alim f (x ) g (x ) = lim

x →a

f⁰(x ) g⁰(x ).

Hier mag a ook ∞ of −∞ zijn. De regel geldt ook voor linker- en rechterlimieten.

(5)

5/55

Eenvoudige maar belangrijke 0/0-limieten

lim

x →0

sin x x = 1

namelijk lim

x →0

sin x x

0/0= lim

x →0

sin⁰x x⁰ = lim

x →0

cos x 1 = 1. Met^0/0= geven we aan dat het een 0/0-limiet betreft. Dit moet je bij een uitwerking altijd aangeven.

lim

x →0

e^x− 1

x = 1

namelijk lim

x →0

e^x− 1 x

0/0= lim

x →0

(e^x− 1)⁰ x⁰ = lim

x →0

e^x 1 = 1

x →0lim

ln(1 + x )

x = 1

namelijk lim

x →0

ln(1 + x ) x

0/0= lim

x →0

(ln(1 + x ))⁰ x⁰ = lim

x →0

1/(1 + x )

1 = 1

(6)

Eenvoudige maar belangrijke 0/0-limieten

lim

x →0

sin x x = 1 namelijk lim

x →0

sin x x

0/0= lim

x →0

sin⁰x x⁰ = lim

x →0

cos x 1 = 1.

Met^0/0= geven we aan dat het een 0/0-limiet betreft.

Dit moet je bij een uitwerking altijd aangeven.

lim

x →0

e^x− 1

x = 1

namelijk lim

x →0

e^x− 1 x

0/0= lim

x →0

(e^x− 1)⁰ x⁰ = lim

x →0

e^x 1 = 1

x →0lim

ln(1 + x )

x = 1

namelijk lim

x →0

ln(1 + x ) x

0/0= lim

x →0

(ln(1 + x ))⁰ x⁰ = lim

x →0

1/(1 + x )

1 = 1

(7)

7/55

Eenvoudige maar belangrijke 0/0-limieten

lim

x →0

sin x x

0/0= lim

x →0

sin⁰x x⁰ = lim

x →0

cos x 1 = 1.

lim

x →0

e^x− 1

x = 1

namelijk lim

x →0

e^x− 1 x

0/0= lim

x →0

(e^x− 1)⁰ x⁰ = lim

x →0

e^x 1 = 1

x →0lim

ln(1 + x )

x = 1

namelijk lim

x →0

ln(1 + x ) x

0/0= lim

x →0

(ln(1 + x ))⁰ x⁰ = lim

x →0

1/(1 + x )

1 = 1

(8)

Eenvoudige maar belangrijke 0/0-limieten

lim

x →0

sin x x

0/0= lim

x →0

sin⁰x x⁰ = lim

x →0

cos x 1 = 1.

lim

x →0

e^x− 1

x = 1

namelijk lim

x →0

e^x− 1 x

0/0= lim

x →0

(e^x− 1)⁰ x⁰ = lim

x →0

e^x 1 = 1

x →0lim

ln(1 + x )

x = 1

namelijk lim

x →0

ln(1 + x ) x

0/0= lim

x →0

(ln(1 + x ))⁰ x⁰ = lim

x →0

1/(1 + x )

1 = 1

(9)

9/55

Eenvoudige maar belangrijke 0/0-limieten

lim

x →0

sin x x

0/0= lim

x →0

sin⁰x x⁰ = lim

x →0

cos x 1 = 1.

lim

x →0

e^x− 1

x = 1

namelijk lim

x →0

e^x− 1 x

0/0= lim

x →0

(e^x− 1)⁰ x⁰ = lim

x →0

e^x 1 = 1

x →0lim

ln(1 + x )

x = 1

namelijk lim

x →0

ln(1 + x ) x

0/0= lim

x →0

(ln(1 + x ))⁰ x⁰ = lim

x →0

1/(1 + x )

1 = 1

(10)

Eenvoudige maar belangrijke 0/0-limieten

lim

x →0

sin x x

0/0= lim

x →0

sin⁰x x⁰ = lim

x →0

cos x 1 = 1.

lim

x →0

e^x− 1

x = 1

namelijk lim

x →0

e^x− 1 x

0/0= lim

x →0

(e^x− 1)⁰ x⁰ = lim

x →0

e^x 1 = 1

x →0lim

ln(1 + x )

x = 1

(11)

11/55

Eenvoudige maar belangrijke 0/0-limieten

Opmerking. Bij een precieze opbouw van de wiskundige theorie worden de limieten

lim

x →0

sin x

x = 1, lim

x →0

e^x− 1 x , lim

x →0

ln(1 + x )

x = 1

bewezen op een andere manier dan met de regel van L’Hˆopital, zonder gebruik te maken van afgeleiden.

De reden hiervoor is dat deze limieten nodig zijn om te bewijzen dat sin⁰x = cos x , (e^x)⁰ = e^x en ln⁰x = ¹_x.

Wat wij doen is dus eigenlijk krom: we berekenen de limieten door de afgeleiden van sin x , e^x en ln x te gebruiken, terwijl we eigenlijk die limieten nodig hebben om de afgeleiden te vinden.

Maar als je de regel van L’Hˆopital kent en alle afgeleiden kent kun je die limieten makkelijk terugvinden.

(12)

Gebruik L’Hˆ opital alleen als het nodig is!

De regel van L’Hˆopital geldt alleen voor 0/0-limieten of voor

∞/∞-limieten, niet voor limieten die je op een ’gewone’ manier uit kan rekenen.

Voorbeeld. Bereken lim

x →3

x²+ 6 x + 3.

Met deze limiet is niets bijzonders aan de hand, voor x = 3 is de noemer 6= 0, de functie f (x) = x²+ 6

x + 3 is continu in x = 3 en dus lim

x →3f (x ) = f (3) = 3²+ 6 3 + 3 = 15

6 =5 2. Maar als je L’Hˆopital probeert te gebruiken dan krijg je

x →3lim

(x²+ 6)⁰ (x + 3)⁰ = lim

x →3

2x

1 = 6 6= 5 2 (!) Dus dit gaat mis.

Ga voordat je L’Hˆopital wil gaan gebruiken eerst na of je wel te maken hebt met een 0/0-limiet of een ∞/∞-limiet.

Gebruik L’Hˆopital alleen als het nodig is!

(13)

13/55

Gebruik L’Hˆ opital alleen als het nodig is!

x →3

x²+ 6 x + 3.

x →3f (x ) = f (3) = 3²+ 6 3 + 3 = 15

6 =5 2.

Maar als je L’Hˆopital probeert te gebruiken dan krijg je

x →3lim

(x²+ 6)⁰ (x + 3)⁰ = lim

x →3

2x

1 = 6 6= 5 2 (!) Dus dit gaat mis.

(14)

Gebruik L’Hˆ opital alleen als het nodig is!

x →3

x²+ 6 x + 3.

x →3f (x ) = f (3) = 3²+ 6 3 + 3 = 15

x →3lim

(x²+ 6)⁰ (x + 3)⁰ = lim

x →3

2x

1 = 6 6= 5 2 (!) Dus dit gaat mis.

(15)

15/55

Gebruik L’Hˆ opital alleen als het nodig is!

x →3

x²+ 6 x + 3.

x →3f (x ) = f (3) = 3²+ 6 3 + 3 = 15

x →3lim

(x²+ 6)⁰ (x + 3)⁰ = lim

x →3

2x

1 = 6 6= 5 2 (!) Dus dit gaat mis.

(16)

Ingewikkelder voorbeelden

Wanneer je op een 0/0-limiet de regel van L’Hˆopital toepast en daarna weer een 0/0-limiet krijgt moet je weer de regel van L’Hˆopital toepassen, en dat herhalen net zolang totdat je geen 0/0-limiet meer hebt.

Voorbeeld 1. Bereken lim

x →0

sin x − x x³ .

x →0lim

sin x − x x³

0/0= lim

x →0

cos x − 1

3x² (teller en noemer differenti¨eren)

0/0= lim

x →0

− sin x

6x (teller en noemer differenti¨eren)

0/0= lim

x →0

− cos x 6 = −1

6 (teller en noemer differenti¨eren).

(17)

17/55

Ingewikkelder voorbeelden

x →0

sin x − x x³ .

x →0lim

sin x − x x³

0/0= lim

x →0

cos x − 1

0/0= lim

x →0

− sin x

0/0= lim

x →0

− cos x 6 = −1

(18)

Ingewikkelder voorbeelden

x →0

sin x − x x³ .

x →0lim

sin x − x x³

0/0= lim

x →0

cos x − 1

0/0= lim

x →0

− sin x

0/0= lim

x →0

− cos x 6 = −1

(19)

19/55

Ingewikkelder voorbeelden

x →0

sin x − x x³ .

x →0lim

sin x − x x³

0/0= lim

x →0

cos x − 1

0/0= lim

x →0

− sin x

0/0= lim

x →0

− cos x 6 = −1

(20)

Ingewikkelder voorbeelden

x →0

sin x − x x³ .

x →0lim

sin x − x x³

0/0= lim

x →0

cos x − 1

0/0= lim

x →0

− sin x

0/0= lim

x →0

− cos x 6 = −1

(21)

21/55

Ingewikkelder voorbeelden

Je kan altijd wel 0/0-limieten uitrekenen door één of meer keren L’Hôpital toe te passen, maar soms kan je rekenwerk besparen met wat slimmigheidjes (als je zelf niet op die slimmigheidjes komt kun je

natuurlijk altijd L’Hˆopital gebruiken, dat werkt altijd maar kost meer tijd).

x →0

sin x − x tan x − x.

x →0lim

sin x − x tan x − x

0/0= lim

x →0

cos x − 1 cos⁻²x − 1

0/0= lim

x →0

− sin x

−2 cos⁻³x · (− sin x ) in plaats van L’Hˆopital te gebruiken

strepen we in teller en noemer − sin x weg; dat mag, want sin x 6= 0 omdat x naar 0 nadert maar niet gelijk wordt aan 0

= lim

x →0

1

−2 cos⁻³x = −1 2.

(22)

Ingewikkelder voorbeelden

x →0

sin x − x tan x − x.

x →0lim

0/0= lim

x →0

0/0= lim

x →0

− sin x

= lim

x →0

1

−2 cos⁻³x = −1 2.

(23)

23/55

Ingewikkelder voorbeelden

x →0

sin x − x tan x − x. lim

x →0

0/0= lim

x →0

0/0= lim

x →0

− sin x

= lim

x →0

1

−2 cos⁻³x = −1 2.

(24)

Ingewikkelder voorbeelden

x →0

0/0= lim

x →0

0/0= lim

x →0

− sin x

−2 cos⁻³x · (− sin x )

in plaats van L’Hˆopital te gebruiken strepen we in teller en noemer − sin x weg; dat mag, want sin x 6= 0 omdat x naar 0 nadert maar niet gelijk wordt aan 0

= lim

x →0

1

−2 cos⁻³x = −1 2.

(25)

25/55

Ingewikkelder voorbeelden

x →0

0/0= lim

x →0

0/0= lim

x →0

− sin x

strepen we in teller en noemer − sin x weg;

dat mag, want sin x 6= 0 omdat x naar 0 nadert maar niet gelijk wordt aan 0

= lim

x →0

1

−2 cos⁻³x = −1 2.

(26)

Ingewikkelder voorbeelden

x →0

0/0= lim

x →0

0/0= lim

x →0

− sin x

strepen we in teller en noemer − sin x weg;

dat mag, want sin x 6= 0 omdat x naar 0 nadert maar niet gelijk wordt aan 0

= lim 1

−2 cos⁻³x = −1 2.

(27)

27/55

Een ∞/∞-limiet

We laten zien hoe we een limiet die we al eerder hebben gezien kunnen berekenen met de regel van L’Hˆopital.

Bereken lim

x →∞

x^5/2 e^x .

x →∞lim x^5/2

e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·x^3/2

e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2 ·x^1/2 e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2 ·1 2· x^−1/2

e^x = lim

x →∞

15 8 · 1

x^1/2e^x = 0.

(28)

Een ∞/∞-limiet

Bereken lim

x →∞

x^5/2 e^x .

x →∞lim x^5/2

e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·x^3/2

e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2 ·x^1/2 e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2 ·1 2· x^−1/2

e^x = lim

x →∞

15 8 · 1

x^1/2e^x = 0.

(29)

29/55

Een ∞/∞-limiet

Bereken lim

x →∞

x^5/2 e^x .

lim

x →∞

x^5/2 e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·x^3/2

e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2 ·x^1/2 e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2 ·1 2· x^−1/2

e^x = lim

x →∞

15 8 · 1

x^1/2e^x = 0.

(30)

Een ∞/∞-limiet

Bereken lim

x →∞

x^5/2 e^x .

lim

x →∞

x^5/2 e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·x^3/2

e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2 ·x^1/2 e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2 ·1 2· x^−1/2

e^x = lim

x →∞

15 8 · 1

x^1/2e^x = 0.

(31)

31/55

Een ∞/∞-limiet

Bereken lim

x →∞

x^5/2 e^x .

lim

x →∞

x^5/2 e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·x^3/2

e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2 ·x^1/2 e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2· 1 2· x^−1/2

e^x

= lim

x →∞

15 8 · 1

x^1/2e^x = 0.

(32)

Een ∞/∞-limiet

Bereken lim

x →∞

x^5/2 e^x .

lim

x →∞

x^5/2 e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·x^3/2

e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2 ·x^1/2 e^x

∞/∞= lim

x →∞

5 2 ·3

2· 1 2· x^−1/2

e^x = lim

x →∞

15 8 · 1

x^1/2e^x = 0.

(33)

33/55

Deel 2: Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞,

0 ⁰ , ∞ ⁰ , 1 ^∞

(34)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

Het idee is om dit soort limieten om te werken tot 0/0-limieten of

∞/∞-limieten en dan de regel van L’Hˆopital toe te passen.

Er is geen standaardmethode om dit te doen, je moet dit van geval tot geval bekijken.

x ↓0x^aln x waarbij a > 0. Er geldt dat lim

x ↓0x = 0 en lim

x ↓0ln x = −∞ dus dit is een 0 · ∞-limiet. We werken dit om tot een ∞/∞-limiet en passen L’Hˆopital toe.

lim

x ↓0x^aln x = lim

x ↓0

ln x x^−a

∞/∞= lim

x ↓0

x⁻¹

−ax^−a−1

= lim

x ↓0

x^a+1· x⁻¹

−a = lim

x ↓0−a⁻¹x^a= 0.

(35)

35/55

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x ↓0x^aln x waarbij a > 0.

Er geldt dat lim

x ↓0x = 0 en lim

x ↓0ln x = −∞ dus dit is een 0 · ∞-limiet. We werken dit om tot een ∞/∞-limiet en passen L’Hˆopital toe.

lim

x ↓0x^aln x = lim

x ↓0

ln x x^−a

∞/∞= lim

x ↓0

x⁻¹

−ax^−a−1

= lim

x ↓0

x^a+1· x⁻¹

−a = lim

x ↓0−a⁻¹x^a= 0.

(36)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

Er geldt dat lim

x ↓0x = 0 en lim

x ↓0ln x = −∞ dus dit is een 0 · ∞-limiet.

We werken dit om tot een ∞/∞-limiet en passen L’Hˆopital toe.

lim

x ↓0x^aln x = lim

x ↓0

ln x x^−a

∞/∞= lim

x ↓0

x⁻¹

−ax^−a−1

= lim

x ↓0

x^a+1· x⁻¹

−a = lim

x ↓0−a⁻¹x^a= 0.

(37)

37/55

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

Er geldt dat lim

x ↓0x = 0 en lim

lim

x ↓0x^aln x = lim

x ↓0

ln x x^−a

∞/∞= lim

x ↓0

x⁻¹

−ax^−a−1

= lim

x ↓0

x^a+1· x⁻¹

−a = lim

x ↓0−a⁻¹x^a= 0.

(38)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

Er geldt dat lim

x ↓0x = 0 en lim

lim

x ↓0x^aln x = lim

x ↓0

ln x x^−a

∞/∞= lim

x ↓0

x⁻¹

−ax^−a−1

= limx^a+1· x⁻¹

−a = lim−a⁻¹x^a= 0.

(39)

39/55

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →0

1 x − 1

sin x

Er geldt dat _x¹ en _{sin x}¹ beide naar ∞ gaan als x naar 0 daalt, en beide naar −∞ gaan als x naar 0 stijgt. Dus dit is een ∞ − ∞-limiet. We brengen de breuken onder één noemer en kijken of we L’Hôpital kunnen toepassen.

lim

x →0

1 x − 1

sin x = lim

x →0

sin x − x

x sin x dit is een 0/0-limiet

0/0= lim

x →0

cos x − 1 x cos x + 1 · sin x

0/0= lim

x →0

− sin x

−x sin x + 1 · cos x + cos x = 0

0 + 1 + 1 = 0.

(40)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →0

1 x − 1

sin x

Er geldt dat _x¹ en _{sin x}¹ beide naar ∞ gaan als x naar 0 daalt, en beide naar −∞ gaan als x naar 0 stijgt. Dus dit is een ∞ − ∞-limiet.

We brengen de breuken onder één noemer en kijken of we L’Hôpital kunnen toepassen.

lim

x →0

1 x − 1

sin x = lim

x →0

sin x − x

0/0= lim

x →0

0/0= lim

x →0

− sin x

0 + 1 + 1 = 0.

(41)

41/55

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →0

1 x − 1

sin x

lim

x →0

1 x − 1

sin x = lim

x →0

sin x − x

0/0= lim

x →0

0/0= lim

x →0

− sin x

0 + 1 + 1 = 0.

(42)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →0

1 x − 1

sin x

lim

x →0

1 x − 1

sin x = lim

x →0

sin x − x

0/0= lim

x →0

0/0= lim

x →0

− sin x

0 + 1 + 1 = 0.

(43)

43/55

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →0

1 x − 1

sin x

lim

x →0

1 x − 1

sin x = lim

x →0

sin x − x

0/0= lim

x →0

0/0= lim

x →0

− sin x

0 + 1 + 1 = 0.

(44)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

Limieten van f (x )^{g (x )} schrijven we als e-macht:

f (x )^{g (x )} = (e^{ln f (x )})^{g (x )} = eg (x ) ln f (x ).

We bereken eerst de limiet van g (x ) ln f (x ) en nemen daarna de e-macht.

x ↓0x

√x.

Dit is een 0⁰-limiet. Er geldt x

√x = e

√x ln x= e^x^1/2^{ln x}. We hebben gezien dat lim

x ↓0x^1/2ln x = 0. Dus lim

x ↓0x

√x = lim

x ↓0e^x^1/2^{ln x}= e⁰= 1.

(45)

45/55

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x ↓0x

√x.

√x = e

x ↓0x

√x = lim

x ↓0e^x^1/2^{ln x}= e⁰= 1.

(46)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x ↓0x

√x.

√x = e

√x ln x= e^x^1/2^{ln x}.

We hebben gezien dat lim

x ↓0x

√x = lim

x ↓0e^x^1/2^{ln x}= e⁰= 1.

(47)

47/55

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x ↓0x

√x.

√x = e

x ↓0x^1/2ln x = 0.

Dus lim

x ↓0x

√x = lim

x ↓0e^x^1/2^{ln x}= e⁰= 1.

(48)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →∞x^1/x.

Dit is een ∞⁰-limiet. Er geldt x^1/x = e^{ln x /x}. We hebben al eens gezien dat lim

x →∞

ln x

x = 0 maar we bewijzen dit nog eens met L’Hˆopital:

x →∞lim ln x

x

∞/∞= lim

x →∞

1/x 1 = 0. Dus

x →∞lim x^1/x= e⁰= 1.

(49)

49/55

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →∞x^1/x.

Dit is een ∞⁰-limiet. Er geldt x^1/x = e^{ln x /x}.

We hebben al eens gezien dat lim

x →∞

ln x

x →∞lim ln x

x

∞/∞= lim

x →∞

1/x 1 = 0. Dus

x →∞lim x^1/x= e⁰= 1.

(50)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →∞x^1/x.

x →∞

ln x

x →∞lim ln x

x

∞/∞= lim

x →∞

1/x 1 = 0.

Dus

x →∞lim x^1/x= e⁰= 1.

(51)

51/55

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →∞x^1/x.

x →∞

ln x

x →∞lim ln x

x

∞/∞= lim

x →∞

1/x 1 = 0.

Dus

x →∞lim x^1/x = e⁰= 1.

(52)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →0(1 + x )^1/x.

Dit is een 1^∞-limiet. Er geldt (1 + x )^1/x= e^{ln(1+x )/x}. We hebben gezien dat lim

x →0

ln(1 + x )

x = 1.

Dus lim

x →0(1 + x )^1/x = e¹= e.

(53)

53/55

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →0(1 + x )^1/x.

Dit is een 1^∞-limiet. Er geldt (1 + x )^1/x = e^{ln(1+x )/x}.

We hebben gezien dat lim

x →0

ln(1 + x )

x = 1.

Dus lim

x →0(1 + x )^1/x = e¹= e.

(54)

Limieten van type 0 · ∞, ∞ − ∞, 0

⁰

, ∞

⁰

, 1

^∞

x →0(1 + x )^1/x.

Dit is een 1^∞-limiet. Er geldt (1 + x )^1/x = e^{ln(1+x )/x}. We hebben gezien dat lim

x →0

ln(1 + x )

x = 1.

Dus lim

x →0(1 + x )^1/x = e¹= e.

(55)

55/55

CONTINUE WISKUNDE 1, 2020 10e college: De regel van L’Hˆopital Jan-Hendrik Evertse