b) Het snijpunt van de diagonalen is ook het midden van het lijnstuk dat de middens van twee overstaande ribben met elkaar verbindt

1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 2017-2018 1ste semester 6 november 2017

Wiskundige Technieken

1. Gegeven een vectorveld ~v = x~u₁+ xy²~u₂+ xz²~u₃: (a) Bereken rot ~v en div ~v.

(b) Bestaat er een scalaire functie f waarvoor ~v = grad f ? Zo ja, bereken dan deze functie f . Zo nee, motiveer je antwoord.

(c) Bepaal de waarde van α ∈ R waarvoor

rot rot ~v = grad div ~v + α∆~v.

2. Welke waarden z ∈ C voldoen aan de vergelijking

z²tg z − z²i + tg z = i?

3. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen:

a) y⁰+ 2ytg x + sin 2x = 0 b) y⁰⁰+ 10y⁰+ 25y + 8e^−5x = 0

4. Toon aan met behulp van vectoren (zonder het invoeren van co¨ordinaten):

a) De diagonalen van een parallellepipedum snijden elkaar middendoor.

b) Het snijpunt van de diagonalen is ook het midden van het lijnstuk dat de middens van twee overstaande ribben met elkaar verbindt.

Het examen duurt 3 uur. Het gebruik van de cursus, cursusnota’s en rekenmachine is niet toegelaten. Punten- verdeling: vraag 1: 10 punten, vraag 2: 8 punten, vraag 3: 12 punten, vraag 4: 10 punten.

Gelieve elke vraag op een apart blad op te lossen!

Veel succes!

Oplossingen

1. a. De antwoorden zijn: rot ~v = −z²~u₂+ y²~u₃en div ~v = 1 + 2x(y + z).

b. Als grad f = ~v, dan is ~0 = rot grad f = rot ~v = −z²~u₂+ y²~u₃, wat een tegenstrijdigheid is. Er bestaat dus geen functie f waarvoor grad f = ~v.

c. We rekenen uit dat

rot rot ~v = rot −z²~u2+ y²~u3
= 2(y + z)~u1;

grad div ~v = grad (1 + 2x(y + z)) = 2(y + z)~u₁+ 2x~u₂+ 2x~u₃; α∆~v = α(2x~u₂+ 2x~u₃)

Bijgevolg is rot rot ~v = grad div ~v + α∆~v als α = −1.

2. De vergelijking is equivalent met

z²tg z − z²i + tg z − i = (z²+ 1)(tg z − i) = 0.

Hieruit volgt dat z²+ 1 = 0 of tg z = i.

Als z²+ 1 = 0, dan is z = ±i.

Als tg z = e^iz− e^−iz

i(e^iz + e^−iz) = i dan is e^iz − e^−iz = −e^iz − e^−iz en dus e^iz = 0 wat een tegenstrijdigheid is. De enige oplossingen van de vergelijking zijn dus z = ±i.

3. a. y⁰+ 2ytg x + sin 2x = 0.

We integreren de homogene vergelijking met behulp van scheiding der veranderlijken:

y⁰+ 2ytg x = 0 dy

y = −2tg xdx ln y =

Z dy y =

Z

−2tg xdx = 2 ln cos x + ln c y_h = c cos²x

Om een particuliere oplossing te vinden gebruiken we de methode van de variatie van de constante:

y_p = c(x) cos²x Invullen in de vergelijking geeft achtereenvolgens:

c⁰(x) cos²x + sin 2x = 0 c⁰(x) = −2tg x c(x) = 2 ln cos x y_p = 2 ln cos x cos²x

1

De algemene integraal van de volledige vergelijking is dus y = (2 ln cos x + c) cos²x.

b. y⁰⁰+ 10y⁰+ 25y + 8e^−5x = 0.

De karakteristieke veelterm van de homogene vergelijking is λ²+ 10λ + 25 = (λ + 5)². De algemene integraal van de homogene vergelijking is dus

yh = (c1+ c2x)e^−5x. Er bestaat een particuliere integraal van de vorm

y_p = cx²e^−5x

y_p⁰ = 2xce^−5x − 5cx²e^−5x

y_p⁰⁰ = 2ce^−5x − 20xce^−5x+ 25cx²e^−5x Invullen in de differentiaalvergelijking geeft:

2ce^−5x− 20xce^−5x + 25cx²e^−5x+ 20xce^−5x− 50cx²e^−5x+ 25cx²e^−5x = −8e^−5x waaruit volgt dat 2ce^−5x = −8e^−5xen c = −4, zodat y_p = −4x²e^−5x. De algemene integraal van de volledige differentiaalvergelijking is dus

y_p = (c₁+ c₂x − 4x²)e^−5x.

4. a. De hoekpunten van de parallellepipedum zijn A, B, C, D, E, F en G zoals in bijgaande figuur. Het midden van het interval [A, G] noemen we M . Dan is ~M A + ~M G = ~O.

Omdat ~AB = ~HG is ~M B +M H =~ M A + ~~ AB + ~M G + ~GH = ~O en dus is O ook het midden van [B, H]. Op analoge manier is O ook het mdden van [C, E] en [D, F ].

b. Noem de middens van de lijnstukken [A, B] en [H, G] respectievelijk X en Y . Dan is AX = ~~ XB = ~HY = ~Y G en

M X + ~~ M Y = ~M A + ~AX + ~M B + ~BY = ~O zodat M het midden is van [X, Y ].

2