1. Zijn de volgende verzamelingen algebraisch?

3de Bachelor Wiskunde Academiejaar 2018-2019 1ste semester, 30 januari 2019

Oefeningen Algebraische Meetkunde

1. Zijn de volgende verzamelingen algebraisch?

(a) De punten in A

(R) met poolco¨ordinaten (r, θ) die voldoen aan r = sin(θ).

(b) {(t cos(t), t sin(t)) ∈ A

(R) | t ≥ 0}

(c) V × W ⊂ A

(C), waarbij V ⊆ A

(C) en W ⊆ A

(C) algebraische verzamelingen zijn.

2. Bepaal de irreduciebele componenten van de algebra¨ısche verzameling V (X

− Y

, Y

− X

Y

+ XY

− X

) ⊂ A

(C).

3. (i) Zij P een priem hoofdideaal van een UFD R. Bewijs dat er geen priemideaal Q bestaat zodat 0 ( Q ( P .

(ii) Zij V = V (F ) een irreduciebel hyperoppervlak in A

(C). Toon aan dat er geen vari¨eteit W bestaat zodat V ( W ( A

(C).

4. Zij F = (X

+ Y

)Z + X

+ Y

en G = X

+ Y

− 2XY Z projectieve krommen in P

(C).

Bereken hun intersectie punten en de bijhorende multipliciteiten.

5. Zij P een dubbelpunt op een kromme F en veronderstel verder dat F in P slechts een raaklijn L heeft in P .

(a) Toon aan dat I(P, F ∩ L) ≥ 3

(b) Neem P = (0, 0) en L = Y . Toon aan dat I(P, F ∩ L) = 3 als en slechts als F

(P ) 6= 0

Tijd: 3 uur; Cursus en nota’s mogen gebruikt worden.

3de Bachelor Wiskunde Academiejaar 2018-2019 2de zittijd, 21 augustus 2019

Oefeningen Algebraische Meetkunde

1. Zijn de volgende verzamelingen algebra¨ısch? Leg uit waarom wel/niet.

(a) X = {(sin(t), cos(t)) ∈ A

(R) | t ∈ R}

(b) Y = {(t, sin(t), cos(t)) ∈ A

(R) | t ∈ R}

(c) Zij V ⊆ A

(C) en W ⊆ A

(C) algebra¨ısche verzamelingen. Is V × W een algebra¨ısche deelverzameling van A

(C)?

2. Gegeven zijn de volgende algebra¨ısche vari¨etieten in A

(C):

(a) V

= V (Y − X

) (b) V

= V (XY − 1)

Toon aan dat Γ(V

) ∼ = C[T ] maar Γ(V

)  C[T ].

3. Bepaal de irreduciebele componenten van de algebra¨ısche verzameling

V (XY

+ Y

X

− X

− Y

, X

+ Y

− X

Y

− XY

) ⊂ A

(C).

4. Bepaal de snijpunten van de projectieve vlakke krommen

F = Y Z

− X

en G = Y Z

− X

in P

(C). Bepaal nadien het intersectiegetal in elk van deze snijpunten.

5. Zij F

, . . . , F

∈ k[X, Y ] irreduciebele veeltermen en definieer F := F

. · · · .F

.

(i) Stel dat F

6= F

voor i 6= j. Toon aan dat de vlakke kromme F slechts een eindig aantal singuliere punten heeft.

(ii) Toon aan dat

P ∈ F singulier als en slechts als er bestaat een i zodat P een singulier punt is van F

of er bestaan i 6= j zodat P ∈ F

∩ F

.

Tijd: 3 uur; Cursus en nota’s mogen gebruikt worden.