• No results found

2. (a) Bepaal alle z ∈ C waarvoor cosh z + sinh z = 5 − 5i.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "2. (a) Bepaal alle z ∈ C waarvoor cosh z + sinh z = 5 − 5i."

Copied!
4
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 2019-2020 1ste zittijd 31 oktober 2019

Wiskundige Technieken

1. De scalaire functies f en g worden gegeven door de formules f (x, y, z) = z 2 − 2xy 2 en g(x, y, z) = 3x 2 yz. Bereken

∇ · ( ~ ~ ∇f × ~ ∇g).

2. (a) Bepaal alle z ∈ C waarvoor cosh z + sinh z = 5 − 5i.

(b) Bepaal alle z ∈ C waarvoor geldt dat z = Ln(t), waarbij t ∈ C een oplossing is van de vergelijking t 3 = 4 + 4 √

3i. .

3. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen:

(a) y 00 + 4y = 4 sin x cos x (b) x 3 y 0 + 4x 2 y = e x + e −x

4. Herhaal dat een vierhoek ABCD een parallellogram is als en alleen als −→

AB = −−→

DC.

Bewijs nu volgende eigenschappen door gebruik te maken van vectorrekening (dus zonder co¨ordinaten in te voeren).

(a) ABCD is een willekeurige vierhoek. Als P , Q, R en S de middelpunten zijn van respectievelijk de zijden AB, BC, CD en DA, dan is de vierhoek P QRS is een par- allellogram.

(b) ABCD is een parallellogram is als en slechts als de diagonalen AC en BD van de vierhoek elkaar middendoor snijden.

(c) In een parallellogram is de som van de kwadraten van de lengten van de vier zijden gelijk aan de som van de kwadraten van de lengten van de diagonalen.

Het examen duurt 3 uur. Het gebruik van de cursus, cursusnota’s en rekenmachine is niet toegelaten.

Puntenverdeling: vragen 1 en 3: 8 punten, vragen 2 en 4: 12 punten.

Gelieve elke vraag op een apart blad op te lossen.

Veel succes!

(2)

Oplossingen

1. We berekenen stap per stap:

∇f = −2y ~ 2 ~ u 1 − 4xy~ u 2 + 2z~ u 3 en ∇g = 6xyz~ ~ u 1 + 3x 2 z~ u 2 + 3x 2 y~ u 3 . Vervolgens is het vectorieel product van deze twee gelijk aan

∇f × ~ ~ ∇g =

~ u 1 ~ u 2 ~ u 3

−2y 2 −4xy 2z 6xyz 3x 2 z 3x 2 y

= (−12x 3 y 2 − 6x 2 z 2 )~ u 1 + (6x 2 y 3 + 12xyz 2 )~ u 2 + 18x 2 y 2 z~ u 3 .

De divergentie hiervan is gelijk aan

∇ · ( ~ ~ ∇f × ~ ∇g) = −36x 2 y 2 − 12xz 2 + 18x 2 y 2 + 12xz 2 + 18x 2 y 2 = 0.

2(a).

e z = cosh z + sinh z = 5 − 5i = 5 √ 2 1 − i

√ 2 = e ln 5

√ 2

e −i

π4

als en slechts als

z = ln 5 + 1

2 ln 2 + (2k − 1 4 )iπ waarbij k ∈ Z.

2(b). Aangezien

t 3 = 4 + 4 √

3i = 8 1 + i √ 3

2 = 8e

3

is t ∈ {2e iπ/9 , 2e i7π/9 , 2e i13π/9 }en z ∈ {ln(2) + π/9, ln(2) + 7π/9, ln(2) − 5π/9}.

3(a).

y 00 + 4y = 4 sin x cos x = 2 sin 2x Stap 1: oplossing van de homogene vergelijking y 00 + 4y = 0:

λ 2 + 4 = 0 ⇔ λ 1,2 = ±2i

⇒ y h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x Stap 2: zoeken naar particluliere oplossing:

y p = x (A cos 2x + B sin 2x)

y p 0 = A cos 2x + B sin 2x + 2x (B cos 2x − A sin 2x) y p 00 = −4A sin 2x + 4B cos 2x − 4x (B sin 2x + A cos 2x)

y 00 p + 4y p = −4A sin 2x + 4B cos 2x − 4x (B sin 2x + A cos 2x) + 4x (A cos 2x + B sin 2x)

= −4A sin 2x + 4B cos 2x = 2 sin 2x

1

(3)

⇒ A = − 1

2 , B = 0

⇒ y p = x



− 1 2 cos 2x

 Stap 3: de oplossing:

y = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x − x 2 cos 2x 3(b).

x 3 y 0 + 4x 2 y = 2 cosh x Stap 1: oplossing van de homogene vergelijking x 3 y 0 + 4x 2 y = 0:

dy

dx = − 4 x y ⇒

Z dy y = −4

Z dx x

⇒ ln |y| = ln(x −4 ) + c

⇒ y h = Cx −4 Stap 2: we zoeken een particluliere oplossing van de vorm

y p = c(x) x 4 Invullen in de vergelijking geeft

x 3 c 0

x 4 = 2 cosh x of c 0 = 2x cosh x of

c(x) = 2 Z

x cosh xdx = 2 Z

xd sinh x = 2x sinh x − 2 Z

sinh xdx = 2x sinh x − 2 cosh x zodat

y p = 2

x 4 (x sinh x − cosh x).

Stap 3: de algemene integraal is

y = 2

x 4 (c + x sinh x − cosh x)

4.(a)

A

B C

D P

Q

R

S M N

2

(4)

We vinden

−→ AP =

−→ AB

2 , −→

AQ =

−→ AB + −→

AC

2 , −→

AS =

− − → AD

2 , −→

AR =

−→ AC + − − → AD

2 .

Hieruit volgt dat

−→ P Q = −→

AQ − −→

AP =

−→ AC 2 ,

−→ SR = −→

AR − −→

AS =

−→ AC 2 zodat −→

P Q = −→

SR, en P QRS is een parallellogram.

4.(b) Zij M het midden van de diagonaal AC en N het midden van de diagonaal BD. Dan is

−−→ AM =

−→ AC 2

−−→ BN =

−−→ BD 2 =

− − → AD − −→

AB 2

−−→ AN = −→

AB + −−→

BN = −→

AB +

− − → AD − −→

AB

2 =

− − → AD + −→

AB 2 De vierhoek ABCD is een parallellogram

⇐⇒ −→

AB = −−→

DC

⇐⇒ −→

AB = −→

AC − − − → AD

⇐⇒ −→

AC = −→

AB + − − → AD

⇐⇒ −−→

AM = −−→

AN

⇐⇒ M = N 4.(c) Beschouw een parallellogram ABCD. Dan is

−→ AC = −→

AB + − − → BC = −→

AB + − − →

AD en −−→

BD = − − → AD − −→

AB, zodat

k −→

ACk 2 + k −−→

BDk 2 = ( −→

AB + − − →

AD) 2 − ( − − → AD − −→

AB) 2

= −→

AB 2 + 2 −→

AB · − − → AD + − − →

AD 2 + − − →

AD 2 − 2 − − → AD · −→

AB + −→

AB 2

= 2k −→

ABk 2 + 2k − − → ADk 2 .

3

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Met het eerste van de stukken touw wordt de omtrek van een vierkant gevormd, en met de twee andere wordt de omtrek van een cirkel gevormd.. Welke lengte moet elk van de drie

1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 2017-2018 1ste semester 6 november 20171.

3de Bachelor EIT 2de Bachelor Wiskunde 2de en 3de Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 2018-2019 1ste semester 29 januari 20191. Aanvullingen van de Wiskunde /

3de Bachelor EIT 2de Bachelor Wiskunde 2de en 3de Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 2019-2020 1ste semester 28 januari 20201. Aanvullingen van de Wiskunde /

Op 29 januari 2013 stemde het college van de gemeente Tilburg in met de in‐ en uitvoering van de pilot 

• Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van on- dervraging op het examen en om te testen of u de stof die tot nu toe behandeld is voldoende beheerst.. • Er

Om deze toets een zinvolle voorbereiding te laten zijn op het examen, dient u zo veel mogelijk de omstandigheden van het echte examen te volgen.. Dit

Brabant Wonen is eigenaar, bewonersvereniging huurt het complex in zijn geheel en verhuurt aan de bewoners(leden) Één huurcontract dat ook het beheer regelt..