Integralen en sommen

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Convergentie van reeksen, vervolg (2)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n = f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0 1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1a_n < ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

Zij P a_n een reeks zodat a_n = f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt dat P∞

n=1a_n convergeert dan en slechts dan als R∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien dat P ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken we P ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

=

(1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen:

Stelling 15.1 De reeks P ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a₁ ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n = 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n =P_n

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s₁ en s_2n+1≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s_2n) en (s_2n+1) hebben eindige limieten, zeg s_2n→ s en s_2n+1→ t. Dan volgt t −s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n = lim

n→∞(s_2n+1−s_2n) = lim

n→∞a_2n+1 = 0.

Er volgt t = s, dus lim_n→∞s_n = s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5