Integralen – pittige oefeningen

Óscar Romero College

Campus Talen & Exacte Wetenschappen Vak: Wiskunde

Leerkracht: Sven Mettepenningen

Integralen – pittige oefeningen

1. Definiëer ⁴

0

tan

ⁿ

I

n

x dx



 

^.

a)  Bereken

I

₁ en

I

₂.

b) ^ Stel een recursieformule op voor

I

_n en bewijs dat geldt ₂ 1

n n 1 I I

 n

 

 2. Definiëer

1^e

ln

ⁿ

I

n

  x dx

^. a)  Bereken I₁ en I₂.

b)  Stel een recursieformule op voor I_n en bewijs dat geldt I_n n I_n1e. 3. Je ziet hieronder de grafiek getekend van de functie

f x    e

^x

1  e

^2x .

 Bereken de oppervlakte begrepen tussen de grafiek van de functie en de

x

-as.

4.  Bereken

 

2 0 2

cos 1 sin

x x

dx x



 

^.

5. Gegeven zijn twee cirkels C1 _en

C2 met middelpunten M₁ en M₂ en stralen r₁ en r₂, zodat

M M

_{1 2}

   r

₁

r

₂

1

. Bepaal exact de oppervlakte van het lensvormige gebied waar ze elkaar snijden (zie figuur).

a)  Met behulp van een zelfgekozen assenstelsel en integratie.

b) ^ Met behulp van de geziene formules voor cirkelsegmenten.

6.  De astroïde met vergelijking

2 2 2

3 3 3

x y a

  

C

wordt gewenteld om de

x

-as. Bereken de oppervlakte van dit omwentelingslichaam.

7.  Gegeven: kromme ^{2 cos cos(2 ) 1 ,}



^{0, 2}



2 sin sin(2 )

x t t

y t t t



  

 

 



K _.

Deze kromme heet een cardioïde. Ze ontstaat door een punt te volgen op een cirkel die rond een andere, even grote cirkel rolt.

De lengte L van deze kromme kan geschreven worden als:

0

8 cos( )

b

L 



k t dt ^. a) Bewijs dit.

b) Wat zijn de waarden van

b

en

k

in dat geval?

c) Bereken de lengte L van deze cardioïde.

8.  Als je een cirkel met middelpunt



^{R, 0}



en straal

r

wentelt om de y-as ontstaat er een omwentelingslichaam dat op een donut lijkt. In de wiskunde noemen we dit een torus.

Bewijs de volgende uitspraken:

 Het volume van een torus wordt gegeven door

V   r

²

 2  R

. (het product van de oppervlakte van de cirkel die wentelt met de omtrek van de cirkel die zijn middelpunt aflegt bij het wentelen)

 De oppervlakte van een torus wordt gegeven door S 2



r2



R. (het product van de omtrek van de cirkel die wentelt met de omtrek van de cirkel die zijn middelpunt aflegt bij het wentelen)