Meervoudige (Riemann-) integralen
Bernhard Riemann Guido Fubini 1826 - 1866 1879 - 1943
Stelling (Fubini)
Laat f een continue functie zijn op D = [a, b] × [c, d ].
Dan kan Z Z
D
f (x , y ) dA geschreven worden als een herhaalde integraal.
Z Z
D
f (x , y ) dA = Z b
a
Z d c
f (x , y ) dy
dx Z Z
D
f (x , y ) dA = Z d
c
Z b a
f (x , y ) dx
dy
Bij het bewijs van de stelling van Fubini worden de steunpunten
‘slim’ gekozen, namelijk zoals in de figuur hieronder.
Gevolg
Is f (x , y ) = g (x )h(y ) waarbij g een continue functie is op [a, b]
en h op [c, d ] dan geeft toepassing van de stelling van Fubini dat
Z Z
D
f (x , y ) dA =
Z b a
g (x ) dx
Z d c
h(y ) dy
Uitbreiding tot niet-rechthoekige gebieden
Laat D ⊂ R2 een begrensd gebied zijn en laat R ⊂ R2 een rechthoek zijn zodat D ⊂ R. Laat verder f op D een continue functie zijn.
Definieer de functie ˜f op R door : f (x , y ) =˜
( f (x , y ) als (x , y ) ∈ D 0 als (x , y ) ∈ R\D .
Bestaat Z Z
R
f (x , y ) dA dan heet f Riemannintegreerbaar˜ over D en de Riemannintegraal van f over D wordt hierdoor
We gebruiken de voor de hand liggende notatie Z Z
D
f (x , y ) dA en er geldt:
Z Z
D
f (x , y ) dA = Z Z
R
f (x , y ) dA˜
Een gebied D ⊂ R2 heet van het Type I als er continue functies g1, g2 op [a, b] bestaan zodat
D = {(x , y ) | a ≤ x ≤ b, g1(x ) ≤ y ≤ g2(x )}
Een gebied D ⊂ R2 heet van het Type II als er continue functies h1, h2 op [c, d ] bestaan zodat
D = {(x , y ) | c ≤ y ≤ d , h1(y ) ≤ x ≤ h2(y )}
Stelling
Als f continu is op een gebied van Type I en/of Type II dan is f Riemannintegreerbaar over D.
Gevolgen
Als D een gebied is van Type I zoals hiervoor beschreven en f is continu op D dan geeft de stelling van Fubini dat Z Z
D
f (x , y ) dA = Z b
a
(Z g2(x ) g1(x )
f (x , y ) dy )
dx
Als D een gebied is van Type II zoals hiervoor beschreven en f is continu op D dan geeft de stelling van Fubini dat
Z Z
D
f (x , y ) dA = Z d
c
(Z h2(y ) h1(y )
f (x , y ) dx )
dy
