Meervoudige (Riemann-) integralen
Bernhard Riemann Guido Fubini 1826 - 1866 1879 - 1943
Een gebied D ⊂ R2 heet van het Type I als er continue functies g1, g2 op [a, b] bestaan zodat
D = {(x , y ) | a ≤ x ≤ b, g1(x ) ≤ y ≤ g2(x )}
Een gebied D ⊂ R2 heet van het Type II als er continue functies h1, h2 op [c, d ] bestaan zodat
D = {(x , y ) | c ≤ y ≤ d , h1(y ) ≤ x ≤ h2(y )}
Stelling
Als f continu is op een gebied van Type I en/of Type II dan is f Riemannintegreerbaar over D.
Gevolgen
Als D een gebied is van Type I zoals hiervoor beschreven en f is continu op D dan geeft de stelling van Fubini dat Z Z
D
f (x , y ) dA = Z b
a
(Z g2(x ) g1(x )
f (x , y ) dy )
dx
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
21 oktober 2014 2
Als D een gebied is van Type II zoals hiervoor beschreven en f is continu op D dan geeft de stelling van Fubini dat
Z Z
D
f (x , y ) dA = Z d
c
(Z h2(y ) h1(y )
f (x , y ) dx )
dy
Uitbreiding
Laat f continu zijn op een gebied D = D1∪ D2 waarbij D1
en D2 gebieden zijn van Type I en /of Type II die ten
hoogste een gedeelte van hun rand gemeenschappelijk hebben.
Dan ligt het voor de hand Z Z
D
f (x , y ) dA te defini¨eren door Z Z
D1
f (x , y ) dA + Z Z
D2
f (x , y ) dA.
Opmerking
De eigenschappen van de Riemannintegraal zijn als die voor de Riemannintegraal over rechthoekige gebieden.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
21 oktober 2014 4
Succes met jullie tentamen en tot ziens!
Calculus Rhapsody
