Onbepaalde integralen

Óscar Romero College

Campus Talen & Exacte Wetenschappen Vak: Wiskunde

Leerkracht: Sven Mettepenningen

Onbepaalde integralen

1. Bereken de volgende onbepaalde integralen (een substitutie is aangewezen):

a) ^



^{sin 3}



^x4



^{dx b) }



^{e2x3dx c) }



^{tan x dx d) }



⁵

_{4 x } ¹ ₇ ^dx

e) 

_ ^x  ^{4 x}

²

^{ 2} 

⁷

^dx

^{f) }

_

^{ln x}_x ^{dx g) }

_

_x^dx_lnx ^{h) }

2 3 4

3 1

3

x dx

x x



  

i) 



sin⁴ xcosx dx ^{j) }

 

3

2 4

sin

x dx

 x

^{k) }



_x^x2_³₁^{dx l) }



₁⁴_^x_x^{2 dx}

m) 

4

4 1

x dx x



 ^{n) }



^{cos x dx3 o) }



^Bgsin_1x^2xdx _p) 

^{tan ln}    ^x 

x dx



q)  cos 2_{2 2} sin cos

x dx

x x



^{r) }

1 2

1

2

x e

x

dx x





 

^{s) }

_{ }

²

sin 2 2 sin

x dx x



 ^{t) } x x

dx e e^



2. ^ Op de grafiek zie je dat de functie ^{f x}

  

^{ 2 sin x}



^2cosx positief is in het interval

2 2,



 



 

 ^.

Bereken in dat interval de oppervlakte onder de kromme.

3. ^ Je ziet de grafiek getekend van de kromme 

 y

²

 x

²

 x

⁴. Bereken de oppervlakte van het gebied dat deze kromme omsluit.

4. Bereken de volgende onbepaalde integralen (partiële integratie is aangewezen):

a) 



Bgsin 2x dx^{2 b) }

_ 

^{x2 x 1 sin}



^{x dx c) }

_

^{xBgtanx dx}

d) 



e^xsinx dx ^{e) }

_

^{ln 4}



^x2



^{dx f) }

_

^{esinxcos3x dx}

5. Een fiets rijdt lek op tijdstip

t  0

. De snelheid waarmee de fietsband lucht verliest wordt gegeven door de functie

^{v t}   ^{ 6 te}

^{t, met}

^t

ⁱⁿ

minuten en

v

in liter per minuut.

a)  Hoeveel lucht is de band al verloren na 3 minuten?

b)  Toon aan dat er in totaal 6 liter lucht in de band zit.

6. Bereken de volgende onbepaalde integralen:

a) ^ ₂

9 6 5

x dx

x  x



^{b) }



_{9 16}^2x_x^1_4x^{2 dx c) }



_x³³_^x_x^22_2^dx

d)  ₃

8 dx



x  ^{e) }



_1^x_x^{dx f) }

cos 8x dx2



g) ^



tan 3x dx^{3 h) }



^cot_sin^xcsc_x ^{xdx i) }



^{sec x dx4}

j) 

2

25

x dx

x

 

^(met

^{x  5}

^{) k) }

₁

²

dx x  x



^{l) }

3

4

2

x dx x

 

7.  Je ziet de grafiek getekend van de kromme 

 y

²

 x

⁴

 x

⁶ .

Bewijs dat de ingesloten oppervlakte gelijk is aan 4



Veel succes!

Antwoorden (moeilijkheidsgraad : eenvoudig, : gemiddeld, : lastig, : erg moeilijk)

1.

a) ^{1cos 3}



⁴



3 x C

  

b) 1 ^{2 3} 2

e x^ C

c)

 ln cos x  C

d) ^{5 5}



^{4 7}



⁴

16 x C

e)

 ⁴

²

² 

⁸

64

x  C



f)

 ^ln 

²

2 x  C

g) ^{ln ln x}

 

^C

h) ⁴₃⁴



^{x3 x 3}



^{3 C}

i)

sin

5

5 x  C

j)

^cot  

⁴

4

x C

 

k) ¹₂^ln



^{x2 1}



^{3Bgtan x C}

l) 4 1 x ² C m)

2Bgsin x

²

 C

n)

sin

3

sin 3

x  x  C

o)

 ^Bgsin 

²

2

x  C

p) 2 ln cos ln

  

x



C

q) 2

sin 2 C

 x

r) e ^{1 x 2} C

s) ^{2 ln 2 sin}

 

⁴

2 sin

x C

  x

 t) ^Bgtan

 

^{ex C}

2. 26

S  3

3. 4

S 3

4.

a)

x  Bgsin 2

²

x  Bgsin 2 x  1 4  x

²

 2 x C 

b)



^{x2 x 1 cos}



^x

^

^{2x1 sin}

^

^{x C}

c)

2

1

Bgtan Bgtan

2 2 2

x x

x x C

    

d) 1 1

cos sin

2 2

x x

e^ x e^ x C

  

e) 2Bgtan 2 x xC

f) ^esinx



^{sin2x2 sinx1}



^C

5.

a) Ongeveer 4,80 liter lucht (bereken de integraal

 

3

0

v t dt



⁾

b) Bereken de oneigenlijke integraal

 

0

v t dt





met behulp van limieten (gebruik l’Hôpital)

6.

a) 1 ² 1 3 1

ln 9 6 5 Bgtan

18 18 2

x x x C

   

b) 1 ² 5 2 4

9 16 4 Bgsin

2 2 5

x x x C

    

c) ^{ln 1 1ln 2 2 2 Bgtan}



¹



x 2 x  x  x C

d)

1 1

²

3 1

ln 2 ln 2 4 Bgtan

12 24 12 3

x x x x  C

     

e) 2 x2 Bgtan xC

f) 1

sin16 2 32

x x C

g) 1 ² 1

tan 3 ln cos 3

6 x3 x C

h) 1

sin cotx C

 x 

i) 1 ³

tan tan x3 x C

j) ² 25 5 Bgsec 5

x   xC