De Riemann-integraal
Bernhard Riemann 1826-1866
De substitutieregel
Laat g continu zijn op [a, b] en differentieerbaar op (a, b) en verder f continu zijn op [c, d ] en g ([a, b]) ⊂ [c, d ].
Is F een primitieve van f dan geldt Z b
a
f (g (x ))g0(x ) dx = F (g (b)) − F (g (a)).
(H(x ) = F (g (x )) is een primitieve van h(x ) = f (g (x )) g0(x )!)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
16 september 2014 1
Als u = g (x ) dan du = g0(x ) dx en
u = g (a) als x = a u = g (b) als x = b
.
Hieruit volgt dat Z b
a
f (g (x ))g0(x ) dx = Z g (b)
g (a)
f (u) du = [F (u)]g (b)
g (a)
= F (g (b)) − F (g (a)).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
16 september 2014 2
Partieel integreren
Laten f , g differentieerbaar op (a, b). Dan geldt Z
f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) − Z
f0(x )g (x ) dx of
Z
f (x ) d g (x ) = f (x )g (x ) − Z
g (x ) d f (x ) of met u = f (x ), v = g (x )
Z
u dv = u · v − Z
v du.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
16 september 2014 3
