Lineaire benaderingen en differentialen
L´evy of C-kromme
Lineaire benaderingen
f is een functie die differen- tieerbaar is in a.
y − f (a) = f0(a)(x − a) en y = f (a) + f0(a)(x − a) zijn vergelijkingen van de raaklijn aan f in (a, f (a)).
De linearisering van f in a
De functie L gegeven door L(x ) = f (a) + f0(a)(x − a) heet de linearisering van f in a.
Ten opzichte van het
getekende, lokale assenstelsel wordt de vergelijking van de raaklijn dy = f0(a)dx . We kunnen in elk punt van de grafiek zo’n lokaal assenstelsel aanleggen en vinden dy = f0(x )dx .
We zeggen dat ’de differentiaal van y is gelijk aan de afgeleide van f in x maal de differentiaal van x ’.
Als tengevolge van een meetfout a + h wordt gemeten in plaats van a wat is dan het effect
op de berekening van f (a) ?
Als tengevolge van een meetfout a + h wordt gemeten in plaats van a wat is dan het effect
op de berekening van f (a) ?
∆y = f (a + h) − f (a) ≈ f0(a)h = f0(a)∆x .
Als dx = ∆x dan ∆y ≈ dy = f0(a) dx .
Als tengevolge van een meetfout a + h wordt gemeten
in plaats van a wat is dan het effect op de berekening van f (a) ?
|∆y | = |f (a + h) − f (a)| ≈ |f0(a)||h| = |f0(a)||∆x | heet de absolute fout
en
|∆y |
|f (a)| ≈ |f0(a)|
|f (a)||∆x| de relatieve fout in de berekening van f (a).
Als tengevolge van een meetfout a + h wordt gemeten
in plaats van a wat is dan het effect op de berekening van f (a) ?
|∆y | = |f (a + h) − f (a)| ≈ |f0(a)||h| = |f0(a)||∆x | heet de absolute fout en
|∆y |
|f (a)| ≈ |f0(a)|
|f (a)||∆x| de relatieve fout in de berekening van f (a).
De Riemann-integraal
De Riemannintegraal
Laat f : [a, b] → R een continue functie zijn op haar domein.
Definieer de functies g , h : [a, b] → R door:
g (x ) =
f (x ) als f (x ) ≥ 0 0 als f (x ) < 0
en
h(x ) =
f (x ) als f (x ) ≤ 0 0 als f (x ) > 0
.
Dan is de Riemann-integraal van f over [a, b] gelijk aan:
‘de oppervlakte van het gebied ingesloten door de x -as, de lijnen x = a en x = b en de grafiek van g ’ −
‘de oppervlakte van het gebied ingesloten door de x -as, de lijnen x = a en x = b en de grafiek van h’.
Notatie
b
Z
a
f (x ) dx
Opmerking
Strict genomen is de Riemann-integraal de limiet van
Riemannsommen. Door gebruik te maken van Riemannsommen kunnen alle eigenschappen van de Riemann-integraal worden bewezen.
Bovendien kan daarmee, in theorie, elke Riemann-integraal worden berekend.
Vraag
Kan een Riemann-integraal eenvoudiger worden berekend?
