§4.9 Lineaire benaderingen
f is een functie die differentieerbaar is in a.
a f (a)
y − f (a) = f0(a)(x − a) en y = f (a) + f0(a)(x − a) zijn vergelijkingen van
de raaklijn aan f in (a, f (a)).
Definitie
De functie L gegeven door L(x) = f (a) + f0(a)(x − a) heet de linearisering van f in a.
I.A.M. Goddijn
a
f (a) dx
dy
Ten opzichte van het
getekende, lokale assenstelsel wordt de vergelijking van de raaklijn dy = f0(a)dx.
We kunnen in elk punt van de grafiek zo’n lokaal assenstelsel leggen
en vinden
dy = f0(x)dx
We zeggen dat ‘de differentiaal van y is gelijk aan de afgeleide
Het benaderen van een functiewaarde
a f (a)
Als f (a) eenvoudig is uit te rekenen kunnen we f (a + ∆x)
als volgt benaderen:
f (a + ∆x) ≈ L(a + ∆x) = f (a) + f0(a)∆x =
f (a) + f0(a)dx = f (a) + dy waarbij dx = ∆x.
I.A.M. Goddijn
Het schatten van een fout
a f (a)
Als tengevolge van een meet- fout a + ∆x wordt gemeten in plaats van a wat is dan effect hiervan op de functi- waarde f (a)?
∆y = f (a + ∆x) − f (a) ≈ L(a + ∆x) − f (a) = f0(a)∆x = f0(a)dx = dy waarbij dx = ∆x.
Absolute en relatieve fout
Als tengevolge van een meetfout a + ∆x wordt gemeten in plaats van a wat is dan het effect op de berekening van f (a) ?
Definitie
|∆y| = |f (a + ∆x) − f (a)| ≈ |f0(a)||∆x| = |f0(a)||∆x|
heet de absolute fout en Definitie
|∆y|
|f (a)| ≈ |f0(a)|
|f (a)||∆x| de relatieve fout in de berekening van f (a).
I.A.M. Goddijn
Definitie
Veronderstel dat f : [a, b] → R continu is.
Laat a = x0 < x1 < x2< · · · < xn−1< xn een partitie P van [a, b] zijn.
Kies in ieder deelinterval [xk−1, xk] een willekeurig steun- punt ξk en laat ∆xk = xk − xk−1.
Dan heet
n
X
k=1
f (ξk)∆xk een Riemannsom bij f .
