Lineaire Algebra
WI1048WbMt
I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016
Informatie over de docent
I.A.M. Goddijn
Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408
e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl
homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/∼goddijn blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl Spreekuur : volgens afspraak
Studiemateriaal
Boek
Boek
Titel : Linear Algebra and : its Applications
: Global Edition (5-th Ed.) Auteurs : David C. Lay, Stephen R. Lay,
Judy J. Mc Donald ISBN-13 : 978-1-292-09223-2
Opzet onderwijs
Bekijk voorafgaand aan de onderwijsbijeenkomsten naar een video (‘pre-lecture video’)
Er wordt tijdens de colleges/instructies nieuwe stof behandeld waarbij wordt aangenomen dat de video is bekeken.
Tijdens de contacturen wordt er gewerkt aan een beperkt aantal opgaven uit het boek. Advies: maak thuis nog wat extra opgaven.
Verder wordt wekelijks een set huiswerkopgaven klaargezet in het digitale systeem MyMathLab, de digitale leeromgeving van de uitgever van het boek. Oefen daarmee!
Waarom Lineaire Algebra?
Vanwege de vele toepassingen binnen allerlei vakgebieden.
Voorbeelden:
Het numeriek oplossen van parti¨ele differentiaalvergelijkingen in bijv. stromingsleer en aerodynamica
(golfvergelijking/warmtediffusievergelijking)
Statica: doorrekenen van constructies aan gebouwen - auto’s - schepen etc.
Meet- en regeltechniek.
Vrijwel ieder verschijnsel dat gemodelleerd wordt is dermate complex dat het met de computer doorgerekend moet worden. Hiervoor is (Numerieke) Lineaire Algebra
Onderwerpen
1 Het (gestructureerd) oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen
2 Matrix Algebra (Het rekenen met matrices)
3 Determinanten
4 Orthogonaliteit en de kleinste kwadratenmethode
Video
Voorbeeld
x1+ 5x2+ 3x3= 1 2x1+ x2+ 15x3= 8
−x1+ x2+ 3x3= 1
Een oplossing van dit stelsel bestaat uit een rijtje getallen (s1, s2, s3) die voldoet aan alle drie de vergelijkingen.
Hoe vinden we zo’n oplossing of liever alle oplossingen?
Door dit stelsel vergelijkingen om te zetten in een een eenvoudiger (equivalent) stelsel lineaire vergelijkingen met dezelfde oplossingen.
Definitie
Twee stelsels lineaire vergelijkingen heten equivalent als ze dezelfde oplossingen hebben. Welke operaties mogen worden uitgevoerd waarmee een eenvoudiger, equivalent, stelsel wordt verkregen?
(vervanging) een veelvoud van ´e´en vergelijking bij een andere vergelijking optellen,
(verwisseling) het verwisselen van twee vergelijkingen, (schaling) de vermenigvuldiging van een vergelijking met een constante ongelijk nul.
Voorbeeld
x1+ 5x2+ 3x3= 1 2x1+ x2+ 15x3= 8
−x1+ x2+ 3x3= 1
⇒
1 5 3 1
2 1 15 8
−1 1 3 1
| {z }
aangevulde matrix
1 5 3
2 1 15
−1 1 3
| {z }
co¨effici¨enten matrix
Voorbeeld
x1+ 5x2+ 3x3= 1 2x1+ x2+ 15x3= 8
−x1+ x2+ 3x3= 1
⇒
1 5 3 1
2 1 15 8
−1 1 3 1
x1+ 5x2+ 3x3= 1
−9x2+ 9x3= 6 6x2+ 6x3= 2
⇒
1 5 3 1
0 −9 9 6
0 6 6 2
x1+ 5x2+ 3x3= 1
−3x2+ 3x3= 2 3x + 3x = 1
⇒
1 5 3 1
0 −3 3 2
0 3 3 1
Voorbeeld
x1+ 5x2+ 3x3= 1
−3x2+ 3x3= 2 6x3= 3
⇒
1 5 3 1
0 −3 3 2
0 0 6 3
x1+ 5x2+ 3x3= 1
−3x2+ 3x3= 2 2x3= 1
⇒
1 5 3 1
0 −3 3 2
0 0 2 1
2x3 = 1 ⇒ x3= 12
−3x2 + 3x3 = 2 ⇒ x2= −16 x1 + 5x2 + 3x3 = 1 ⇒ x1= 13
Het vorige voorbeeld maakt duidelijk dat elk stelsel lineaire vergelijkingen kan worden weergegeven door middel van een aangevulde matrix.
En verder dat elke operatie op de vergelijkingen correspondeert met een operatie op de rijen van de corresponderende aangevulde matrix.
Definitie
Twee matrices heten (rij)-equivalent wanneer de corresponderende stelsels vergelijkingen equivalent zijn.
Definitie
De volgende matrixoperaties:
(vervanging) een veelvoud van ´e´en rij bij een andere rij optellen, (verwisseling) het verwisselen van twee rijen,
(schaling) de vermenigvuldiging van alle elementen van een rij met een constante ongelijk nul.
heten elementaire rijoperaties. Deze operaties voeren matrices over in equivalente matrices.
Voorbeeld
We bekijken nu de volgende twee gevallen:
x1+ 5x2+ 3x3= 1 2x1+ x2+ 15x3= 8
−x1+ x2 −9x3= 1 en
x1+ 5x2+ 3x3= 1 2x1+ x2+ 15x3= 8
−x1+ x2 −9x3= −5
Het eerste stelsel vergelijkingen heeft g´e´en oplossingen, het tweede
Opgaven
§1.1, Opgave 13
Los op:
x1 − 3x3= 8 2x1+ 2x2+ 9x3= 7 x2+ 5x3= −2
§1.1, Opgave 15
Onderzoek of het volgende stelsel consistent is:
x1 + 3x3 = 2
x2 − 3x4= 3
Rij-reductie en echelonvormen
De in de voorbeelden toegepaste methode voor het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen komt neer op het door rij-operaties overvoeren van aan aangevulde matrix in een echelonvorm.
Voorbeeld
(a)
∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(b)
∗ ∗
0 ∗
0 0 0
0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Kijk nog eens terug naar het eerste voorbeeld:
1 5 3 1
2 1 15 8
−1 1 3 1
∼
1 5 3 1
0 −3 3 2
0 0 2 1
| {z }
echelonvorm
Definitie
Een matrix heeft een echelonvorm als:
1 de rijen met alleen nullen erin, onderaan staan,
2 elke rij met meer nullen begint dan de rij die er aan voorafgaat tenzij het een rij met alleen nullen betreft.
Gereduceerde echelonvorm van een matrix
Definitie
Een matrix heeft een gereduceerde echelon vorm als:
1 deze matrix een echelon vorm heeft,
2 het eerste niet-nul element in een rij gelijk is aan ´e´en,
3 de kolommen waarin deze ´e´enen staan verder alleen nullen bevatten.
Voorbeeld
(a)
1 0 ∗ ∗ ∗
0 1 ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(b)
1 0 ∗
0 1 ∗
0 0 0
(c)
0 1 ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗
0 0 0 1 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗
0 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 1 0 ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 0 1 ∗ ∗
Wat is het voordeel van het uitvoeren van rijoperaties op een matrix
We gaan weer even terug naar het eerste voorbeeld.
Voorbeeld
1 5 3 1
2 1 15 8
−1 1 3 1
∼
1 5 3 1
0 −3 3 2
0 0 2 1
| {z }
echelonvorm
Verder ‘vegen’ tot een gereduceerde echelonvorm levert op:
1 5 3 1
0 −3 3 2
0 0 2 1
| {z }
echelonvorm
∼
1 0 0 13 0 1 0 −16 0 0 1 12
| {z }
gereduceerde echelonvorm
Terminologie
Definitie
In een matrix met echelonvorm heet:
het eerste niet-nul element van een rij pivot, hoofdelement of spil, de plaats van een pivot de pivotpositie
de kolom waarin een pivot staat pivotkolom.
Kijken we naar een corresponderend stelsel lineaire vergelijkingen dan heet:
de variabele die correspondeert met een pivot een basisvariabele,
Opgaven
§1.2, Opgave 3
Bepaal de gereduceerde echelonmatrix van:
1 2 3 4
4 5 6 7
6 7 8 9
Markeer de pivotposities en pivotkolommen zowel in de oorspronkelijke matrix als in de gereduceerde echelonmatrix.
We gaan terug naar het tweede voorbeeld.
Voorbeeld
1 5 3 1
2 1 15 8
−1 1 −9 1
∼
1 5 3 1
0 −3 3 2
0 0 0 0
| {z }
echelonvorm
Verder ‘vegen’ tot een gereduceerde echelonvorm levert op:
1 5 3 1
0 −3 3 2
0 0 0 0
| {z }
echelonvorm
∼
1 0 8 133 0 1 −1 −23
0 0 0 0
| {z }
gereduceerde echelonvorm
Voorbeeld
Als x3 = t (t ∈ R) dan:
x2 = −23 + t en x1 = 133 − 8t.
Het stelsel vergelijkingen heeft dus oneindig veel oplossingen:
(133 − 8t, −23 + t, t) (t ∈ R)
Opgaven
§1.2, Opgave 13
Bepaal de algemene oplossing van het stelsel vergelijkingen waarvan de aangevulde matrix gegeven wordt door:
1 −3 0 −1 0 −2
0 1 0 0 −4 1
0 0 0 1 9 4
0 0 0 0 0 0
