Technische Universiteit Delft
Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft
Tentamen Analyse deel 3, (wi1 265 HCT) vrijdag 2 juli 2010, 9.00-11.00 uur.
Het gebruik van een boek of telefoon is niet toegestaan.
Een (op college uitgereikt) formuleblad, mits niet voorzien van aantekeningen, mag wel worden gebruikt evenals een bij het eindexamen VWO toegestane rekenmachine.
Elk antwoord dient duidelijk gemotiveerd te worden.
1. Onderzoek of de volgende reeksen absoluut convergent, relatief convergent of divergent zijn:
(2) (a)
∞
X
n=1
(−1)n
√n + 1 −√ n − 1
n ,
(2) (b)
∞
X
n=1
(−1)n−1
√n n + 1.
(1) 2. (a) Ontwikkel de onbepaalde integraal Z
e−x2dx als een machtreeks rond 0.
(2) (b) Bepaal lim
x→0
tan x − x x3 .
(3) 3. Bepaal van de machtreeks
∞
X
n = 1
(4x − 3)n
n 2n achtereenvolgens de convergentiestraal en het convergentie-interval.
(2) 4. Bewijs of weerleg de bewering dat lim
(x,y)→(0,0)
3xy2
x2 + y2 bestaat.
(2) 5. (a) De functie f wordt gegeven door f (x, y) = e−xycos(y).
Bepaal de linearisering van f in (π, 0).
(2) (b) Toon aan dat de functie u : R2→ R gegeven door u(x, y) = sin x cosh y + cos x sinh y een oplossing is van de Laplacevergelijking uxx + uyy = 0.
(2) 6. C1 en C2 zijn krommen met als vectorvoorstellingen:
r1(t) = ht2, 7t − 12, t2i (t ∈ R) en
r2(s) = h4s + 5, s2 + 4s + 4, 5s + 4i (s ∈ R).
Bereken de cosinus van de kleinste hoek waaronder C1 en C2 elkaar in het punt (9, 9, 9) snijden.
Cijfer: (aantal behaalde punten + 2)/2 met afronding op gehele cijfers.
