Technische Universiteit Delft
Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft
Opgaven 1. Gegeven zijn de volgende eerste orde differentiaalvergelijkingen:
(a) y0 = 1 + x2 + y2, (b) y0= xe−x2− y2,
(c) y0 = 1 1 + ex2+y2, (d) y0 = sin(xy) cos(xy)
Van elk van deze differentiaalvergelijkingen is hieronder de grafiek van een oplossing getekend.
Welke differentiaalvergelijking hoort bij de grafieken I, II,III en IV? Motiveer uw antwoord duidelijk.
2. Hieronder is de grafiek van een functie getekend.
Van welke van de volgende differentiaalvergelijkingen is deze functie een oplossing?
(a) y0 = 1 + xy, (b) y0 = −2xy,
(c) y0 = 1 − 2xy.
Motiveer uw antwoord duidelijk.
3. Toon aan dat y = 2 + e−x3een oplossing is van de eerste orde differentiaalvergelijking y0+ 3x2y = 6x2.
4. Toon aan dat y = 2 + ln x
x een oplossing is van het beginwaardeprobleem:
(x2y0 + xy = 1
y(1) = 2 .
5. (a) Voor welke waarden van k ∈ R\{0} is y = sin(kt) een oplossing van de tweede orde, lineaire, differentiaalvergelijking y00 + 9y = 0?
(b) En voor welke waarden van k ∈ R\{0} is y = cos(kt) een oplossing van deze differentiaalvergelijking?
(c) Toon aan dat y = A sin(kt) + B cos(kt) voor de onder (a) en (b) gevonden waarden van k en alle waarden van A, B ∈ R ook oplossingen zijn.
(Het kan worden aangetoond dat dit alle oplossingen zijn.)
6. Voor welke waarden van r ∈ R is y = erteen oplossing van de differentiaalvergelijking y00+ y0− 6y = 0?
7. Voor welke waarden van r ∈ R is y = tr een oplossing van de volgende tweede orde differentiaalvergelij- kingen?
(a) t2y00 − 4ty0 + 6y = 0 (t > 0), (b) t2y00 + ty0 − 4y = 0 (t > 0),
(c) t2y00 + 3ty0 + y = 0 (t > 0),
(d) t2y00 − t(t + 2)y0 + (t + 2)y = 0 (t > 0).
