Rijen en reeksen
cos x =
∞
P
n=0
(−1)2n (2n)! x2n sin x =
∞
P
n=1
(−1)2n−1 (2n − 1)!x2n−1 ex =
∞
P
n=0
1 n!xn
Formule van Euler ei θ = cos θ + i sin θ
Wat is een rij? (Definitie)
Een rij is een functie f op, een oneindige deelverzameling van, de gehele getallen (meestal N of N\{0}).
Wat is een term van een rij ?
En wat is de grafiek van een rij? (Definities)
Laat f een rij zijn op N.
f (0), f (1), f (2), . . . heten de termen van de rij.
De grafiek van f is de verzameling punten {(n, f (n)) | n ∈ N}.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 1
Meestal worden de termen f (n) van een rij f anders genoteerd.
Notaties { an} en { an}∞
n=1 wanneer het domein van de rij N\{0} is.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 2
{ an}∞
n=0 met an = (−1)n.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 3
{ an}∞
n=0 met an = (−1)nn.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 4
{ an}∞
n=1 met an = (−1)n n .
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 5
{ an}∞
n=0 met an = 2n − 1 n + 1 .
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 6
De limiet van een rij
‘De limiet voor n naar ∞ van an is L’ wordt genoteerd als
n→∞lim an = L Maar wat betekent dit eigenlijk ?
Hoe ‘groter’ n des te ‘kleiner’ is de afstand van an tot L.
Voor alle n met n ‘groot’ is |an − L| ‘klein’.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 7
Definitie
De wiskundige definitie van de limiet van een rij is tenslotte : Bij elke > 0 bestaat een N ∈ N zodat voor alle n > N geldt : |an − L| < .
Definitie Als lim
n→∞an bestaat als eindig getal dan heet de rij {an} convergent en anders divergent.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 8
Eigenschappen
Laten de rijen { an} en { bn} en c ∈ R gegeven zijn.
Hiermee kunnen de volgende nieuwe rijen worden gemaakt:
de somrij met als termen an + bn, de rij met als termen c an,
de productrij met als termen an · bn, de quoti¨entrij met als termen an
bn
bn6= 0, voor passende waarden van n.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 9
Als lim
n→∞an = L en lim
n→∞bn = M dan bestaan ook
n→∞lim (an + bn), lim
n→∞c an, lim
n→∞an · bn, lim
n→∞
an
bn
en
n→∞lim an + bn = lim
n→∞an + lim
n→∞bn = L + M,
n→∞lim c · an = c · lim
n→∞an = c · L,
n→∞lim an· bn = lim
n→∞an· lim
n→∞bn = L · M,
n→∞lim an
bn =
n→∞lim an
n→∞lim bn = L
M mits M 6= 0.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 10
Als f een continue functie is op een interval dat L bevat en
n→∞lim an = L dan bestaat ook lim
n→∞f (an) en
n→∞lim f (an) = f ( lim
n→∞an) = f (L).
Gevolg
Als p > 0 en f : ( 0, ∞ ) → R gegeven wordt door f (x) = xp dan bestaat ook lim
n→∞apn en
n→∞lim apn = lim
n→∞f (an) = f ( lim
n→∞an) = f (L) = Lp.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 11
De insluitstelling
Als {an}, {bn} en {cn} rijen zijn zodat an≤ bn≤ cn voor alle n > N en zekere N ∈ N en
n→∞lim an = lim
n→∞cn = L, dan lim
n→∞bn = L.
Gevolg
Als {an} een rij is zodat lim
n→∞|an| = 0 dan lim
n→∞an = 0.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 12
Wanneer heet een rij stijgend, dalend of monotoon ? (Definities)
Een rij {an} heet
stijgend dalend monotoon
als
an≤ an+1 voor alle n.
an≥ an+1 voor alle n.
deze rij stijgend of dalend is.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 13
Wanneer heet een rij naar onder of boven begrensd of begrensd ? (Definities)
Een rij {an} heet
naar boven begrensd naar onder begrensd begrensd
als er een m ∈ R en een M ∈ R bestaan zodat
an ≤ M voor alle n.
an ≥ m voor alle n.
deze rij naar boven en onder begrensd is.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 14
Stelling (Bolzano-Weierstraß)
Bernhard Bolzano (1781-1848)
Karl Weierstrass (1815-1897) Iedere
( stijgende
dalende rij die naar
( boven begrensd onder begrensd is heeft een limiet.
Om te laten zien dat een rij {an} deze eigenschappen heeft gebruikt men vaak een techniek die volledige inductie heet.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
22 september 2014 15
