Rijen en reeksen
Definitie
Een rij is een functie f op, een oneindige deelverzameling van, de gehele getallen (meestal N of N\{0}).
Definitie
Laat f een rij zijn op N.
De grafiek van f is de verzameling punten {(n, f (n)) | n ∈ N}.
Rijen en reeksen
Meestal worden de termen f (n) van een rij f anders genoteerd.
Notaties { an} en { an}∞
n=1 wanneer het domein van de rij N\{0} is.
{ an}∞
n=0 met an = (−1)n.
Vervolg
{ an}∞
n=0 met an = (−1)nn.
Vervolg
{ an}∞
n=1 met an = (−1)n n .
Vervolg
{ an}∞
n=0 met an = 2n − 1 n + 1 .
De limiet van een rij
‘De limiet voor n naar ∞ van an is L’ wordt genoteerd als
n→∞lim an = L
Maar wat betekent dit eigenlijk ?
Hoe ‘groter’ n des te ‘kleiner’ is de afstand van an tot L.
Voor alle n met n ‘groot’ is |an − L| ‘klein’.
De limiet van een rij
Definitie
De wiskundige definitie van de limiet van een rij is tenslotte : Bij elke > 0 bestaat een N ∈ N zodat voor alle n > N geldt : |an − L| < .
Als lim
n→∞an bestaat als eindig getal dan heet de rij {an} convergent en anders divergent.
Eigenschappen
Laten de rijen { an} en { bn} en c ∈ R gegeven zijn.
Hiermee kunnen de volgende nieuwe rijen worden gemaakt:
de somrij met als termen an + bn, de rij met als termen c an,
de productrij met als termen an · bn, de quoti¨entrij met als termen an
bn
bn6= 0, voor passende waarden van n.
Eigenschappen, vervolg
Als lim
n→∞an = L en lim
n→∞bn = M dan bestaan ook
n→∞lim(an + bn), lim
n→∞c an, lim
n→∞an · bn, lim
n→∞
an
bn
en
n→∞lim an + bn = lim
n→∞an + lim
n→∞bn = L + M ,
n→∞lim c · an = c · lim
n→∞an = c · L,
n→∞lim an· bn = lim
n→∞an· lim
n→∞bn = L · M , lim an
=
n→∞lim an
= L
mits M 6= 0.
Eigenschappen, vervolg
Als f een continue functie is op een interval dat L bevat en
n→∞lim an = L dan bestaat ook lim
n→∞f (an) en
n→∞lim f (an) = f ( lim
n→∞an) = f (L).
Gevolg
Als p > 0 en f : ( 0, ∞ ) → R gegeven wordt door f (x) = xp dan bestaat ook lim
n→∞[an]p en
lim[a ]p = lim f (a ) = f ( lim a ) = f (L) = Lp.
De insluitstelling
Als {an}, {bn} en {cn} rijen zijn zodat an≤ bn≤ cn voor alle n > N en zekere N ∈ N en
n→∞lim an = lim
n→∞cn = L, dan lim
n→∞bn = L.
Gevolg
Als {an} een rij is zodat lim
n→∞|an| = 0 dan lim
n→∞an = 0.
Een rij {an} heet
stijgend dalend monotoon
als
an< an+1 voor alle n.
an> an+1 voor alle n.
deze rij stijgend of dalend is.
Een rij {an} heet
naar boven begrensd naar onder begrensd begrensd
als
an≤ M voor alle n en zekere M ∈ R.
an≥ m voor alle n en zekere m ∈ R.
deze rij naar boven en onder begrensd is.
Stelling (Bolzano-Weierstraß)
Bernhard Bolzano (1781-1848)
Karl Weierstrass (1815-1897) Iedere
( stijgende dalende
rij die naar
( boven begrensd onder begrensd is heeft een limiet.
Om te laten zien dat een rij {a } deze eigenschappen heeft
Volledige inductie
Gegeven is een bewering die van n (n ≥ n0) afhangt.
(Bijv. : De rij {an} met
( a1 = √ 2 en an+1 = √
an + 2 voor n ≥ 1 is stijgend.)
Controleer de bewering voor n = n0. (a2 = √
2 + a1 = p 2 +√
2 >√
2 + 0 = √
2 = a1.) Veronderstel dat de bewering juist is voor zekere n ≥ n0.
Volledige inductie, vervolg
Bewijs dat hieruit volgt dat de bewering juist is voor n + 1.
(an+2 = √
2 + an+1>√
2 + an = an+1immers an+1> an)
