Rijen en reeksen

Rijen en reeksen

cos x =

∞

P

n=0

(−1)²ⁿ (2n)! x²ⁿ sin x =

∞

P

n=1

(−1)²ⁿ⁻¹ (2n − 1)!x²ⁿ⁻¹ e^x =

∞

P

n=0

1 n!xⁿ

Formule van Euler e^{i θ} = cos θ + i sin θ

Stelling (Bolzano-Weierstraß)

Bernhard Bolzano (1781-1848)

Karl Weierstrass (1815-1897) Iedere

( stijgende

dalende rij die naar

( boven begrensd onder begrensd is heeft een limiet.

Om te laten zien dat een rij {an} deze eigenschappen heeft

Volledige inductie

Gegeven is een bewering die van n (n ≥ n0) afhangt.

(Bijv. : De rij {an} met

( a1 = √ 2 en an+1 = √

an + 2 voor n ≥ 1 is stijgend.)

Controleer de bewering voor n = n0 = 1.

(a2 = √

a1 + 2 = p√

2 + 2 >√

0 + 2 = √

2 = a1.)

Veronderstel dat de bewering juist is voor zekere n ≥ n₀ = 1.

(Veronderstel dat an+1> an voor zekere n ≥ n0= 1. )

Bewijs dat hieruit volgt dat de bewering juist is voor n + 1.

(an+2 = √

2 + an+1>√

2 + an = an+1immers an+1> an)

Reeksen

Wat is een reeks? (Definitie) Laat { a_k}^∞

k=1 een rij zijn.

Met deze rij kunnen we een nieuwe rij { sn}^∞

n=1 maken met termen

s_n = a₁ + a₂ + · · · a_n =

n

X

k=1

a_k

De rij { sn}^∞

n=1 heet de rij der parti¨ele sommen.

Definities

Is de rij der parti¨ele sommen convergent met limiet s dan noemen we de reeks

∞

P

k=1

a_k convergent met som s en schrijven

∞

P

k=1

a_k = s.

Is de rij der parti¨ele sommen divergent dan noemen we de reeks

∞

P

k=1

a_k divergent.

Voorbeeld

a_k = ar^k−1 (k = 1, 2, 3, · · · ).

Dus:

s_n = a₁ + a₂ + a₃ + · · · + a_n = a + ar + ar² + · · · + arⁿ⁻¹ =

a(1 − rⁿ)

1 − r n = 1, 2, 3, · · · Of korter:

n

X

k=1

ar^k−1 = a(1 − rⁿ) 1 − r .

De rij {rⁿ} is











divergent als |r | > 1 of r = −1, convergent met som 1 als r = 1 en convergent met som 0 als |r | < 1 dus is de reeks

∞

P

k=1

ar^k−1 alleen convergent als |r | < 1 en

de som is dan a 1 − r. Definitie

De reeks

∞

P

k=1

ar^k−1 heet meetkundige reeks met constante a en reden r .