Rijen en reeksen

Rijen en reeksen

cos x =

∞

P

n=0

(−1)²ⁿ (2n)! x²ⁿ sin x =

∞

P

n=1

(−1)²ⁿ⁻¹ (2n − 1)!x²ⁿ⁻¹ e^x =

∞

P

n=0

1 n!xⁿ

Formule van Euler e^{i θ} = cos θ + i sin θ

Voorbeeld

a_k = ar^k−1 (k = 1, 2, 3, · · · ).

Dus:

s_n = a₁ + a₂ + a₃ + · · · + a_n = a + ar + ar² + · · · + arⁿ⁻¹ =

a(1 − rⁿ)

1 − r n = 1, 2, 3, · · · Of korter:

n

X

k=1

ar^k−1 = a(1 − rⁿ) 1 − r .

De rij {rⁿ} is











divergent als |r | > 1 of r = −1, convergent met som 1 als r = 1 en convergent met som 0 als |r | < 1 dus is de reeks

∞

P

k=1

ar^k−1 alleen convergent als |r | < 1 en

de som is dan a 1 − r. Definitie

De reeks

∞

P

k=1

ar^k−1 heet meetkundige reeks met constante a en reden r .

Eigenschappen Laten

∞

P

k=1

ak en

∞

P

k=1

bk convergente reeksen zijn met sommen s en t, c ∈ R.

Dan geldt De reeks

∞

P

k=1

(a_k + b_k) is convergent met som s + t.

De reeks

∞

P

k=1

(c · a_k) is convergent met som c · s.

Als

∞

P

k=1

a_k een convergente reeks is dan lim

k→∞a_k = 0.

(‘Als

∞

P

k=1

a_k een convergente reeks is dan gaan de termen ak naar 0 wanneer k naar oneindig gaat.’) Gevolg

Als lim

k→∞a_k 6= 0 dan is de reeks

∞

P

k=1

a_k divergent.

Een test voor alternerende reeksen (Leibniz) Laat {b_k}^∞

k=1 een dalende rij zijn met positieve termen en limiet 0.

Dan is de reeks

∞

P

k=1

(−1)^k−1bk convergent.

Is sn =

n

P

k=1

(−1)^k−1bk en s = lim

n→∞sn dan geldt bovendien

|s − s_n| ≤ b_n+1.

Definitie Een reeks

∞

P

k=1

a_k heet absoluut convergent als de reeks

∞

P

k=1

|a_k| convergent is.

Voorbeeld Zo is de reeks

∞

P

k=1

(−1)^k−1 1

k(k + 1) absoluut convergent.

Verder is de reeks

∞

P

k=1

(−1)^k−1 1

k convergent maar niet absoluut convergent.

Stelling Als de reeks

∞

P

k=1

a_k absoluut convergent is dan is de reeks zelf convergent.

Opmerking

De omgekeerde bewering is niet juist .

Een convergente reeks is niet altijd absoluut convergent.

Een reeks die convergent is maar niet absoluut convergent heet relatief convergent.