Formularium ruimtemeetkunde

Formularium ruimtemeetkunde

Vergelijking van een rechte

Vergelijking van een rechte r met richtingsvector

^{R a b c}  ^{, ,} 

^{die door}

P x y z

1



1

,

1

,

1



gaat:

 Vectorvergelijking:

r   P P

1

 k R .

^{, met}

k  ℝ

^.

 Parametervergelijking:

1

1

1

. . . x x k a

r y y k b

z z k c

 

 

   

  



, met

k  ℝ

.

 Cartesische vergelijking: x x¹ y y¹ z z¹

r a b c

  

   (op voorwaarde dat

abc  0

)

Als bijvoorbeeld

a  0

dan geldt:

1

1 1

x x

r y y z z

b c

 

    

 

Als bijvoorbeeld

a   b 0

dan geldt: ¹

1

x x

r y y

 

   

Vergelijking van een vlak

Vergelijking van een vlak



met richtingsvectoren

R a b c

1



1

, ,

1 1



en

R a b c

2



2

,

2

,

2



dat door

 

1 1

,

1

,

1

P x y z

gaat:

 Vectorvergelijking:

   P P

1

 k R .

1

 m R .

2^{, met}

k m ℝ ,

^.

 Parametervergelijking:

1 1 2

1 1 2

1 1 2

. .

. .

. .

x x k a m a y y k b m b z z k c m c



  

 

    

   



, met

k m ℝ ,

^.

 Cartesische vergelijking:

1 1 1

1 1 1

2 2 2

0 x x y y z z

a b c

a b c

  



Vergelijking van een vlakkenwaaier

Alle vlakken



die de rechte ^{1 1 1 1}

2 2 2 2

0 0 u x v y w z t s u x v y w z t

   

       

bevatten kunnen we schrijven als:



1 1 1 1

 

2 2 2 2

 0

k u x v y   w z t   m u x v y   w z t  

^{, met} k m  ℝ^, . Evenwijdig vlak

Voor een vlak



^{dat door} P x y z1



1, 1, 1



gaat en evenwijdig is aan

  ux  vy  wz   t 0

^geldt:



1

 

1

 

1



0

u x x v y y w z z



      

Scalair product – loodrechte stand

 Definitie scalair product:

v x y z

1



1

,

1

,

1



en

v

2

 x y z

2

,

2

,

2

  v v

1

.

2

 x x

1 2

 y y

1 2

 z z

1 2

 De norm (lengte) van een vector v x y z1



1, 1, 1



^:

v

₁

 x

₁²

 y

₁²

 z

₁²

 Eigenschap:

^{v v}

¹

^.

²

^{ v}

¹

^{. v}

²

^.cos   ^{v v}

¹

^,

²

 Hoofdeigenschap loodrechte stand:

v

1

 v

2

 v v

1

.

2

 0

 Normaalvector: de vector

^{N u v w}  ^{, ,} 

staat loodrecht op vlak



ux vy wz t 0

 Loodrechte stand van twee vlakken:

Als

  u x v y

₁



₁

 w z

₁

  t

₁

0

^en

  u x v y

₂



₂

 w z t

₂

 

₂

0

, dan geldt:

1

.

2 1

.

2 1

.

2

0 u u v v w w

      

Afstanden

Afstand tussen

P x y z

1



1

,

1

,

1



en

P x y z

2



2

,

2

,

2



:

P P

1 2

  x

2

 x

1

 

²

 y

2

 y

1

 

²

 z

2

 z

1



²

Afstand van

P x y z 

1

,

1

,

1



tot



ux vy wy t 0:

^d  ^{, P}  ^ux

¹ ₂

^vy

¹ ₂

^wz

¹₂

^t

u v w

  ^{  }

 

Hoeken

De hoek tussen twee rechten

r

₁ en

r

₂ met richtingsvectoren

R a b c

1



1

, ,

1 1



en

R a b c

2



2

,

2

,

2



:

 

^{1 2 1 2} 2 ^{1 2}2 2^{1 2} 2 ^{1 2} 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

. cos ,

. .

R R a a b b c c

r r R R a b c a b c

 

 

   

De hoek tussen twee vlakken

  u x v y

₁



₁

 w z

₁

  t

₁

0

en

  u x v y

₂



₂

 w z t

₂

 

₂

0

:

 

2 ^{1 2}2 2^{1 2} 2 ^{1 2}2 2

1 1 1 2 2 2

. cos ,

.

n n u u v v w w

n n u v w u v w

 

 

    ^{ }

    

De hoek tussen vlak



ux vy wz t 0 en rechte r met richtingsvector

R a b c

r

 ^{, ,} 

:

 

2 2 2 2 2 2

. sin ,

.

r

r

n R ua vb wc

r

n R u v w a b c





   ^{ }

    

Bol

Een bol

B

met middelpunt

M x y z 

0

,

0

,

0



en straal r:



x x0

 

² y y0

 

² z z0



² r²

      

B

Omgekeerd, voor een bol ^B

 x

²

 y

²

 z

²

 2 ax  2 by  2 cz   d 0

geldt dat:

 ^{, ,} 

M

B

   a b c

en

r

B

 a

²

 b

²

 c

²

 d