Ruimtemeetkunde – Loodrechte stand, afstanden en hoeken 1.

Óscar Romero College

Campus Talen & Exacte Wetenschappen Vak: Wiskunde

Leerkracht: Sven Mettepenningen

Ruimtemeetkunde – Loodrechte stand, afstanden en hoeken

1. Gegeven zijn de vectoren ^A



^{1, 2, 3}



en ^B



^{4, 1, 2}



.

a) ^ Bereken de hoek tussen de vectoren A en B tot op de seconde nauwkeurig.

b)  Verander de z-coördinaat van vector B zodat AB.

2. In de ruimte met orthonormale ijk beschouwt men de punten

^A  ^{1, 2,1} 

^,

^B  ^{2,3, 2} 

^,

^{C }  ^{2,1, 1 } 

^en

^D  ^{4,1, 0} 

^.

a)  Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het vlak



dat door de punten A B, en

C

gaat.

b) ^ Bepaal de coördinaat van het voetpunt van de loodlijn neergelaten uit D op



.

3. In een driedimensionaal orthonormaal assenstelsel zijn gegeven het vlak



   x y 2 0, de rechte 2 1

3 2

x z

r   y  en het punt ^P



^{2,1, 0}



.

a) ^ Stel de vergelijking op van het vlak



dat

r

en P bevat.

b) ^ Stel de cartesiaanse vergelijkingen op van de loodlijn uit P op



. c) ^ Bepaal de afstand van P tot rechte

r

.

4. In de ruimte, voorzien van een orthonormale ijk, beschouwt men de punten ^A



^{1, 2, 0}



, ^B



^{2,1, 2}



en ^C



^3,1,1



,

en de rechte

4 2 3

6 3 2

x y z

d x y z

  

      

^.

a) ^ Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het vlak



dat het punt A en de rechte

d

bevat.

b)  Bereken de afstand van B tot vlak



.

c) ^ Bereken de hoek tussen rechte

AC

en vlak



op de seconde nauwkeurig.

5. In een ruimte met orthonormale ijk zijn gegeven ^A



^{0,1, 0}



en ^B



^2,3,1



, en de rechte

1

2 0

x y

c y z

  

    

^. a) ^ Bepaal het punt

C  c

zo dat AB en

AC

elkaar loodrecht snijden.

b)  Bepaal de cartesische vergelijking van de rechte

d

zo dat

A d 

en ^{d vl ABC}

 

^.

c)  Bepaal

F  d

zo dat AF  AC _.

6. In de ruimte, voorzien van een orthonormale ijk, beschouwt men de punten ^A



^{4, 4, 0}



^{, B }



^{4, 4, 0}



^{, C}



^{0, 0,8}



en ^D



^8,8,8



en het vlak



 x 2y z 4.

a) ^ Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het vlak



dat door A gaat en loodrecht staat op

BC

. b)  Bepaal de coördinaat van het snijpunt P van de rechte

BC

met het vlak



.

c)  Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het vlak



dat door D gaat en evenwijdig is met



.

2 0

x y z t



     . D  



8 2.8 8     t 0 t 16. Dus



 x 2y z 160. d) ^ Bereken de hoek tussen de vlakken



en



.

Veel succes!

Antwoorden (moeilijkheidsgraad : eenvoudig, : gemiddeld, : lastig, : erg moeilijk)

1.

a)

  A B  ^, 62 11'17" 

b) 2

' 4, 1, B   3

2.

a)



  x y 2z 1 0 b)

V  10 3,1 3, 4 3 

3.

a)



3x y 5z 7 0

b) 3 0

0 x y

l z

  

  

c) 10

PL  2

4.

a)



2x y 3z 4 0

b)



^,



¹⁴

d B



 2

c)



AC^,

 

40 53'36"

5.

a)

^C  ^{1, 0, 0} 

b) 1

4 d    x y z

c)

F

1

 1 3, 4 3, 4 3  

en

F 

2

 1 3, 2 3, 4 3 

_.

6.

a)



  x y 2z 8 0 b) 4 4 16

3 3 3, , P 

c)



 x 2y z 160 d)

  ^{    , 60}