Complexe getallen – inleiding en bewerkingen

(1)

Óscar Romero College

Campus Talen & Exacte Wetenschappen Vak: Wiskunde

Leerkracht: Sven Mettepenningen

Complexe getallen – inleiding en bewerkingen

1. Bereken

( )

19 18

1 1

i i +

−

2. Los op in ℂ_:

a)

( ² ⁻ ^{i z} )

²

⁻ ⁶ ^iz ⁼ ⁰

b)

( ² ⁻ ^{i z} ) ( ^{− +} ^{1 3} ^{i z} ) ^{+ +} ² ⁷ ⁱ ⁼ ⁰

c) z + =² 9 0 d) 5z²+4z+ =1 0 e) z⁴+z² =72

f)

( ² − ^{i z} )

²

− + ( ^{1 7} ^{i z} ) − ^{15 10} + ⁱ = ⁰

g)

^z

²

⁺ ^z

²

^{− −} ( ^{1 3} ^{i z} ) ⁺ ⁴ ^z ^{− − =} ⁷ ⁱ ⁰

3. De vergelijking

² ^z

²

− + ( ^{3 8} ^{i z} ) − − ^m ⁴ ⁱ = ⁰

, met

m ∈ ℝ

heeft een reële oplossing. Bepaal de andere

(complexe) wortel.

4. Gegeven is de complexe functie

^{f z} ( ) ^z

²

³ ^z

z i

= −

−

^. a) Bepaal

^f ( ^{1 2} ⁺ ⁱ )

b) Bepaal

^f

⁻¹

( ^{− +} ⁵ ⁵ ⁱ )

5. Bewijs dat de verzameling complexe getallen z ∈ ℂ die voldoen aan

^{z z} ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − = ( ¹ ⁱ ) ^z ( ¹ ⁱ ) ^z ² ⁰

in het complexe vlak een cirkel voorstellen met middelpunt z_M = +1 i en straal r =2.

Veel succes!

(2)

Antwoorden (moeilijkheidsgraad : eenvoudig, : gemiddeld, : lastig, : erg moeilijk) 1. − −1 i

2.

a)

^V ⁼ { ^{0, 2} ^{− +} ^{2 2} ⁱ }

b) ^V ⁼

{

⁴⁺³ⁱ

}

c) ^V ⁼

{

^{3 , 3}ⁱ ⁻ ⁱ

}

d) ^V ^{= −}

{

^{0, 4}⁺^{0, 2 ;}ⁱ ⁻^{0, 4}⁻^{0, 2}ⁱ

}

e)

V = { 2 2, 2 2, 3 , 3 − i − i }

f) ^V ⁼

{

²^{+ − +}ⁱ^{, 3} ²ⁱ

}

g)

27 13

3 , 16 2 1

V =   − − i 6 i 

 + 



3.

2 + 4 i

(als m =2 is er een reële wortel

− 1 2

)

4.

a) ^f

(

^{1 2}⁺ ⁱ

)

^{= − +}⁴ ²ⁱ

b)

^f

⁻¹

( ^{− +} ^{5 5} ⁱ ) { ^{= − +} ^{1 3 , 1 2} ⁱ ^{− +} ⁱ }

5. Tip: Schrijf

z = + x yi

en gebruik elementaire analytische meetkunde.

Complexe getallen – inleiding en bewerkingen