Complexe getallen

Stelling

Als f en g functies zijn op een open interval I rond a zodat f (x ) = O((x − a)^α) en g (x ) = O((x − a)^β) voor x → a en zekere α, β > 0 dan

f (x ) + g (x ) = O((x − a)^γ) voor x → a waarbij γ = min{α, β}.

(x − a)^γf (x ) = O((x − a)^α+γ) voor γ > −α.

Complexe getallen

Complexe getallen

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ · · · ?

De verzameling van de re¨ele getallen kan worden uitgebreid tot de verzameling van complexe getallen.

Wat is de aanleiding tot deze uitbreiding ?

Wat is een imaginair getal? (Definitie)

Het imaginaire getal i is een oplossing van de vergelijking x² + 1 = 0.

Gevolg i² = −1

Wat is een complex getal? (Definitie)

z = a + bi met a, b ∈ R heet een complex getal.

a heet het re¨ele deel van z.

b heet het imaginaire deel van z.

Notaties Re z = a, Im z = b,

C = { a + bi | a, b ∈ R }.

Gevolg

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Wat is de tegengestelde en het nulelement (Definities) Als z = a + bi dan is de tegengestelde van z gelijk aan

−a − bi .

Het nulelement van C is gelijk aan 0 + 0i.

Notaties

−z = − a − bi 0 = 0 + 0i Opmerking

Twee complexe getallen a + bi en c + di , a, b, c, d ∈ R zijn aan elkaar gelijk als a = c en b = d .

Grafische weergave

Complexe vlak !

Gauss vlak !

Argand vlak !

Bewerkingen

Laat z = a + bi en w = c + di , a, b, c, d ∈ R.

Optellen

z + w = (a + c) + (b + d )i Aftrekken

z − w = z + −w = (a − c) + (b − d )i Vermenigvuldigen

z · w = (ac − bd ) + (ad + bc)i

Laat z = a + bi en w = c + di , a, b, c, d ∈ R.

Delen a + bi c + di ? a + bi

c + di = (ac + bd ) + (bc − ad )i c² + d²

Deze formule gaan we niet onthouden. We kunnen ook delen door de teller en de noemer van de breuk te vermenigvuldi- gen met de complex geconjugeerde of complex toegevoegde van de noemer.

Een complex geconjugeerde wat is dat? (Definitie) Als z = a + bi , a, b ∈ R dan heet a − bi de complex geconjugeerde of complex toegevoegde van z.

Notatie z = a − bi

Eigenschappen

z + z = 2 Re z voor alle z ∈ C.

z − z = 2i Im z voor alle z ∈ C.

Als z = a + bi , a, b ∈ R dan z · z = a² + b².

Nogmaals delen ! a + bi

c + di = a + bi

c + di · c − di

c − di = (ac + bd ) + (bc − ad )i c² + d²

Notatie z⁻¹ = 1

z voor z ∈ C\{0}.

Eigenschappen

z = z voor alle z ∈ C.

z ± w = z ± w voor alle z, w ∈ C.

z · w = z · w voor alle z, w ∈ C.

z w



= z

w voor alle z, w ∈ C, w 6= 0.

zⁿ = zⁿ voor alle z ∈ C, n ∈ Z.

Modulus en argument

θ

Wat zijn modulus en argument? (Definities) De modulus van z is gelijk aan√

a² + b². Een argument van z is een hoek θ zodat cos θ = a

r en sin θ = b

r. Notaties

|z| = r = √

a² + b² en arg z = θ.

En dus z = |z| (cos(arg z) + i sin(arg z)).

Opmerking

Een argument van een complex getal is niet ´e´enduidig bepaald, dit is het geval op een veelvoud van 2π na.

Stelling

Als z = r (cos θ + i sin θ) en w = s (cos φ + i sin φ) dan z w = r s (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))

z w = r

s (cos(θ − φ) + i sin(θ − φ)) (w 6= 0) 1

z = 1

r (cos θ − i sin θ) (w 6= 0)

Hieruit volgen een aantal eigenschappen van modulus en argument.

Eigenschappen modulus

|z|² = z · z voor alle z ∈ C.

|z + w | ≤ |z| + |w | voor alle z, w ∈ C.

|z · w | = |z| · |w | voor alle z, w ∈ C.

|z

w| = |z|

|w | voor alle z, w ∈ C, w 6= 0.

|zⁿ| = |z|ⁿ voor alle z ∈ C, n ∈ Z.

Eigenschappen argument

arg(z · w ) = arg z + arg w ( mod 2π) voor alle z, w ∈ C.

arg

z w



= arg z − arg w ( mod 2π) voor alle z, w ∈ C w 6= 0.

arg zⁿ = n arg z ( mod 2π) voor alle z ∈ C, n ∈ Z.