Complexe getallen Jaap Top

Complexe getallen

Jaap Top

JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl

16 december 2014

(studiedag voor leraren wiskunde)

(“er” verwijst naar Leopold Kronecker),

uit een tekst (1893) na diens overlijden geschreven door Heinrich Weber,

Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.

1823–1891

”mensenwerk” over √

−1:

ontstaansgeschiedenis en toepassingen.

uitvoeriger historie en meer/andere toepassingen:

F. van der Blij, J. van der Craats, H.J.A. Duparc, J.T. Fokkema, A.W. Grootendorst en J.A. van Maanen,

Vacantiecursus 1983 Complexe getallen, CWI Syllabus 15 (1987).

http://www.math.rug.nl/^∼top/CWISyllabus15.pdf

Marten Toonder, verhaal ‘de minionen’ (1980)

Niccol`o Tartaglia (1500–1557)

geromantiseerde versie:

(Dieter J¨orgensen, 2000)

Tartaglia gebruikte vierkantswortels uit negatieve getallen.

Zo loste hij vergelijkingen als de volgende op:

x³ = 21x + 20.

Zijn methode, versimpeld weergegeven:

substitueer x = a + b, dan

x³ = (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

= 3ab(a + b) + a³ + b³

= 3abx + a³ + b³.

Bij ons: a, b leveren een oplossing als ab = 7 en a³ + b³ = 20.

(x³ = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.)

Oplossing(en): x = a + b waarbij ab = 7 en a³ + b³ = 20.

De condities impliceren a³b³ = 7³ en a³ + b³ = 20,

dus a³, b³ zijn de twee oplossingen van X² − 20X + 7³ = 0.

Wortelformule: ∆ = −3 × 18², dus oplossingen 10 ± 9√

−3.

(x³ = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.)

Oplossing(en): x = a + b met, na eventueel a en b omwisselen, ab = 7 en a³ = 10 + 9√

−3.

Dit levert (zie verderop!) drie mogelijkheden:

• a = −2 + √

−3, dan b = 7/a = −2 − √

−3 en x = a + b = −4;

• a = ⁵₂ + ¹₂√

−3, dan b = 7/a = ⁵₂ − ¹₂√

−3 dus x = a + b = 5;

• a = −¹₂ − ³₂√

−3, dan b = 7/a = −¹₂ + ³₂√

−3 dus x = −1.

Controle: inderdaad geldt (−4)³ = 21 × (−4) + 20 en

5³ = 21 × 5 + 20 en (−1)³ = 21 × (−1) + 20.

Dus ondanks dat de methode ”niet bestaande” getallen gebruikt,

leidt het tot correcte antwoorden (en niet alleen in dit voor- beeld!).

Twee manieren om complexe getallen te beschrijven:

algebra¨ısch, als uitdrukkingen a + b√

−1 met re¨ele a, b;

meetkundig, als punten met co¨ordinaten (a, b) in het xy-vlak.

Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, met a en b re¨ele getallen, en i een nieuw symbool.

Is z = a + bi een complex getal, dan heet a ∈ R het re¨ele deel van z en b ∈ R het imaginaire deel van z.

Notatie Re(z) := a resp. Im(z) := b.

De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C.

Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di complexe getallen zijn. Dan

z + w = (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i en

zw = (a + bi) · (c + di) := (ac − bd) + (ad + bc)i.

We vatten R op als een deel van C, door r ∈ R te zien als het complexe getal r + 0i.

Evenzo hebben we een zekere deelverzameling van de complexe getallen die we de zuiver imaginaire getallen noemen. Dit zijn de complexe getallen van de vorm 0 + bi. Zo’n zuiver imaginair getal schrijven we kortweg als bi.

De rekenregels zeggen in het bijzonder dat (bi)(di) = −bd, dus het product van twee zuiver imaginaire getallen is een re¨eel getal.

Voor b = d = 1 staat hier dat i² = −1.

Dus i is een wortel uit −1. Leonhard Euler (1707–1783) voerde de notatie i in.

Elk complex getal z 6= 0 heeft een inverse; dat is een w ∈ C zodat zw = 1. Deze inverse wordt, net als in het re¨ele geval, geschreven als z⁻¹. Er geldt

(a + bi)⁻¹ = a

a² + b² − b

a² + b²i,

zoals je nagaat door met a + bi te vermenigvuldigen.

Dit stelt ons in staat om complexe getallen op elkaar te delen:

z/w = z · w⁻¹ (mits w 6= 0).

De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is het complexe getal genoteerd als ¯z, gegeven door

z := a − bi.¯

Merk op dat voor elke z = a + bi 6= 0 het product z¯z = a² + b² een positief re¨eel getal is. Er geldt

1

z = z¯ z¯z en

w

z = w¯z z¯z

In de praktijk kan hiermee snel een quotient van complexe getallen in de vorm a + bi geschreven worden.

Voorbeelden:

1

2 + i = 2 − i

(2 + i)(2 − i) = 2 − i

5 = 2

5 − 1 5i.

Zo ook

3 + 5i

1 + i = (3 + 5i)(1 − i)

(1 + i)(1 − i) = (3 + 5i)(1 − i)/2 = 4 + i.

Deze algebra¨ısche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli (1526–1572), die probeerde iets zinvols te maken van de vreemde methoden van Tartaglia en diens tijdgenoten.

Je kan op een meetkundige manier naar C kijken door z = a + bi te zien als het punt (a, b) in het xy-vlak R². Optellen in C is zo de parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi optellen bij c + di is het optellen van de vectoren met beginpunt (0, 0) en eindpunt resp. (a, b) en (c, d).

Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a, −b), dus het spiegelen in de x-as.

We spreken van het complexe vlak.

De formule z · z = a²+ b² als z = a + bi laat zien, dat z · z gelijk is aan het kwadraat van de afstand tussen (0, 0) en (a, b). Kortom, met

|z| := √

z · z =

q

a² + b²

wordt een re¨eel getal gedefini¨eerd dat in het meetkundige plaatje de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de abso- lute waarde van z. Voor re¨ele z stemt dit overeen met de gewone absolute waarde.

Er geldt |zw| = |z| · |w| en |z + w| ≤ |z| + |w|.

Door z ∈ C (mits z 6= 0) te delen door z’n absolute waarde |z|, houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1.

Elk punt op die cirkel heeft co¨ordinaten (cos α, sin α) waarbij α de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van de positieve re¨ele as (x-as).

De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie:

arg(z).

Er geldt z = r · (cos α + (sin α)i) waarbij r = |z| en α = arg(z).

De accountant/boekhouder Jean Robert Argand (1768–1826) uit Parijs schreef in 1806 een boek over het meetkundig inter- preteren van C. Het complexe vlak heet ook wel het Argand diagram.

Iets eerder, op 20 juni 1805 presenteerde William Morgan (de grondlegger van het moderne actuariaat, 1750–1833) voor de Royal Society in Londen het werk van de Franse priester Adrien- Quentin Bu´ee (1748–1826) die vanwege de Franse Revolutie naar Engeland was gevlucht. Onderwerp: meetkundig inter- preteren van negatieve getallen en complexe getallen.

De Noorse landmeter Caspar Wessel (1745–1818) gaf al in 1799 dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het Deens...

Bu´ee vermeldt dat al eerder, in 1750, H. K¨uhn (wiskundeleraar uit Danzig) een meetkundige interpretatie van complexe getallen gaf.

Bu´ee is laatdunkend (“Ik denk niet dat ik hoef te praten over . . . omdat hij daar veronderstelt dat √

−1 = −√

1”), hij noemt

“Mr. Khun” (verkeerde naam), en hij verwijst naar het derde nummer van de “M´emoires de Petersbourg” (verkeerde tijd- schrift).

Toch had deze leraar het prima begrepen. Euler schreef hem in 1735 een serie brieven, bij gebrek aan een adres maar naar de Danzigse burgemeester C.L.G. Ehler gestuurd. Onderwerp:

hoe maak je, uitgaande van de natuurlijke getallen, achtereenvol- gens de negatieve, de rationale, re¨ele, en uiteindelijk complexe.

Vergelijk met Kroneckers uitspraak!

Het tijdschrift waarin K¨uhns artikel (pp. 170–223) verscheen

titelpagina van K¨uhns artikel

Plaatjes bij K¨uhns artikel

Notatie: e^αi := cos α + (sin α)i. Dit is het complexe getal op de eenheidscirkel, met argument gelijk aan α.

Merk op: e⁰ⁱ = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht is e⁰ = 1.

Een berekening waarbij bekende goniometrische identiteiten wor- den gebruikt, laat zien

(cos α + (sin α)i) · (cos β + (sin β)i) = cos(α + β) + (sin(α + β))i.

Oftewel: e^αi · e^βi = e^αi+βi.

Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = |z| en s = |w| en α = arg(z) en β = arg(w). Dan

z · w = r · e^αi · s · e^βi = rs · e^(α+β)i.

Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waar- den) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen.

Voor z = a + bi schrijven we e^z = e^a+bi := e^a · e^bi. Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven e^bi.

Voor b = 0 is dat de gewone, re¨ele e^a. Er geldt e^z+w = e^z · e^w.

Voor a = 0 en b = π staat er e^πi = cos π + (sin π)i = −1, dus e^πi + 1 = 0.

Formule gegeven door Euler.

Euler voerde e^z anders in: hij schreef e^z = lim

n→∞(1 + z n)ⁿ.

Invullen z = ix met x re¨eel, en gebruiken dat 1 ≈ cos(x/n) en x/n ≈ sin(x/n) als n heel groot, brengt Euler dan, via de “formule van de Moivre”

(cos(α) + i sin(α))ⁿ = cos(nα) + i sin(nα), tot de conclusie e^ix = cos(x) + i sin(x).

Zie scholierentijdschrift ‘Pythagoras’, april 2011 (“De mooiste formule ooit”).

Zwitserland, 1957 (Euler 250)

Wat commercieler, lovelymath.com, 2011:

Voorbeeld: los op a³ = 10 + 9√

−3.

a×a×a is: hoek arg(a) met 3 vermenigvuldigen, absolute waarde

|a| tot de derde macht nemen.

Hier: |a|³ =

q

10² + 3 · 9² = √

343, dus |a| = √ 7.

En arg(a³) = arctan(₁₀⁹ √

3) ≈ 1.0004 rad, dus arg(a) ≈ 0.3335 rad (mod2π/3).

Dan a ≈ √

7 · e^0.3335i ≈ ⁵₂ + ¹₂√

−3, en dat blijkt zelfs een exacte oplossing te zijn. De andere twee oplossingen horen bij de overige mogelijkheden voor arg(a).

Voorbeeld: de cosinusregel.

a² = |be^αi − c|² = (be^αi − c)(be^−αi − c)

= b² + c² − bc(e^αi + e^−αi)

= b² + c² − 2bc cos α.

(H.W. Lenstra, Leiden)

Zie http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/

Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een Droste effect als er een re¨eel getal r 6= ±1 is zodat de figuur onder vermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat.

Door de schaling over r bij een Droste effect te combineren met een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordt overgevoerd onder vermenigvuldigen met r · e^αi.

Voorbeeld: Escher’s Prentententoonstelling (1956), waarbij r ≈ 22, 6 en α ≈ 2, 75.

Gehelen van Gauss: Z[i], alle m + ni met m, n ∈ Z.

Met z, w ∈ Z[i] zijn ook z ± w en z · w in Z[i].

De enige z ∈ Z[i] waarvoor ook 1

z ∈ Z[i], zijn 1, −1, i, −i.

‘Priemen van Gauss’ zijn de m + ni ∈ Z[i] die niet verder te ontbinden zijn: m + ni 6= 1, −1, i, −i en als m + ni = z · w voor zekere z, w ∈ Z[i], dan zit ofwel z, ofwel w in {1, −1, i, −i}.

Voorbeeld: 1 + i, 3, 2 + i, 1 + 2i, 7, 11, 2 + 3i, 4 + i zijn priemen van Gauss.

Ter gelegenheid van het International Congress of Mathemati- cians in Amsterdam in 1954, liet de wis– en natuurkundige Balthasar van der Pol (1889–1959) door linnenfabrikant E.J.F. van Dis- sel & Zn (Eindhoven) servetten maken met priemen van Gauss erop.

commerci¨ele priemen van Gauss. . .

Bij een klassieke benadermethode voor π = 3, 14159 · · · spelen de gehelen van Gauss een rol.

Basis: tan(π/4) = 1, dus π/4 = arctan(1). Nu nog die arctan- gens nauwkeurig benaderen...

Begin met

1

1 + x² = 1 − x² + x⁴ − x⁶ + x⁸ − . . . (een meetkundige reeks).

Hiervan de primitieve:

arctan(x) = x − 1

3x³ + 1

5x⁵ − 1

7x⁷ + 1

9x⁹ − . . . Invullen x = 1 geeft

π = 4 × (1 − 1

3 + 1

5 − 1

7 + 1

9 − . . .),

een formule bedacht door de Schotse wis– en sterrenkundige James Gregory (1638–1675).

Voorbeeld: 100 termen geeft π ≈ 3, 1316 · · ·, 1000 termen geeft π ≈ 3, 1406 · · ·,

10000 termen geeft π ≈ 3, 14149 · · ·.

De gebruikte reeks convergeert erg langzaam.

Een oplossing hiervoor bedacht de Engelse sterrenkundige John Machin (1680–1751).

Er blijkt te gelden

(5 + i)⁴ = (2 + 2i)(239 + i).

Omdat vermenigvuldigen van complexe getallen o.a. betekent:

hoeken optellen, is dus

4 arctan(1

5) = π

4 + arctan( 1 239).

En dan

π = 16 arctan(1/5) − 4 arctan(1/239) = (¹⁶₅ − ₂₃₉⁴ ) − ¹₃(¹⁶

5³ − ⁴

239³) + ¹₅(¹⁶

5⁵ − ⁴

239⁵) − ¹₇(¹⁶

5⁷ − ⁴

239⁷) + . . . Iets na 1700 vond Machin hiermee ruim 100 decimalen van π, dat kan met minder dan 80 termen van de reeks.

Kwadraten van Gauss

Derde machten van Gauss