Complexe getallen



Complexe getallen

2 1

i  

i 1 0

e ^{  }



Hoofdstuk 1 2

© J. van Dort 2012

Niet-commerciële verspreiding, onder bronvermelding, toegestaan voor onderwijsdoeleinden.

Hoofdstuk 1

§1.1 Nog meer getallen………??!!

In de onderbouw heb je gezien dat er naast de verzameling  van de Natuurlijke Getallen (0, 1, 2, 3, 4, …..) ook nog andere verzamelingen van getallen bestaan.

Bij het oplossen van bijvoorbeeld de vergelijking 3x 90 kom je in de problemen als je alleen de natuurlijke getallen zou hebben. Deze vergelijking heeft namelijk geen oplossing in , want de oplossing -3 is geen natuurlijk getal.

We hebben een uitbreiding van  gemaakt door negatieve getallen in te voeren en samen met de natuurlijke getallen ontstaat zo de verzameling  van de Gehele Getallen (….., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……).

Maar een vergelijking als 3x 70 kan je ook in  niet oplossen, want de oplossing 2¹³ is geen geheel getal. Daarom zijn de gebroken getallen ingevoerd en samen met de gehele getallen ontstaat zo de verzameling  van de Rationale Getallen. Deze verzame- ling bestaat uit alle getallen van de vorm

ab, waarbij a en b getallen uit  zijn en bovendien b 0_.

Toch hadden we aan deze getallen nog niet genoeg, want de lengte van de schuine zijde in bijvoorbeeld een gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden met

lengte 1 is gelijk aan 2 en dat is géén rationaal getal! (Pythagoras had daar zelf al problemen mee; het schijnt dat een van zijn studenten die het getal 2 'ontdekte' daarom moedwillig verdronken is!) Dit probleem is opgelost door het invoeren van de 'irrationale getallen' (zoals 3_, log(5)_,



Tot nu toe heb je al veel problemen met deze reële getallen kunnen oplossen.

Maar vergelijkingen als x  ⁶ 3_, x⁴  x² 1 _, x² 6x100 _of x  ² 16 _blijken geen reële oplossingen te hebben. Om dit type vergelijking te kunnen oplossen moeten we weer nieuwe getallen bedenken.

We voeren daarom een nieuw getal in dat we i noemen en waarvoor per definitie geldt:

2 1

i  

§1.2 Rekenen

Met dit getal i rekenen we op dezelfde manier als met de 'gewone' getallen en gebruiken natuurlijk dat i  ² 1_.

Voorbeelden Bereken:

1) 5i 7i 12i (5i betekent: 5 i , net zoals 5p  5 p₎ 2) 10i80i  70i

3) 7 5 i 35i

4)   3 5i  3 5i

5) 8i4i 32i² 32   1 32 6) 6 5 i  6 5i _(!!)

7) (5 3 ) (7 i  i)   2 2i

8) 10(7 2 ) i 70 20 i

9) 10 (7 2 )i  i 70i20i²  20 70 i

Opgave 1.1

Bereken (zonder GR):

a) (2 3 ) (4 7 ) i   i b) (8 2 ) (12 2 ) i   i c) (4 7 ) (4 i  i) d) 5(3 2 ) i

e) 4 (6 2 )i  i f) i i( 1) Definitie:

Getallen van de vorm b⋅i _waarbij b een reëel getal is noemen we imaginaire getallen; Getallen van de vorm a + b⋅i waarbij a en b reële getallen zijn noemen we complexe getallen. De verzameling van alle complexe getallen noemen we .

Het vermenigvuldigen en delen van complexe getallen is iets bewerkelijker en we maken daar o.a. gebruik van het merkwaardige product (a b a b )(  )  a² b² om de noemer van breuk te herleiden tot een reëel getal. Zie vb 4) en 5).

Voorbeelden

Bereken exact:

1) (3 4 )(5 7 ) i  i  15 21 i20i28i²  15 1 i28  1 43i 2) (5 2 )(6 2 ) i  i  30 10 i 12i4i²  30 22 i  4 1  26 22 i 3) (11 5 )(11 5 ) 121 55 i  i   i55i25i²  121 25  1  146 4)

2 2

4 8 4 8 1 (4 8 ) (1 ) 4 4 8 8 12 4 12 4

1 1 1 (1 ) (1 ) 1 1 1 2 6 2

i i i i i i i i i i

i i i i i i i

                  

       

5)

2

5 2 29 29 2

5 2 (5 2 ) 5 2 5 2 2 5

5 2 5 2 5 2 (5 2 ) (5 2 ) 25 4 25 4 29

i i i i i i i i i i

i i i i i i

      

        

       

Opgave 2.1 Bereken (schrijf zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk) a) (4 3 ) i ² 

b) (2 5 )(5 2 ) i  i  c) (9 4 )(9 4 ) i  i  d) (7 2 )(7 2 ) i  i 

Opgave 2.2 Schrijf in de vorm a bi _:

a) 2 4 3i 

 (Hint: vermenigvuldig teller en noemer met 4-3i)

b)

3 2 4

i i

 

 c)

5 2 3

i i

 

Hoofdstuk 1 4

We schrijven de term met i meestal achteraan!

d) 2 3 4

i i 

 e)

1 1

i i

 



Met het definiëren van het getal i en daaraan gekoppeld de complexe getallen, blijkt dat we nu de in § 1 genoemde vergelijkingen óók kunnen oplossen. De meeste hogeregraads vergelijkingen vallen buiten de stof, maar de tweedegraads vergelijkingen kunnen we allemaal de baas.

Voorbeelden

Los de volgende vergelijkingen exact op.

a) x  ² 16_{, ofwel} x²  4²i² (4 )i ² _levert x  4 i of x   4 i_; dus x  4i of x  4i

b) 8x²  56 x²   7 x  7i of x   7i_; dus x  7i of x   7i

c) (x 5)²   geeft9

5 3 5 3

x  i of x    i _dus

5 3 5 3

x    i of x    i d) (x 2)²   geeft7

2 7 2 7

x  i of x   i _dus

2 7 2 7

   

x i of x i

e) x² 6x  ¹³ Om deze vergelijking op te lossen gaan we er links, dus ook rechts, 9 bij optellen. Daardoor ontstaat links het kwadraat (x 3)² en kunnen we verder zoals in het vorige voorbeeld. Dus dat geeft:

2 6 9 4

x  x    en dit kan je schrijven als (x 3)2   dus4

3 2 3 2

x  i of x    i _dus

3 2 3 2

x   i of x   i

f) x² 10x28 0 We trekken er eerst links en rechts 28 af:

2 10 28

x  x   Dan tellen we er links en rechts 25  ¹⁰2 ²

bij op:

2 10 25 3

x  x   Nu hebben we links (x 5)² _gemaakt:

(x 5)2  3 _Dus

5 3 5 3

x  i of x   i Het antwoord is dus:

5 3 5 3

x    i of x    i g) x² 20x 98  13

2 20 111

x  x  

2 20 100 11

x  x   (100 is het kwadraat van de helft van 20) (x 10)2  11

10 11 10 11

x  i of x    i

10 11 10 11

x   i of x   i

Deze techniek heet:

een kwadraat afsplitsen

Opmerking: Het is gebruikelijk om complexe getallen aan te geven met de letter z, dus in de volgende opgaven gebruiken we dat ook: z  a bi, met a en b reële getallen.

Opgave 2.3 Los de volgende vergelijkingen (exact) op:

a) z² 6z 7 0 b) z² 2z2 0 c) z² 8z17 8 d) z² 5z  7¹⁴ e) z² 2 3z  19

f) 4z² 12z  13 _Tip: 4z² 12z... (2 z....)²

Opgave 2.4 We nemen z¹  a bi _en z₂  xyi_. Laat zien dat

a) z¹z² (ax by ) ( aybx i)

b)

1

2 2 2 2

2

z ax by bx ay

z x y x y i

 

 

 

§1.3 Tekenen: het complexe vlak

Zoals we voor de reële getallen gebruik kunnen maken van de getallenlijn (elk reëel getal correspondeert met één punt van de getallenlijn en omgekeerd), zo kunnen we de

complexe getallen weergeven in een plat vlak met rechthoekig assenstelsel. Immers, een complex getal z  a bi wordt helemaal vastgelegd door de getallen a en b. We kunnen het complexe getal a bi dus één op één koppelen aan het getallenpaar (a,b) en dat getallenpaar stelt weer precies één punt in een rooster voor.

De horizontale as correspondeert met de reële getallen en wordt dan ook wel de reële as genoemd en de verticale as correspondeert met de imaginaire getallen en wordt dan ook wel de imaginaire as genoemd van het complexe vlak.

Hieronder staan de getallen 2+3i en -5-2i aangegeven.

Hoofdstuk 1 6

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

-4i

Hint: splits een kwadraat af:

2 6

z  z is het begin van het kwadraat (z 3)²



Definitie: In een complex getal z  a bi zijn a en b reële getallen. We noemen a het reële deel (notatie: Re z) en b het imaginaire deel (notatie Im z) van het getal z.

Het getal z  a bi noemen we de (complex) geconjugeerde van z. Notatie:

z_ _.

N.B. Getallen z en

z_ zijn dus elkaars geconjugeerde!

Opgave 3.1

Teken in het complexe vlak de volgende getallen:

2 – 4i , -2i , 5, 2  i 3, 1+i en -54i . Opgave 3.2

Teken in het complexe vlak de getallen:

a) 4i, 4 2 , 4 3 , 4 i  i 4 , 4, 4 1i  ¹²i en 4 2 ¹³i b) waarvoor geldt: Re z = 4.

c) waarvoor geldt: Im z = -3.

d) waarvoor geldt: Re z = 2.

Opgave 3.3

Teken in het complexe vlak de volgende verzamelingen:

a) alle getallen ^z waarvoor geldt dat Re z = Im z.

b) alle getallen ^z waarvoor geldt dat Im z = 3  Re z.

c) alle getallen waarvoor geldt dat Re z = Im z – 3.

d) alle getallen waarvoor geldt dat (Re z)² + (Im z)² = 25.

Opgave 3.4

a) Teken in het complexe vlak de volgende getallen en hun geconjugeerde:

5 2 , i  1 3 ,i  3 4 ,i 5 ,i 4

b) Omschrijf de ligging in het complexe vlak van twee getallen die elkaars geconjugeerde zijn.

§1.4 Rekenen en tekenen: complexe getallen als vectoren

Voor de notatie van een complex getal wordt ook regelmatig gebruik gemaakt van de (kleine) letters uit het Griekse alfabet.

Een vector in een vlak kun je je voorstellen als een pijl die van een beginpunt naar een eindpunt loopt. Evenwijdige pijlen met dezelfde richting en

dezelfde grootte stellen dezelfde vector voor. In het complexe vlak kun je bij elk complex getal  (spreek uit: alfa) een vector maken door de pijl te tekenen die in de Oorsprong begint en naar het getal (=punt)  loopt. Die vector kan dan ook worden voorgesteld door een gelijkgerichte en even lange pijl die vanuit een willekeurig punt β (spreek uit: bèta) vertrekt.

Het eindpunt van deze vector vormt samen met de punten 0,

 en β een parallellogram (de bekende

parallellogramconstructie van  + β). Zie de figuur hiernaast.

De vector  + β is dus de vector die vanuit O het punt  _{+ β} aanwijst.

Het optellen van twee complexe getallen komt dus overeen met het optellen van twee vectoren.









  

Om _van af te trekken moeten we bedenken dat ( )

      . De vector  vinden we door  180 te draaien. We moeten dus  _en  bij elkaar optellen. Dit kan weer met de parallellogramconstructie of door de vector

 met zijn 'staart' aan de 'kop' van  te leggen, zoals hiernaast.   is de vector (pijl) die van de Oorsprong naar het 'nieuwe' hoekpunt wijst. In de figuur zie je dat ook

geldt:   is de vector die van  naar β loopt! Dus    is gelijk aan de afstand van

 _{tot !}

Definitie:

De modulus (of absolute waarde) van een complex getal z=a+bi (notatie z ) is:

2 2

   

z a bi a b

. Dit getal is dus ook op te vatten als de lengte van vector z, en ook als de afstand van het punt z tot de Oorsprong.

Alle punten waarvoor geldt z 3

vormen dus samen de cirkel met middelpunt O en straal 3.

Voor alle punten met z(4 2 ) i 3

geldt dat de lengte van de vector die van het punt 4+2i naar het punt z wijst lengte 3 heeft, met andere woorden: alle punten z liggen op afstand 3 van het punt 4+2i, dus vormen de cirkel met middelpunt 4+2i en straal 3.

In het algemeen geldt: alle punten z met z r vormen de cirkel met middelpunt  en straal r.

Opgave 4.1

Teken in het complexe vlak z¹, z z², ¹  z en z^{2 1}  z² met behulp van de constructie als

a) z¹  3 i _en z₂ 1 3i b) z¹  3 3i _en z₂ 1 2i c) z¹  4 2i _en z₂  2 3i Opgave 4.2

Teken in het complexe vlak alle punten waarvoor geldt:

a) z 2 5 b) z  4 3i 2

(Waarom ligt het middelpunt in het 3^e kwadrant?!) c) z (1i) 4

d) z (2 2 ) i 3 én z  4 Opgave 4.3

Toon aan dat

z z  z2_.

Opgave 4.4

Neem z¹  a bi _en z₂  c dien toon aan dat z¹z²  z¹  z²

, door zowel z¹z² als z¹  z² uit te drukken in a, b, c en d.

Hoofdstuk 1 8

O a

a+bi

b



re-as im-as

We kunnen bij elk complex getal z één vector tekenen die vanuit de Oorsprong dat getal z aanwijst. De draaiingshoek  (spreek uit: fi) van die vector ten opzichte van de positieve reële as heet een argument van z. Notatie:   arg( )z _.

Bij bijvoorbeeld het complexe getal 1+i hoort het argument 45, maar je kunt net zo goed 315 _of 765 nemen. Elk complex getal heeft oneindig veel argumenten die allemaal veelvouden van 360verschillen. De waarde van het argument die tussen

180 _en 180 ligt noemen we de hoofdwaarde van het argument van z. Deze wordt genoteerd als Arg( )z (met een hoofdletter). Het getal 0 heeft geen argument.

De waarde  van Arg(z), met z=a+bi is te vinden met gebruik van de tangens van _:

Voor elk argument geldt: tan( )  b

a. Zie de volgende figuur.

In het vervolg drukken we de grootte van het argument uit in radialen, dus geldt voor alle

z:   Arg z( )  _.

Met de grafische rekenmachine (TI84) kan je berekeningen maken met complexe getallen door te kiezen voor MODE en dan optie a+bi. Het getal i is in te voeren met SHIFT-knop + punt.

Voorbeeld: (de GR is ingesteld op radialen!)

a) Bepaal het hoofdargument van z=5-3i m.b.v. de GR.

Kies MATH en dan submenu CPX en dan optie 4:angle( . Vul dan de waarde van z in. Na een druk op ENTER vind je: -0.5404…. (radialen).

b) Bepaal de modulus van het getal z=-8-6i.

Kies MATH en dan submenu CPX en dan optie 5:abs( . Vul dan de waarde van z in.

Na een druk op ENTER vind je: 10. Maar dat had je natuurlijk al uit je hoofd gedaan want 8² 6² 100_.

Opgave 4.5

Bereken exact de modulus en de hoofdwaarde van het argument van a) z  3 3i

b) z  13i c) z  3 i

d) z  cos(¹⁴) i sin(¹⁴) e) z  4(cos(³⁴) i sin(³⁴)) f) z 11

Opgave 4.6

Bereken met behulp van de GR het hoofdargument van z¹, z² _en z z₁ _2. Maak een tekening/schets!!

O a=Re(z)

a+bi

b=Im(z)



re-as im-as

a) z¹ 1 2i en z²  4 2 i b) z¹ 3 i en z²  1 5i c) z¹ 2 3i en z²  3 5i

d) Bereken Arg z( )¹  Arg z( )² uit de opgaven a) , b) en c). Wat valt je op?

Het blijkt dat geldt: Arg z z( ¹ ²) Arg z( )¹ Arg z( )² _. In opgave 4.4 heb je al bewezen: z¹z²  z¹  z²

, dus voor het vermenigvuldigen van complexe getallen geldt: de argumenten worden opgeteld en de moduli vermenigvuldigd. Voor het delen van complexe getallen geldt: de argumenten worden afgetrokken en de moduli gedeeld: Arg z( ¹: z²)  Arg z( )¹  Arg z( )² _en

1: 2 1 : 2

z z  z z

.

De eigenschappen voor de argumenten zijn te bewijzen door gebruik te maken van een andere notatie voor complexe getallen, nl. poolcoördinaten.

§1.5 Poolcoördinaten

Een complex getal z  a biis voor te stellen als een punt in het complexe vlak door middel van de coördinaten ( , )a b in een (rechthoekig) assenstelsel. De plaats van zo'n punt kunnen we ook vastleggen door de afstand van dat punt tot de Oorsprong én de draaiingshoek ten opzichte van de positieve reële as. Die afstand noemen we r en die hoek geven we aan met  het argument. De getallen r en  heten de poolcoördinaten van het getal z.

Met enige eenvoudige goniometrie is te zien dat aRe( )z  z cos( )

en Im( ) sin( )

  

b z z 

. Dus het getal z  a bi is ook te schrijven als

cos( ) sin( )

    

z z  i z  _.

Als we r voor z schrijven, dan kunnen we z ook noteren als

cos( ) sin( )

    

z r  i r  _{, ofwel:}

 (cos( )  sin( ))

z r i

Opgave 5.1

Schrijf de volgende getallen in de vorm z  r(cos( )  i sin( )) . Rond het argument zo nodig(!) af op 2 decimalen nauwkeurig.

a) 7 7i b) (3 2 ) i ² c)  4i 3 d) 1  23i

e)

7 5 2

i i



Opgave 5.2

Hoofdstuk 1 10

Maak een tekening/schets!!

Schrijf de volgende getallen zonder poolcoördinaten. Rond zo nodig af op 2 decimalen nauwkeurig.

a) 4(cos(60 ) isin(60 )) b) 10(cos(30 ) isin(30 )) c) (cos(120 ) isin(120 )) d) 7 cos(⁵⁶) i 7 sin(⁵⁶) e) (cos(¹²)isin(¹²)) Opgave 5.3

Teken in het complexe vlak de volgende getallen z  r(cos( )  i sin( )) _met a) r  4 én 0 90

b) r  4 én 9 0  135 c) 1 r 4    1¹² d) r 2   1³⁴

Uit de goniometrie ken je de formules: sin( ) sin cos cos sin _en cos( )  cos cos sin sin_.

Met behulp van poolcoördinaten en deze formules kunnen we nu bewijzen wat we na opgave 4.6 al aangegeven hebben over het vermenigvuldigen van complexe getallen.

Als z¹  r(cos isin ) _en z₂  s(cos isin ) dan geldt:

1 2

2

(cos sin ) (cos sin )

(cos cos cos sin sin cos sin sin ) (cos cos sin sin (cos sin sin cos )) (cos( ) sin( )).

z z r i s i

r s i i i

r s i

r s i

   

       

       

   

     

        

        

   

Je ziet dat z¹ z²   r s z¹  z²

en arg(z z¹ ²)    arg( ) arg( )z¹  z² _. Bij vermenigvuldigen van complexe getallen geldt

dus: de argumenten worden opgeteld en de moduli vermenigvuldigd.

Uit deze formules volgt:

... ... ⁿ

zn  z z z   z  z z z    z  z en arg( ) arg( ... )

arg( ) arg( ) arg( ) ... arg( ) arg( )

zn z z z z

z z z z n z

     

      

Voor z rcos( )  i rsin( ) geldt dus:

n n

z  r

en arg( ) zⁿ n_, dus zⁿ rⁿ(cos(n) isin(n))

Nemen we r 1 dan krijgen we de formule van De Moivre:

  

   

(cos isin )ⁿ cosn isinn . Deze formule geldt voor alle waarden van n.

Opgave 5.4

Schrijf de volgende getallen in de vorm r(cos( ) isin( )) _{, met}  in radialen (zo nodig afgerond op 1 decimaal nauwkeurig).

a) (cos(¹⁶) isin(¹⁶))⁵

De formules voor de deling van twee complexe getallen kan je op soortgelijke wijze afleiden.



 

arg( ) arg( )

n n n

z z

z n z

b) (1i)⁴ c) (3 4 ) i ⁶ d)

12

( 4 3 )  i

e) ( 2 2 )  i ⁷

f) (cos(1¹⁶)isin(1¹⁶))^4 g)

1 1 11

2 2

( 3 i)

Opgave 5.5

a) Laat zien dat voor het getal z met modulus 1 en hoofdargument 120 _geldt:

3 1

z  _.

b) Er zijn nóg twee getallen met z 1waarvoor geldt z ³ 1_. Welke argumenten hebben die?

c) Er zijn 5 getallen met modulus 1 waarvoor geldt z ⁵ 1_. Welke argumenten hebben die?

In de vorige opgave heb je gezien dat er 3 getallen zijn met de eigenschap dat z ³ 1_, namelijk cos120 isin120_, cos 240 isin240 _en cos 360 isin360 _{ofwel 1.}

Deze drie oplossingen van de vergelijking z ³ 1 schrijven we alledrie als ³1. Er zijn dus drie verschillende complexe uitkomsten voor ³1. We zeggen dat de complexe wortel meerwaardig is. Zo heeft ⁵1 vijf waarden en ¹¹1 elf waarden!

De vergelijking z ⁿ 1 heeft dus precies n oplossingen in  (de verzameling van de complexe getallen). Het zijn de n waarden voor ⁿ1, de n-de eenheidswortels.

De vergelijking zⁿ c_{, met} c  0, heeft precies n oplossingen in . Opgave 5.6

Waarom liggen alle eenheidswortels op de eenheidscirkel?

Voorbeeld

Los exact op in : z ³ 11 en schrijf de oplossingen in de vorm a+bi.

Omdat deze vergelijking 3 oplossingen heeft begin je met 11 te schrijven in

poolcoördinaten met drie argumenten die telkens ^360 verschillen. Dus (bijvoorbeeld)

3 11(cos 0 sin0 )

z   i  _of z³ 11(cos360 isin360 ) _of

3 11(cos720 sin720 )

z   i  _.

We gebruiken de formule van De Moivre, die zegt:

als z cos( )  i sin( ) _{dan is} z³ cos(3 )  i sin(3 ) en omgekeerd.

Dus z  ³11(cos 0 isin0 ) _of z  ³11(cos120 isin120 ) _of

311(cos 240 sin240 )

z   i  _.

Dus z  ³11(1 i 0) _of z  ³11(  ¹₂ i ¹₂ 3) _of z  ³11(   ¹₂ i ¹₂ 3)_.

Dus de oplossingen zijn: z  ³11 _en z  ¹2³11 i ¹2 33 _en z  ¹₂³11 i ¹₂ 33_. Opgave 5.7

Hoofdstuk 1 12

Los exact op in : a) z² 9i b) z  ³ 8 c) z ⁴ 81 d) z⁴  i e) z²   1 i

Voorbeeld

Los exact op in : (z 2 )i ²  2i_.

Schrijf (z2 )i ² 2(cos270 isin270 ) _of (z 2 )i ² 2(cos( 90 )  isin( 90 ))  _. Dan is z 2i  2(cos135 isin135 ) _of z2i  2(cos( 45 )  isin( 45 ))  _. Dus z 2i  2(¹² 2  i ¹² 2) _of z2i  2(¹₂ 2  i ¹₂ 2)_.

Dus z 2i   1 i _of z2i  1 i_. Dus z   1 3i _of z  1 i_.

Opgave 5.8

Los op in : rond zo nodig af op 2 decimalen nauwkeurig en schrijf de antwoorden in de vorm a+bi.

a) z² 4 3 i b) (z i )³ 3i c) (z 4 i)²  3 d) z² 5i  4i

e) (3z 2 )i ²  5 2 5 2 i

§ 1.6 De formule van Euler

Leonhard Euler (1707-1783) is een van de grootste wiskundigen tot nu toe. Hij heeft maar liefst 886 boeken geschreven over allerlei wiskundige onderwerpen! Euler was een van de eersten die het getal e uitvoerig bestudeerd heeft. Één van zijn ontdekkingen is de

formule e^i cos( )  i sin( ) . Dit wordt de formule van Euler genoemd.

Hij heeft deze formule bewezen, maar dat voert voor ons nu te ver.

Er zijn dus drie manieren om een complex getal te noteren:

1. z   x i y, met x en y reële getallen

2. z r(cos( )  i sin( )) _{, met} ^{r  z} _en  arg( )z

3. z r e  ^i_{, met} r  z

en  arg( )z

Opgave 6.1

Bewijs de formule van De Moivre met de formule van Euler.

Opgave 6.2

Schrijf in de vorm a+bi.

a)

16 i

e ^

b)

56

3e^{ i}

c)

14

5 2^e1 ^i

d)

34 123456

2 2^e ^i

e) e^i

In de laatste opgave heb je gevonden dat geldt:

e

In deze formule komen de drie basisbewerkingen optellen, vermenigvuldigen en

machtsverheffen voor, evenals de twee neutrale getallen 0 en 1 voor de optelling, resp.

de vermenigvuldiging én de drie belangrijkste bijzondere getallen e,  _{en i.}

Euler vond deze formule zo mooi dat hij hem op zijn grafsteen heeft laten zetten…………..

Hoofdstuk 1 14