T I J D S C H R I F T VAN HET N E D E R L A N D S C H R A D I O G E N O O T S C H A P

T I J D S C H R I F T VAN HET N E D E R L A N D S C H R A D I O G E N O O T S C H A P

D E E L X M E I 1943 N o. 4

BEPALING VAN DE ELECTRISCHE EIGENSCHAPPEN VAN KWARTSKRISTALLEN

door

J. M . D O U W E S D E K K E R en G. J. S I E Z E N Alededeeiing uit de Laboratoria van bel SlaalöbedrijJ

der P .T .T . te \i-Gravenhage.

Samenvatting.

E en m eetschakeling voor k w a rtsk rista lle n w o rd t beschreven, w a a rin h et te onderzoeken k rista l zelf de m eetfrequenties s ta ­ biliseert en w aarm ed e de dem pingsfactor n a a r keuze volgens de b an d b reed te- of de uitslingerm ethode kan w o rd en bepaald.

Inleiding.

O p andere p laats ')* is reeds het een en an d er medegedeeld

F ig u u r 1.

over de fabricage van k w a rtsk rista lle n door het R adiolabora- torium d er P.T .T . In het o n d erstaan d e zal n a d e r w o rd en inge­

gaan op de wijze w a a ro p de electrische eigenschappen dezer kristallen w o rd en bepaald.

V o o r het frequentiegebied rondom de eerste resonantie kan, zooals bekend 2), 3), 4), het vervangingsschem a volgens fig. 1

*) D e z e cijfers verw ijzen n a a r de literatu u r opgave op pag. 146.

130

w orden opgesteld. H e t electrische gedrag van h et k ristal w o rd t dus bep aald door vier grootheden: R k ' A t * en Cj. H ierv an kan C — de natuurlijke p arallelcap aciteit van k rista l met h o u ­ der, bedrading, etc. — zonder moeilijkheden direct w o rd en ge­

meten in een geschikte capaciteitsm eetbrug, indien de meetfre- quentie m a a r zoo ver buiten de resonantie w o rd t gekozen d a t de serietak een v e rw a a rlo o s b a a r kleine ad m ittan tie heeft. D e w a a rd e van C is hoofdzakelijk van belang voor de ligging van de p a ra lle lre so n a n tie ; in v erb an d met het feit, d a t de u itw e n ­ dige parallelcapaciteiten die van het k ristal zelf dikwijls geheel overvleugelen, vo ert men de meting van C bij voorkeur uit aan het kristal, gem onteerd in de schakeling w aarin het to eg ep ast zal w orden.

D e bepaling van de grootheden R k - en Ck , w aarm ed e wij ons in het o n d erstaan d e uitsluitend zullen bezighouden, kan ge­

schieden door het uitvoeren van drie onafhankelijke electrische metingen, en w el bij voorkeur in de b u u rt van de serieresonan- tie, om dat hier de adm ittantie van de p a ralle lta k practisch v e r­

w aarlo o sd kan w orden. D e hiervoor gebruikelijke m ethoden kunnen als volgt w o rd en o n d ersch eid en :

a. V erstem m ingsm ethode 5) G) 7).

G em eten w orden de serie-resonantiefrequentie v , de bij deze frequentie optredende im pedantie Af en de verschuiving die vr o n d e rg aa t w an n eer m et het k ristal een bekende zelfinductie of capaciteit in serie w o rd t geschakeld.

b. B an d breedtem ethode 8) 8) 9).

Hierbij w orden eveneens v en gemeten, doch d a a rn a w o rd t de dem pingsfactor q — — afgeleid uit het verloop van de reso-R k

nantiekrom m e rondom de serieresonantie.

c. U itslingerm ethode 9) 10) 11).

iMen m eet hier, behalve vr , de grootte van de uitslingertijd- constante bij minstens tw ee bekende w a a rd e n van de u itw e n ­ dige demping.

In het o n d erstaan d e zullen alleen de b an d b reed tem eth o d e en de uitslingerm ethode besproken w orden. D eze m ethoden vullen e lk a a r op aangenam e wijze aan. D e b an d b reed tem eth o d e w o rd t n.h bij voorkeur to eg ep ast voor kristallen m et norm ale of hooge dem pingsfactoren, terw ijl de uitslingerm ethode zich in het bij­

zonder leent voor kristallen met zeer geringe verliezen.

131

a. P r i n c i p e .

I . Bandbreedlernelhodc^.

H e t k ristal w o rd t in serie m et een bekenden w e e rs ta n d R _V aangesloten op den g en erato r G, die een constante klem span- ning V j m et variabele frequentie v lev ert (zie fig. 2). A llereerst w o rd t nu de frequentie vr gemeten w aarbij serieresonantie o p ­ tre e d t; het maximum van V y dient hierbij als indicatie. Bij serieresonantie is de im pedantie van het k ristal reëel, en gelijk aan R ,. D o o r de verhouding

bepalen uit:

= n te meten k an men

V ervolgens w o rd t bij constante klem spanning V de gen era­

to r verstem d to t de frequenties v en v links resp. rechts van

?— 1

11 Z7F7/71

k 1

6 O, ₁ TI

1 PO <

11 5 _r v ₁

2

1

F ig u u r 2.

vr , w aarbij de verhouding -y - gedaald is to t een b ep aald breuk-V deel r van de maximale w a a rd e n (zie fig. 3)./

N u kan, zooals bekend, voor kleine verstem m ingen rondom het resonantiepunt, de resonantiekrom m e w o rd en voorgesteld d o o r :

V₂

v

ⁿ

I i + i

6

TV ^L

,Rh + R ,

_{k v '} (v - vry

H ie rv an gebruikm akend vindt men, na eenig om werken, voor het v erband tusschen den dem pingsfactor q — — en de volgens

Rk

het bovenstaande gedefinieerde b a n d b reed te v

2

— vy :

132

q =

2

n ( / — n)

D e dem pingsfactor kan dus uit de gemeten b a n d b ree d te w o r ­ den berekend. W a n n e e r v^ . > R k en q bekend zijn, kunnen L k en

Ck eenvoudig gevonden w o rd en uit:

en r -_k __________{2 2 T ‘}

4 n k

Bij deze beschouw ingen is afgezien van den invloed d er paral- lelcapaciteit C . D it is alleen to e la a tb a a r w a n n e er de admit- tantie van de serietak steeds groot is t.o.v. co C . M e t het oog

F ig u u r 3.

hierop is het gew enscht de frequenties v en v, niet te ver van vy af te kiezen, hetgeen im pliceert d a t de spanningen V / en V o zeer nauw keurig gemeten m oeten w orden.

b. P r a c t i s c h e u i t v o e r i n g .

V o o r het meten van de frequentie v , doch vooral voor de bepaling van het frequentieverschil v

2

— v , d a t in den regel niet m eer d an enkele H z b e d raa g t, is een zeer groote n a u w ­ keurigheid vereischt. D eze kon in ons geval gemakkelijk w o r ­ den b e reik t m et de frequentiem eetinrichting van h et Radio- lab o rato riu m d er P.T .T . w elke is aangesloten op de prim aire

133

freq u en tiestan d aard en ald aar. D e kleine frequentieverschillen w o rd en daarbij op multiples van de grondfrequenties gemeten m.b.v. een direct geijkten G en eral R adio lnterpolatie-toongene- ra to r.

Bij de meting van K fungeert de in decaden van /,

10

, io o en ^{i o o o} Q regelbare p recisiew eerstan d R als norm aal.

H e t is van voordeel gebleken de spanningen Vf en V

2

niet afzonderlijk te meten, doch direct de verhouding V te bepalen met behulp van een geijkten ohmschen spanningsdeeler (zie fig. d, vS' in stan d b> c of d). Bij de bepaling van R k , w an n eer de k ris ta lta k een reëele im pedantie heeft, zou men hierbij ge­

bruik kunnen m aken van een w isselstroom -nulindicator in den brugtak. D eze m ethode la a t ons echter in den steek bij ver- stemmingen to t v resp. vo, w a a r een faseverschuiving tusschen V en V > o p treedt. D a a ro m is een kunstgreep toegepast, en

M

w o rd en de spanningen aan de brugpunten eerst na afzonderlijk door de dioden D en D te zijn gelijkgericht m.b.v. een gevoe- ligen gelijkstroom -nulindicator M m et e lk a ar vergeleken. D e ge­

lijkheid d er m eetdioden kan w o rd e n gecontroleerd m et den scha~

k e la a r S in stand a, w aarbij M nul moet aanwijzen. Eventueele kleine verschillen w o rd en m et R { gecompenseerd.

D e g e n e ra to r G, welke de m eetfrequenties opw ekt, moet, zooals duidelijk is, een buitengew oon groote frequentiestabiliteit hebben.

E en voldoende constantheid zou alleen m et k w a rts s tu rin g te bereiken zijn. H e t ligt nu voor de hand om het te m eten k ris­

tal zelf te gebruiken voor de stabilisatie van de m eetfrequen­

ties. U it deze gedachte is de schakeling volgens fig. 5 ontstaan.

H ierin g enereert de buis B bij w eglating van het k rista l in een frequentie die w o rd t b ep aald door den L C -kring in de p laat- keten. D e terugkoppeling geschiedt d.m.v. den tra n sfo rm a to r T

134

n a a r h e t sc h e rm ro o ste r; een en a n d e r is zoo gedim ensionneerd d a t de am plitude, ook bij sterke variatie d e r belasting, nage­

noeg co n stan t is over het geheele, door variatie van C b e s tre ­ ken frequentiegebied.

D e spanning V jt w aarm ed e de k rista lk e ten w o r d t aangestooten, w o rd t afgenomen van een e x tra w ikkeling op T en is zoo klein gekozen d a t de kristallen niet o v erb elast kunnen w orden. D it is van belang, d a a r bij te groote am plituden breuk van het k rista l kan optreden.

D e a an R o n tstaan d e spanning V

2

w o rd t teruggevoerd n a a r het stu u rro o ste r van B. B ren g t men nu de afstemming van den L C -kring in de b u u rt van de serie-resonantiefrequentie van het

+ +

k rista l dan neem t de spanning op R toe en plotseling w o r d t de g e n erato r m eegetrokken in een frequentie die door het k ris­

ta l w o rd t bepaald. D it m eetrekken w o r d t nog b ev o rd erd door het o p tred en van roosterstroom , w a a rd o o r h et oorspronkelijke genereeren via h e t scherm rooster w o rd t verzw akt.

Z o o d ra de g en erato r eenm aal door het k rista l w o rd t bestuurd, kunnen door betrekkelijk groote variaties van C nog slechts kleine verstem m ingen w o rd en tew eeggebracht, d a a r de demping van den ZX-kring zooveel gro o ter is d an die van de kristalketen.

D it heeft het practische voordeel d a t geen fijnregeling op C noodig i s ; de verstem m ingen to t de frequenties v/ en v links resp. rechts van het reso n an tiep u n t kunnen nauw keurig genoeg

135

w o rd en ingesteld m et denzelfden condensator die, bij vrij oscil- leeren, een norm aal frequentiebereik van bijv. / op J .J omvat.

O m te vermijden d a t via de capaciteit tusschen stuur- en scherm rooster, dus buiten het k rista l om, een spanning aan R v o n ts ta a t is een neutrody n e-co n d en sato r C tusschen anode en stu u rro o ste r aangebracht.

V a n den potentiom eter R ef doet de aftakking b dienst bij de meting van R Jt, terw ijl n a a r keuze c of d k an w orden gebruikt voor de bepaling van q.

D e aftakking b is zoo gekozen, d a t — — = R bf

71

= 0.2 als compro-

^ ff

mis tusschen een zoo hoog mogelijke spanning op b f eenerzijds en een zoo klein mogelijke w a a rd e voor R anderzijds, h et la a tste in v erb an d m et de belasting door de dioden, den roosterstroom van B en o a rasitaire capaciteiten.

V o o r de aftakking c is —— = r = R cf

0

.

894

. gekozen. D it vereen-

voudigt de uitdrukking voor q to t:

q =

10

(v

2

- vf )

T e r controle van de ^-meting m et ^ in stand c is, speciaal voor kristallen m et kleine dem pingsfactoren, nog een aftakking d aan g eb rach t, co rrespondeerend met tw eem aal zoo groote ver- stemmingen. Zij is zoo gekozen d a t —- = O.JR df

05

zoodat hierbij

<1=5 (v2- r,)WOrdt.

D e meting verloopt nu als volgt:

1. D e gelijkheid d er dioden w o rd t gecontroleerd met wS in stand a\

2. M e t vS is stan d b en R ?i op een willekeurige w a a rd e w o rd t door variatie van C serieresonantie ingesteld; maximale uit­

slag van M dient als indicatie. D e frequentie vr w o rd t ge­

m eten door de spanning aan het punt e, via een (niet ge- teekende) scheidingsbuis, te r vermijding van beïnvloeding van buiten af, aan de frequentie-m eetinrichting toe te voeren;

5. H ierna w o rd t, m et 5' in dezelfden stand, R v ingesteld op een zoodanige w a a rd e d a t M nul aanw ijst. D aarbij w o rd t, zoo noodig, de topinstelling w e e r even gecorrigeerd. D a a r

n

—

0.2

vindt men dan voor den k r is ta lw e e r s ta n d: R u

= 4

4. V ervolgens w o rd t, m et ^ in stan d c, door variatie van C frequentie v

2

vr ingesteld en gemeten, w aarbij M o p ­ een

136

nieuw nul aanw ijst. O p dezelfde wijze w o rd t de frequentie v r < vr bepaald. U it h et frequentieverschil vo — v volgt dan de grootte van q (zie boven) ;

5. E ventueel w o rd t de meting sub. 4 h erh aald m et in stan d d.

c. N a u w k e u r i g h e i d .

Bij een schatting van de nauw keurigheid moet men in de b e­

schouwing opnemen :

1. D e fout, gem aakt bij toepassing van de benaderingsform ule voor q ;

2. D e fout d' V

2

in V o g em aak t bij de nulinstelling volgens I> b, 3 ;

3. D e fout d” V

2

in V o gem aakt bij de nulinstelling(en) vol­

gens I, b,

4

;

4. D e fout d (v

2

— vf ) bij de frequentieverschilm eting.

/ fv

2

- a an — ---

8 \ V

D it b e d rag is voor norm ale kristallen van de g ro o tteo rd e io ^, dus geheel te verw aarloozen.

U it de formules :

D e onder 1 genoemde fout in q is gelijk

R , = n R

n ^7' en q —

2

n ( i

kan door differentiatie w o rd en afgeleid, d a t de to tale fouten in R k resp. q als volgt van de onder 2, 3 en 4 genoemde p a r- tieele fouten afhan g en :

Ó R , _K I ö' V _{2 s} Ö ' V ₂

---- = --- . --- = —

0

.

2

$ ---

R k n i

1

- n) V, V,

t>q

q

ö' v , d" v d (v - v )

/

2 2

'

2 1

'

= —

20

.

2

S---h

2

7 ---b

10

v , v , q

voor n —

0.2

en r — In ons geval w as

o.

8

qq.

V

7

= io V terw ijl bij gebruik van een kleinen

137

spiegelgalvanom eter met gevoeligheid van

2

,q

. 1 0

A de fout in V bij de nulinstelling hoogstens

1 .6

m V bedroeg.

H ieru it volgt, d a t ^{R v} to t op l°/oo nauw keurig k an w o rd en bepaald, terw ijl de fout in q tengevolge van onjuiste nulinstel- lingen beneden 1% blijft. V o o rts kon het frequentieverschil v

2

— vf gemeten w o rd en m et een nauw keurigheid van o .o i H z y zoodat de fout in q tengevolge van de frequentiem eting op

— °/o gesteld moet w orden, d.i. 1 /2°/0 voor q —

20

(norm aal) of 2 % voor q =

5

(laag). D e totale fout in q v a riee rt dienover­

eenkomstig van ca. 1,5 to t 3% . V o o r kristallen m et zeer lage q m oet V kleiner dan IO V gekozen w orden, w a a rd o o r de nauw keurigheid d er meting nog v erd er ach teru itg aat. D e uit- slingerm ethode is dan aangew ezen.

II. U itó / ingerm e thode.

D e trillingsenergie van een zonder uitwendige demping u it­

slingerend k ristal neem t af v o lg en s:

IV = Wo e. Lk = IVo e~ qt

H iero p baseeren C haikin l(') en Gockel 1') een m ethode voor de bepaling van den dem pingsfactor q. Zij m eten W als functie van t en zetten lg W — f (t) grafisch uit. D e richtings- constante van de aldus verkregen rechte lijn is dan gelijk aan

— q. D e meting van IV w o rd t uitgevoerd m.b.v. een q u a d ra ti­

schen d etecto r gevolgd door een ballistischen galvanom eter, w a a rv a n de laatste op het juiste moment t w o rd t ingeschakeld door een roteeren d en sch ak elaar oi H elm holtz'schen slinger- o nderbreker.

Afgezien van de moeilijkheden, tengevolge van demping door den detectorkring en capaciteitsvariaties bij het openen van den tijdschakelaar, welke men ondervindt w a n n e e r men het k ristal onbelast — dus in de parallelresonantiefrequentie — la a t u it­

trillen, levert de genoemde m ethode een weinig bevredigende technische oplossing, d a a r een vrij omvangrijke h u lp a p p a ra tu u r

noodig is.

Een aanm erkelijke vereenvoudiging w o rd t b ereik t bij de in het o n d erstaan d e aangegeven m ethode, w a a r het k ristal in de serieresonantiefrequentie uittrilt over een lagen uitw endigen

138

w e e rs ta n d en de uitslinger-tijdconstante m.b.v. een kathode- straalbuis w o rd t vergeleken met de tijdconstante van een ge­

ijkte i?C-keten.

a. P r i n c i p e .

H e t k ristal w o rd t opgenomen in een schakeling zooals a a n ­ gegeven in fig. 2 en in serieresonantie geb rach t door het m axi­

mum van V

2

op te zoeken. W o r d t de g en erato r plotseling kort-

y ’t

gesloten, dan zal de am plitude van V t evenredig m et 6' v

F ig u u r 6.

afnemen (fig. 6), w aarbij de uitslingertijdconstante gegeven w o rd t d o o r :

2 L R k + R ^v

D e spanning Vg w o rd t nu toegevoerd aan de verticale af- w ijkplaten van een k ath o d estraalb u is, terw ijl de horizontale deflectie w o rd t b estu u rd door een gelijktijdig aanvangend relaxa- tieverschijnsel, opgew ekt in een /^C-keten m et nauw keurig b e ­ kende tijdconstante TH — R HCH. O p het scherm van de k a th o d e ­ straalbuis w o rd t dan een figuur beschreven, w a a rv a n de contour in p aram eterv o rm w o rd t gegeven door:

/

X = H i ^£ y = V £ v

rt

139

Elim inatie van den p a ra m e te r t hieruit levert voor het v e r­

b an d tusschen x en y van den contour o p :

zoodat, afhankelijk van de verhouding van TH to t 7 v , beelden van den in fig. 7 geschetsten vorm kunnen ontstaan.

M e n kan nu bij een b epaalde w a a rd e van TH door variatie van R (of andersom ) bereiken d a t de uitslingercontour over­

g a a t in de rechte ^{y _}

v

ⁱ --- door de punten 0 , V en H y0 . Is

/ /

V

^{Tv < th} b j Tv = T H

F ig u u r 7.

^ T v > t h

dit het geval dan is T y = I J[} dus bekend. V o e rt men d a a rn a dezelfde meting uit bij een andere w a a rd e van T n (resp. R v) zoo is het mogelijk om uit de bijeenbehoorende w a a rd e n van R en

T Jf de grootheden R /w en L k te berekenen. Im m ers:

R,

_k

⁺ R

_i ^en T „ = T„_H

2

L Kft +

dus

R„ =

R , =

Z'

2

T -

1*2

^T

T_h2 R V

H .

I V

2

Trr ~ T_H

2

140

N a u w k e u rig e r nog is het om een geheele reeks van dergelijke metingen te doen en de gevonden w a a rd e n voor — grafisch uit te zetten tegen R ff, zooals in fig. 8 is voorgesteld. D e gevonden * V

punten moeten dan op een rechte lijn liggen die van de assen de stukken q en — R afsnijdt.

F ig u u r 8.

b. P r a c t i s c h e u i t v o e r i n g .

V o o r de uitslingerm etingen w o rd t de in fig. 9 w eergegeven schakeling toegepast. H e t k ristal w o rd t in trilling g eb rach t in

4-4- +4- 4-4- +

een generatorschakeling overeenkom stig die van fig. 5. Slechts is, te r blokkeering van gelijkspanningen, de condensator ^{C s} °P-

141

genomen, doch deze is zoo groot gekozen d at de serieresonan- tie hierdoor niet m e e tb a a r verschoven w o rd t.

D e spanning over R w o rd t door de buis />, selectie! v e r­

s te rk t en sym m etrisch aan de verticale deflectieplaten van de k ath o d e-straalb u is B toegevoerd. D e demping van den kring L „ C is eenige orden g ro o ter dan die van de k ristalketen, zoo- d a t voor lineaire distorsie van het uitslingerverschijnsel niet b e ­ hoeft te w o rd en gevreesd. V o o rts zijn de w eerstan d en R q, R

2

en R }{ alle zoo groot gekozen d a t hun invloed op de k rista l­

keten eveneens is te verw aarloozen.

D e horizontale afwijking van den k a th o d e s tra a l w o rd t b e ­ stuurd door de spanning aan Cjr D e tijdconstante T H — R h C_H van de relax atie-k eten voor de horizontale afw ijkspanning is van dezelfde grootte-orde als T y f dus zoo groot t.o.v. de periode der kristaltrillingen d a t het punt P

2

voor deze trillingen steeds vol­

doende ontkoppeld is. Is de sch ak elaar A geopend, dan ontvangen de punten P en P

2

via R

0

een zoodanige positieve p o tentiaal d a t de k a th o d e stra a l n a a r het begin van de V -as is afgeweken.

H e t k rista l w o rd t nu eerst op de bekende wijze in serie- resonantie gebracht, w aarbij de lengte van de verticale licht­

streep op de k a th o d e straa lb u is het maximum van de spanning op R v aanw ijst. D e serie-resonantiefrequentie vr w o rd t gemeten.

W o r d t d a a rn a , door het sluiten van den sch ak elaar S, het punt P plotseling a an a a rd e gelegd, zoo w o rd t eenerzijds de g e n e ra to r kortgesloten, w a a rd o o r de spanning aan de verticale deflectieplaten uitslingert m et een tijdconstante Pv , terw ijl a n d e r­

zijds de spanning aan I \ exponentieel to t nul terugloopt m et een tijdconstante T H , zoo d at de gew enschte synchrone afwijking van den k a th o d e s tra a l n a a r het re ch te r eindpunt van de X -as w^ordt verkregen. E r w o rd en dus beelden van de gedaante volgens fig. 7 beschreven.

O m een rechtlijnigen contour te verkrijgen kan men R v varieeren bij constante T }[, of andersom . D e eerste m ethode is in de onder I V te b esp rek en gecombineerde meetinrichting toegepast, d a a r R voor de b an d b reed tem eth o d e toch reeds als geijkte d ecad en ­ w e e rsta n d moet w o rd en uitgevoerd. D e rechtlijnigheid van den contour k an h et eenvoudigst m et een over het scherm van de buis g ep lak t m asker w o rd en gecontroleerd (zie fig. 11 en 12).

D e grootste nauw keurigheid b ereik t men w a n n e er de beginam- plitude V ge lijk gekozen w o rd t aan de lengte I I van de hori­

zontale sweep. V o o r de maximale afwijking h } die de contour voor T y yó. T n van de rechte lijn vertoont, (zie fig. 10) vindt men n.1.:

142

h = H V

] /h 2 +

rr \ — Tv

J v T

T j I - T y -

Tv

V

T_H T_H

H V

f T v

]/h

2

+ v

2

\

H V Als conditie kan men dus nog stellen d a t -

] /H

2

+ V

2

m aal m oet zijn, w aarbij echter als n ev en v o o rw aard e geldt:

maxi-

)/ H

2

+ V~ — D — co n stan t

w an n eer

1

) de m axim aal te b en u tten scherm diam eter is. M e n

to o n t gemakkelijk aan, d a t deze v o o rw a a rd e n inhouden d a t / / - V = - -^=i gekozen dient te w orden. D e formule voor h g a a t

dan

f:

over i n :

h - - ƒD

2

T v Tii

O m de scherm diam eter volledig; te b enutten moet h et beeld

143

dan m.b.v. voorspanningen zoodanig w o rd en verschoven, d a t de contour langs een middellijn v alt (zie fig. 11 en 12).

c. N a u w k e u r i g h e i d

Fu en R kunnen m et elke gew enschte nauw keurigheid w o rd en geijkt, zoodat de fout in T y w elke gem aakt w o rd t bij de oscil- lografische vergelijking d er uitslingerverschijnselen m aatgevend is. M en moet hierbij in aanm erking n e m e n :

1. D e niet-lineaire distorsie in B ;

2. D e lineaire distorsie in den kring L Co \ 3. D eflectiefouten van de k ath o d e straa lb u is ;

4. D e w aarnem ingsfout bij instelling van een rechtlijnigen contour.

D e fout tengevolge van de eerstgenoem de drie factoren be­

hoeft, w an n eer de noodige voorzorgen genomen w o rd en (ruime dimensionneering van den v e rste rk e rtra p , voldoende demping van den kring L sym m etrische besturing van de verticale deflectieplaten en toepassing van een voor asym m etrische b e ­ sturing gecorrigeerd horizontaal afbuigsysteem ), niet m eer dan 2 a 3°/0 te bedragen.

D e onder 4 genoemde fout kan w o rd en van de voor h afgeleide formule :

geschat aan de hand

D ifferentiatie hiervan g e e l t : b h = D

2 I

hetgeen bij lim ietovergang T^h o p le v e rt:

ó T v

2

b h b h

--- = --- = 2 e --- £ = 2,72 . . . T y ƒ ' ( / ) D D

N em en wij een scherm diam eter D — 10 cm. aan, en zou een b h van 0.5 mm. nog juist w a a rn e e m b a a r zijn, zoo w o rd t de w a a r ­ nemingsfout in T y ca. 2 1/2°/0, zoodat de totale fout in T v °p

ongeveer 5 0/0 geschat moet w orden.

144

D it komt, w a n n e er men een voldoend groot aantal, ver ge­

noeg uiteenliggende w aarnem ingen m et de m ethode volgens fig. 8 grafisch ex trap o leert, overeen m et een fout van dezelfde grootte in R en L; .

III. Toepcióóingogebied der methoden.

D e b a n d b ree d te m e th o d e m a a k t bij de bepaling van q gebruik van de meting van een frequentieverschil, hetgeen des te n a u w ­ keuriger resu ltaten geeft n aa rm a te q gro o ter is. D a a re n te g e n

b e ru st de uitslingerm ethode in wezen op een tijdmeting, welke juist bij kleiner w ordende dem pingsfactoren nauw keuriger uit­

kom sten zal opleveren.

D e b an d b reed tem eth o d e w o rd t door het R adiolaboratorium van de P.T .T . dan ook voornamelijk gevolgd bij metingen aan de kristallen voor draaggolltelefoniedoeleinden, w a a r dempings- lacto ren van ca. 20 norm aal zijn, terw ijl de uitslingerm ethode toepassing vindt bij het onderzoek van kristallen m et zeer geringe demping zooals die, welke w o rd en gebruikt voor het opw ekken van sta n d a ard fre q u e n tie s (vgl. ‘) pag. 300).

U it een oogpunt van economie biedt de uitslingerm ethode on­

getwijfeld belangrijke voordeelen boven de bandbreedtem ethode.

D e grootere nauw keurigheid van de b an d b reed tem eth o de kom t n.1. alleen to t h a a r rech t w a n n e er een frequentiem eetinrichting en een fre q u en tie sta n d a a rd m et een afwijking van hoogstens 1 op 10' te r beschikking staan. Bij de uitslingerm ethode kan deze h u lp a p p a ra tu u r voor de bepaling van q geheel gemist w o r ­ den, zo o d at zij aangew ezen schijnt voor la b o rato ria w a a r geen frequentiem etingen m et voldoende nauw keurigheid kunnen w o r ­ den verricht.

IV . Gecombineerde meetinrichling ooor unioeroeel gebruik.

D e combinatie van de schakelingen volgens fig. 5 en fig. 9 heeft geleid to t die van fig. 11, w aarm ed e metingen zoowel vol­

gens de b a n d b ree d te - als volgens de uitslingerm ethode kunnen w o rd en verricht.

N a hetgeen onder I ,b en II, b gezegd is, zal de w erking van deze schakeling geen nad ere toelichting behoeven. D e construc­

tieve uitvoering is in fig. 12 afgebeeld. H e t frequentiebereik is, m et het oog op de metingen aan kristallen voor draag-

F ig u u r 12

145

M

golftelefoniedoeleinden w a a rv o o r het a p p a r a a t bestem d is, ge­

kozen van ca.

6

o

>—200

kH z.

LITERATUUR

]) J. J. V o r m e r , N ed. T. N a tu u rk ., 8, 289, 1941.

2) W . G. C a d y , Proc. Inst. R adio Engrs., 10, 83, 1922.

3) D. W . D y e , Proc. P hys. Soc., 38 , 399, 1926.

4) C. Z w i k k e r , N ed. T. N a tu u rk ., 8, 311, 1941.

6) R. G ü n t h e r , H ochfrequenztechn. und E lek tro ak u stik , 45 ,

185, 1935.

6) R. G ü n t h e r , H ochfrequenztechn. und E lek tro ak u stik , 5 0 ,

200, 1937.

7) W . H e r z o g , T. F. T., 3 0 , 261, 1941.

8) K. H e e g n e r , Jahrb. d er d rah tl. Telegr. und Teleph., 2 9 ,

177, 1927.

9) K. S. v a n D ij k e, Proc. Inst. R adio Engrs., 23, 386, 1935.

10) S. C h a i k i n , Z. H ochfr. Techn., 3 5 , 6, 1930.

n ) H . G o c k e l , P hys. Z., 37, 657, 1936.

EENIGE BESCHOUWINGEN OVER GEKOPPELDE KRINGEN

door

B. D . H . T E L L E G E N

N a l uur kundig Laboratorium der Ä V . Philip/

Gloeilampenfabrieken, Eindhoven — Holland.

Voordracht gehouden voor het Neder landde h Radiogenoohcbap op 26 Februari 19-15.

Samenvatting.

D e theorie van gekoppelde kringen leidt voor de bepaling van de fre ­ quenties en de dem pingen van de vrije trillingen tot een vierdegraads- vergelijking. B ep erk en wij ons tot gevallen, w a a rin de resonantiekrom m e een kleine relatieve breedte heeft, dan is deze te herleiden tot een tw e e d e ­ graadsvergelijking, w elke eenvoudig in factoren is te ontbinden. E lk dezer factoren bep aalt één van de vrije trillingen. Inductieve of capacitieve koppeling leidt tot een reëele koppelingsfactor k, w eerstan d sk o p p elin g tot een im aginaire k> gemengde koppeling tot een complexe k. .Zijn de k rin ­ gen gelijk gedem pt en gelijk afgestem d, d an hebben de factoren bij reëele k gelijke dem pingen doch verschillende eigenfrequenties, bij im aginaire k gelijke eigenfrequenties doch verschillende dem pingen, bij complexe k zoo­

w el verschillende eigenfrequenties als verschillende dem pingen. Zijn de kringen gelijk gedem pt doch verschillend afgestem d, d an heeft dit op de vorm van de resonantiekrom m e eenzelfde invloed als een vergrooting van k 2. Zijn de kringen gelijk afgestem d doch ongelijk gedem pt, dan w o rd t k 2 schijnbaar verkleind. Zijn de kringen verschillend afgestem d en o nge­

lijk gedem pt, d an w o r d t k 2 schijnbaar met een complex b ed rag gewijzigd.

Alle sym m etrische resonantiekrom m en zijn te teekenen in een enkelvoudige schaar. T ot slot w o r d t de hoogte van de resonantiekrom m e o n d e iz o c h te n w o rd en schakelingen beschouw d, w aarb ij de kringen gekoppeld zijn over een w illekeurige vierpool, w elke ook een versterk erb u is mag bevatten.

148

1. Inleiding.

O v e r gekoppelde kringen is veel geschreven en deze zijn op allerlei wijzen onderzocht. V ele van de in dit artikel bereikte resu ltaten zijn dan ook reeds vroeger door anderen gevonden, zij het, d a t deze v aak op andere wijze w erden geformuleerd.

Gezien de omvangrijke lite ra tu u r op dit gebied hebben wij niet steeds g etrach t na te gaan, w a a r bep aald e eigenschappen h et eerst n a a r voren w erd en gebracht. V eel is te vinden in de overzichten van W a g n e r 1) en A i k e n 2). N a d a t wij de v erg e­

lijkingen voor de gekoppelde kringen hebben opgesteld, w ijkt onze m ethode van behandeling echter op verschillende punten van de to t nu toe gevolgde af en levert in vele gevallen de mogelijkheid bepaalde eigenschappen m et een minimum aan rek en w erk n a a r voren te brengen, w a t het physisch inzicht ten goede kan komen. Tevens zullen wij aan h et begrip gekoppelde kringen een ruimere beteekenis geven, dan gewoonlijk gedaan w o rd t, door kringen te beschouw en, die gekoppeld zijn over een willekeurige vierpool, w elke ook een v ersterk erb u is mag b ev atten .

G ekoppelde kringen w o rd en in de radiotechniek veelal ge­

bruikt als koppelelem ent tusschen tw ee buizen en dan v aak aangeduid m et de naam van bandJiUer. D o o r de eerste buis w o rd t een b epaalde w isselstroom I aan de eerste kring toege­

voerd, terw ijl door de tw eede kring een w isselspanning V a a n de volgende buis w o rd t afgegeven. H e t is de verhouding van deze spanning to t die stroom in afhankelijkheid van de frequen­

tie en in het bijzonder de absolute w a a rd e hiervan, de rejonan- tiekromnie van het bandfilter, w a a rv a n de kennis voor de to e p a s ­ singen w o rd t vereischt.

V o o r een w illekeurig lineair systeem uit constante elemen­

ten heeft deze verhouding de vorm

TZ Ln n—i

V a p + a rp _{O x I 1} + . . . + < ? _tl

t 7 .« j Ln—i j *

I b p -f- b p + . . . + b

w a a rin p — jco, als co de hoekfrequentie is, en de a ’s en b’s alle reëel zijn en b ep aald w o rd en door de grootte van de elem en­

ten, w a a ru it h et systeem is opgebouw d. D e noem er nul gesteld

4 K. W . W a g n e r , Telegr. u. F ern sp r. Techn. 24, 191, 1935 ; Ann.

d. P h ys. 32, 301, 1938.

2) C. B. Aiken, Proc. Inst. R ad . Eng. 25, 230, 1937.

149

leidt to t een ?ie graadsvergelijking in p , w a a rv a n de w o rtels de vrije trillingen van h et systeem bepalen. Een imaginaire w o rte l leidt to t een ongedempte trilling, een complexe w o rte l to t een gedem pte of aangroeiende trilling, een reëele w o rtel to t een aperiodisch verschijnsel. B e s ta a t h et systeem uit één trillings- kring, dan is n —

2

en is de uitdrukking vrij gemakkelijk te discussieeren. B e s ta a t h et systeem uit tw ee kringen, dan is n = voor het onderzoek is het dan nuttig teller en noem er te ontbinden in tw ee factoren van de tw eede graad. D e reso- nantiekrom m e van een systeem m et tw ee kringen is dus steeds op te v atten als h et p ro d u ct van de resonantiekrom m en van tw ee system en met één kring.

D e ontbinding van een v ierd eg raad sterm in tw ee tw e e d e ­ g raad sterm en kom t neer op h et oplossen van een vierdegraads- vergelijking. In de m eest algemeene vorm loopt deze oplossing over die van een derdegraadsvergelijking. D eze w eg is voor tw ee gekoppelde kringen gevolgd door W i e n ]), K i e b i t z ~) en onlangs door S c h n e i d e r 3). D e re su lta ten zijn echter weinig overzichtelijk. D o o r te veronderstellen, d a t de kringen weinig gedempt, weinig t.o.v. e lk a a r verstem d en los gekoppeld zijn, kan men echter benaderde oplossingen vinden, w elke eenvou­

diger zijn. Deze zijn door W i e n via de derdegraadsvergelijking berekend to t in derde benadering en la te r rech tstreek s op eenvoudiger wijze door V a n d e r P o l 4) to t in vierde b en ad e­

ring. V a n d e r P o l wijst erop, d a t wij de kern van de bij gekoppelde kringen onder de genoemde om standigheden o p tre ­ dende verschijnselen reeds m et een oplossing to t in tw eed e b e ­ nadering goed kunnen beschrijven. W a n n e e r wij m et deze b e ­ nadering genoegen nemen, kunnen wij van het begin af verschillende vereenvoudigingen invoeren, o.a. in p laats van de frequentie zelf h et verschil tusschen de frequentie en de resonantiefrequentie d er kringen als variabele gebruiken. W ij kunnen h ierdoor b e ­ reiken, d a t wij voor een enkele kring komen to t uitdrukkingen van de eerste g raad en voor gekoppelde kringen to t u itd ru k ­ kingen van de tw eede graad, w elke gemakkelijk in tw ee fa c ­ toren van de eerste g ra ad zijn te ontbinden.

]) .M. W ie n , Ann. d. P h ys. 61, 151, 1897.

2) F. Kiebitz, Ann. d. P hys. 4 0 , 138, 1913.

3) P. Schneider, Ann. d. P hys. 41, 211, 1942.

4) B. van d er Pol, P hysica 6, 56, 1926.

150

2. De enkele kring.

A lvorens de gekoppelde kringen te behandelen willen wij e erst eenige eigenschappen van de enkele kring in herinnering brengen. V o o r de in fig. 1 geteekende kring, w elke b e s ta a t uit een zelfinductie L, w e e rs ta n d R , capaciteit C en spanningsbron

V in serie, kunnen wij de stroom I berekenen uit

j co L R

j co C J = V

(

¹

)

Stellen wij

[/L C

— CO

,

_o

₁

de rejonanliefreqnentie van de kring, en deelen wij beide leden

L R

K W M /im s +

►'S) =f

F ig u u r 1.

E nkele trillingskring.

door coo L } d an krijgen wij

co R co

J — +co _o oj L _o - J co Stellen wij

R co L_o

I = V co L '

= <5 ,

• •

( ² )

de demping van de kring, en co co

co _o - = ß>co

de verölcniming, d an is hiervoor te schrijven

( d + j ß ) I = ö V

R (3)

151

D e stroom w o rd t dus b ep aald door

I - 1 6 _

V ~ f t ' ^ö + j f i '

O m de beteekenis van /? b e te r te doorzien voeren wij het verschil zi co in tusschen de frequentie van de spanningsbron en de resonantiefrequentie van de kring en stellen dus

co = co + A co ._o D a arm ee w o rd t, indien ---- « J is,

CO_o

P

^{I 4- A co}

²

^{A co} _co

o

2 A ^CO co_o

In d a t geval is f$ dus direct evenredig m et A co en is tevens yS « I. O p d a t het voornaam ste deel van de resonantiekrom m e bij deze kleine w a a rd e n van ƒ) ligt, is noodig, d a t ook ^ó « i

is, w a t wij v e rd er willen veronderstellen. In het algemeen zal f t van de frequentie afhangen, d a a r de verliezen van een kring, die bijv. van de sp o elw eerstan d afkom stig kunnen zijn, niet con­

sta n t zijn. V estigen wij onze a a n d a c h t alleen op een klein fre- quentiegebied om de resonantiefrequentie, dan mogen wij h ie r­

van afzien en ft en dus ook 5 als co n stan t beschouw en. D e eenige variabele grootheid in (4) is d an dus /?, w elke alleen in de noem er en to t de eerste g ra a d voorkomt. D e absolute w a a rd e van (4) geeft als functie van f$ de bekende sym m etrische re so ­ nantiekrom m e, w a a rv a n de b reed te w o rd t b e p a ald door d. D o o r ­ d a t wij ons beperken to t kleine w a a rd e n van r3, zal deze b reed te in H z vergeleken met de resonantiefrequentie in H z, de relatieve ba ndbreedte, klein z ij n .

Bij toepassing van een enkele kring als koppelelem ent tusschen tw ee buizen hebben wij een iets van fig. 1 afw ijkende to estan d . D e schakeling b e s ta a t dan uit een zelfinductie L, capaciteit C en stroom bron / parallel, terw ijl de spanning V op de kring w o rd t afgegeven aan de volgende buis. H e t v erd ien t hier a a n ­ beveling de kringverliezen voor te stellen door een geleiding G parallel aan de kring (fig. 2). D o o r de beperking to t een kleine relatieve b a n d b re e d te kunnen wij ons de verliezen van de kring nl. zoowel door een constante seriew eerstan d als door een con­

152

stan te parallelgeleiding voorstellen. D e inwendige w e e rs ta n d van de voorafgaande buis k an in G opgenomen gedacht w orden. D e berekening kom t nu geheel overeen m et de bovenstaande. W ij kunnen schrijven

^7

co C -f G + —— — \ V = I , ...(5)

F ig u u r 2.

A ndere vorm van een enkele trillingskring.

w a t bij deeling van beide leden door coo C en invoering van de demping door thans

co C_o

te stellen, terw ijl wij aan coo en dezelfde beteekenis hechten als boven, om te vorm en is to t

V _ I ____»

r ^g ' d + j ß w a t geheel overeenkom t m et (4).

3. Twee gekoppelde kringen.

3a. I n d u c t i e v e o f c a p a c i t i e v e k o p p e l i n g .

W ij beginnen m et te beschouw en tw ee inductief gekoppelde

F ig u u r 3.

T w e e inductief gekoppelde kringen, reéele koppelingsfaclor.

kringen, w a a rv a n de eerste een spanningsbron bevat, terw ijl wij vragen n a a r de stroom in de tw eede kring (fig. 3). W ij kunnen

153

voor de beide kringen de vergelijkingen opschrijven en komen dan to t

j co L + R , + — - = F ,

joo c j

(7) - j co M I + [ JOJ L

2

+ R

2

+ - 1

1

=

0

.

j co C.

Stellen wij

I i

— üj/ , . = co 1 tl* , c, ]/_\ ^l ₂ ^c₂

en deelen de eerste vergelijking door co/ L t en de tw eede door co, L ,, dan krijgen wij

R r - ~ , \ T

J — + ---co, Z-,T - J — ^K

(O

co

co M

I = ^F

“ >/

.CO M t.co

J — • — co ₂ L ₂ \ co _ co L 1, + ( J — + co ^{— o .}7 J ) (8)

Stellen wij

S R '

— = 0 ,> -

co Z,_{/ /} ^{C02 F 2}

co co r co co,

= c5 , , --- 7 = ß , , --- £ = & ,

(O { co co _ co

co M

cof L ' ⁼

co M

co„ Z,

= ^r,(

dan is hiervoor te schrijven

F i / ,

\

V o o r de stroom in de tw eed e kring volgt hieruit

• (9)

I J K ]/ dr d

3

V ]/R r R

2

(d, + j ß , ) ( d , ^{y •} • (

10

)

154

w aarin wij

l/ _{\ I 2} KK = K

hebben gesteld.

Indien wij ons beperken to t bandfilters m et een kleine re la ­ tieve b reed te van de resonantiekrom m e, zijn df , ^ en ook K alle klein t.o.v. één. W ij behoeven dan alleen in /} en

ond erscheid te m aken tusschen co, co

7

en co en kunnen deze overigens aanduiden door een gemeenschappelijk symbool, w a a r ­ voor wij coa kiezen. V o eren wij de verschillen A co} en A co, in tusschen de frequentie van de spanningsbron en de resonantie- frequenties van de kringen door

CO = (O -'r A CO = CO + A CO_{I 1 2 2} te stellen, dan is dus

R

2

A co,₂

co_o en

de koppctcngéfactor. In het kleine gebied om de resonantiefre- quenties, w a a rto e wij onze a a n d a c h t bepalen, kunnen wij R j en R 2, dus ook d/ en d?, en eveneens K als co n stan t b esch o u ­ wen. D e eenige variabele grootheden in (10) zijn dan en ^ en deze komen alleen in de noem er voor.

W ij hebben (10) hier afgeleid voor inductief gekoppelde k rin ­ gen m et seriew eerstanden. W ij kunnen echter voor willekeurige gekoppelde kringen steeds een uitdrukking van de vorm (10) afleiden, zoodat deze dus k a ra k te ristie k is voor tw ee gekoppelde kringen. V orm en deze bijv. het koppelelem ent tusschen tw ee buizen, d an s ta a t een stroom bron I p arallel aan de eerste kring en w o rd t de spanning op de tw eede kring afgegeven aan de volgende buis. H e t verdient dan w e e r aanbeveling de kring- verliezen voor te stellen door geleidingen parallel aan de k rin ­ gen. D enken wij ons de kringen gekoppeld door een kleine capaciteit tusschen de toppen van de kringen, dan o n ts ta a t de schakeling van fig. 4. D e berekening hiervan kom t geheel o v er­

een m et de bovenstaande, w a n n e er wij thans de spanningen op

155

de kringen als de onbekenden beschouw en en opschrijven, d a t de som van de stroom en van de eerste kring gelijk aan I en de som van de stroom en van de tw eede kring gelijk aan nul is.

W ij krijgen dan

J

L0

( C + Q + G, + j ^ j - j Ck V

2

= I ,

(H)

—jc o c k V\ + I jco ( C + c k) + + \ V . = o .

I j ( o L

2

I

V ergelijken wij dit m et (7), dan blijkt, d a t wij C' + Ck en C" + Ck als de kringcapaciteiten m oeten beschouw en. W ij stel­

len daarom

C '+ C t = C , C" + c , = c

2

Als de eerste kring moeten wij dus het systeem beschouw en,

Ck +

5 Vi

\

i , i , .

J I

il

-c' - _{— C i—,G}^{„ er!} k ₂

è I

²

i ?

S

T wee

F ig u u r 4.

capacitief gekoppelde kringen, reë

d a t uit hg. 4 o n ts ta a t door de tw eede kring k o rt te sluiten en omgekeerd. D eelen wij de eerste vergelijking door c'o C , de tw eede door co C , stellen2 2r

G G C,

— = d ,_{I 7} ---— = è , ---- — = k ,_{^ 2 7 9}

10 o ^{CO C} I c c_{) I 2}

terw ijl wij aan coo, co/t co,, ß en ß dezelfde beteekenis hech­

ten als boven en beperken wij ons w e e r to t bandfilters m et een kleine relatieve b an d b reed te, dan komen wij to t

V J Ie I (5 dI i .

/ ]/Gf G

2

(3, + j ß i ) (d

2

+ j ß J) + k J ^{. . (}

12

) w a t geheel overeenkom t met (10).

156

H a d d e n wij in fig. 4 te doen m et inductieve koppeling i.p.v.

m et capacitieve koppeling, dan kom t deze steeds overeen met een groote zelfinductie L k in p laats van de kleine capaciteit

Ck. W ij kunnen hiervoor ook w e e r (12) afleiden.

3b. W e e r s t a n d s k o p p e l i n g .

W ij kunnen de kringen ook koppelen door een geleiding G}}

F ig u u r 5.

T w e e kringen met w eerstandskoppeling, im aginaire k.

zooals aangegeven in fig. 5. V olgen wij de boven aangegeven weg, dan komen wij er toe te

G' + G. = G r , _{K i} G" + G._rC

terw ijl de andere grootheden komen dan ook w e e r to t (12).

imaginair.

3c. G e m e n g d e k o p p e l i n

stellen

hun beteekenis behouden. W ij De koppeling*)factor ié Lhané echter

+

v²

Fiiiuur 6.Sm/

T w e e kringen met gem engde koppeling, complexe k.

H e b b en wij zoowel capacitieve als w eerstandskoppeling, zoo­

als aangegeven in fig. 6, dan moeten wij

x) In de literatu u r v indt men voor dit geval v a a k een definitie over- eenkom end met —— ■■ = k . Gk G. W . O . H o w e, W ire le s s Eng. 9, 485,

]/g , g 2

1932, w ees er reeds op, d a t dit geen juiste m a a ts ta f voor de koppeling zijn kan.

157

G k + J Wo Ck ,

j co ]/ C C

J O ) 1 2

stellen en komen dan w e e r to t (12). De koppeling*)factor io Lhand complex.

4. Gelijk gedempte en gelijk afgeolemde kringen.

D e frequentieafhankelijkheid van een bandfilter w o rd t geheel b ep aald door de noem er van (12)

M = (

6

r + ƒ/*,) ( i , ...(13) Is k

2

zoo klein, d a t wij deze in N mogen verw aarloozen, dan b e s ta a t N uit het p ro d u ct van tw ee factoren, w elke elk met één van de kringen overeenkomen. D e vorm van de resonantie- kromme is in d a t geval die van het p roduct van de resonan- tiekrom m en van de afzonderlijke kringen. Is k

2

niet te v e r w a a r ­

loozen, dan kunnen wij N ook ontbinden in tw ee factoren, die dan niet m eer m et de afzonderlijke kringen overeenkomen, doch in v erb an d staan m et de vrije trillingen, welke het systeem kan uitvoeren.

W ij beginnen m et het eenvoudigste geval, nl. dat, w aarbij de beide kringen gelijke dempingen

d =

I

d = »

2

hebben en w aarbij deze gelijk afgestem d zijn, zoodat wij

P, =/*, = /*

kunnen stellen. D a n is

n = (ö + j p y + k

2

...(i4 ) D e koppelingsfactor zal in het algemeen complex zijn, zoodat wij stellen

___________ j k = m + j l . 1) ...(15)

’“) Indien wij het begrip koppelingsfactor nog vrij konden definieeren, zouden wij er de v o o rk eu r aan geven hiervoor de grootheid j k te kiezen, w a a rm e e w eerstan d sk o p p elin g een reëele en inductieve o f capacitieve k o p ­ peling een im aginaire koppelingsfactor zou krijgen. O m deze reden hebben wij j k en niet k geschreven als de som van een reëel en een im aginair gedeelte. D it leidt ook tot de elegantste vorm van de vergelijkingen.

158

4a. R e ë e I e k.

W ij beginnen m et h et geval van reëele k, dus k — /. D a a r ­ mee krijgen wij

N

=

(<5 + j ß ) 2 + e

=

{<5 + j ( ß + l)}{d + j ( , 3

- /)} . (

16

) Deze factoren komen overeen met twee kringen met gelijke dempingen h, doch waarvan de eigen frequenties t.o.v. die van de kringen van het handfitler in tegengestelde zin zijn verschoven, elk over een b e d ra g / (fig. 7). V e ra n d e re n wij / continu van nul af, dan verschuiven deze eigenfrequenties gelijkmatig n a a r beide zijden. D e resul- teerende resonantiekrom m e is steeds symmetrisch en heeft a a n ­ vankelijk één maximum in het midden. Bij toenem ende k o p p e­

ling o n tsta a n tw ee m axima te r weerszijden van een in h et midden

F ig u u r 7.

D e beide factoren hebben gelijke dem pingen doch verschillende eigenfrequenties.

gelegen minimum. O m te vinden bij w elke koppeling de grens tusschen deze gevallen ligt, m oeten wij de absolute w a a rd e van TV opschrijven. D eze b e d ra a g t

\N 21 - (d

2

+ l

2)2

+ ² (d

2

- l2) p

2

+ p* . . . . (17) D e term m et p~ verdw ijnt hieruit voor l~ — ó~ en daarbij ligt dus de genoemde grens. D e resonantiekrom m e heeft hierbij een vlakke top. D e p la a ts van de bij sterk ere koppeling o p tre d e n ­ de m axim a vinden wij door de minima van (17) te bepalen.

D eze liggen bij fi

2

= l

2

— b~.

D a a r de eigenfrequenties van de factoren uit (16) o v ereen ­ komen m et de frequenties van de vrije trillingen van h et systeem , kunnen wij deze in fig. 4 onmiddellijk aanwijzen, w a n n e e r wij hierin bovendien nog veronderstellen, d a t de beide kringen ge­

heel gelijk zijn, dus behalve gelijke afstem m ingen en gelijke dem pingen ook nog gelijke capaciteiten C' — C" — 6 hebben. Bij

159

de ééne vrije trilling zijn V en J \ even groot en in fase en v o ert Ck dus geen stroom . Bij de andere trilling zijn I i en V t even groot en in tegenfase, zoodat Ck dan w el stroom voert.

D enken wij Ck vervangen door tw ee capaciteiten

2

Ck in serie, dan s ta a t er in het la a tste geval geen w isselspanning tusschen het verbindingspunt van deze capaciteiten en de onderzijde d er kringen, zoodat wij deze punten kunnen verbinden zonder aan de trillingstoestand iets te wijzigen. W ij zien dan, d a t de c a p a ­ citeit, w elke de eigenfrequentie in dit geval b ep aalt, C +

2

Ck is, terw ijl deze voor het geval, d a t de spanningen op de kringen in fase zijn, C b ed raag t. V e ra n d e re n wij de koppeling tusschen de kringen door alleen Ck te veranderen, dan blijft de ééne eigenfrequentie onveranderd, terw ijl de andere verschuift. D it is in tegenstelling met w a t wij boven zeiden, w a a r wij opm erk­

ten, d a t bij verandering van / de beide eigenfrequenties even­

veel doch in tegengestelde richting verschuiven. D e oorzaak hiervan is gelegen in het feit, dat, als wij alleen Ck varieeren, wij niet alleen l doch ook de afstemmingen van de kringen v a ri­

eeren. O m dit te voorkom en moeten wij immers C Ck constant houden en dus bij vergrooten van Ck de w a a rd e van C evenveel verkleinen. H e b b en wij tw ee kringen, w elke gekoppeld zijn door een wederzijdsche inductie, en v eran d eren wij de koppeling zonder de zelfmducties van de spoelen te wijzigen, dan krijgen wij wel een gelijke en tegengestelde verschuiving van de eigenfrequen­

ties. H ie ru it volgt tevens, d a t voor het verkrijgen van een variabele b reed te van de resonantiekrom m e, zooals deze bijv. in midden- freq u en tv ersterk ers van ontvangtoestellen w o rd t toegepast, een koppeling door een variabele w ederzijdsche inductie b e te r is d an een variabele capacitieve koppeling.

4b. I m a g i n a i r e k.

Is k imaginair, dus j k — m, dan krijgen wij

N = (d + j fty - VI = {((5 + m) + {(<5 - vi) + . (18) D eze ja d eren komen overeen mei twee kringen met gelijke eigenfre- juenlieo, doch waarvan de dempingen t.o.v. die van de kringen van het bandjiUer in legengeoletde zin zijn gewijzigd, elk m et een b e d rag m

<fig. 8). D e resulteerende resonantiekrom m e is ook nu oyninietrióch en heeft steeds een maximum in het midden. Bij toenem ende m neem t de breedte van de resonantiekrom m e af, bij vi = ö w o rd t

160

deze zelfs oneindig smal, zoodat genereeren op k an treden. Bij de schakeling van lig. 5 k an h ieraan niet w o rd en voldaan.

Schakelingen, w aarbij vi — ö w el mogelijk is, zullen wij beneden bespreken.

D a a r de factoren uit (18) overeenkom en m et de vrije trillin­

gen van het systeem , kunnen wij deze in fig. ⁵ onmiddellijk aanwijzen, w a n n e er wij hierin aannem en, d a t de kringen behalve gelijke afstemmingen en gelijke dempingen ook nog gelijke ge­

leidingen G = G" — G hebben. Bij de ééne vrije trillling zijn V r en V\ w e e r even groot en in fase, zoodat G} geen stroom voert.

Bij de andere trilling zijn V en V^ even groot en in tegenfase, zoodat Gk dan w el stroom voert. D enken wij Gk vervangen door tw ee geleidingen

2

Gk in serie, dan s ta a t er in h et la a tste ge­

val geen spanning tusschen h et verbindingspunt van deze ge­

leidingen en de onderzijde d er kringen, zoodat wij deze punten

F ig u u r 8.

D e b eide factoren h ebben gelijke eigenfrequenties doch verschillende dem pingen.

kunnen verbinden zonder aan de trillingstoestand iets te wijzi­

gen. W ij zien dan, d a t de geleiding, w elke de demping in dit geval b ep aalt, G +

2

Gk is, terw ijl deze voor het geval, d a t de spanningen op de kringen in fase zijn, G b e d raa g t. V e ra n d e re n wij de koppeling tusschen de kringen door alleen Gk te v e r­

anderen, dan blijft één van de dempingen van de vrije trillingen onveranderd, terw ijl de andere w o rd t vergroot. O m de boven beschreven to e sta n d te bereiken, w aarbij door het vergrooten van de koppeling de dempingen van de vrije trillingen evenveel doch tegengesteld w o rd en gewijzigd, moeten wij bij het vergrooten van Gk de w a a rd e van G evenveel verkleinen, zoodat G + Gk co n stan t blijft.

Ac. C o m p l e x e k.

Is k complex, dus j k — m + j l y dan krijgen wij

161

N = (ö + jpy -(m + j/y ⁼

= { Q + m ) + j ( P + I ) } { ( d - m ) + j ( P - l ) } . ■ ■ (19) Thans hebben c)e factoren zoowel verschillende eigenfrequenlies a h verschillende dempingen (fig. 9). H e t gevolg d a a rv a n is, d a t hun product een o asymmetrische resonantiekrom m e geeft. D e m et deze factoren overeenkom ende vrije trillingen kunnen wij op over­

eenkomstige wijze als boven in fig. ⁶ aanwijzen, w an n eer d a a r ­ in de beide kringen geheel gelijk zijn.

F ig u u r 9.

D e beide factoren h ebben zoowel verschillende eigenfrequenties als verschillende dem pingen.

D e schakeling van fig. ⁶ k an bijv. optreden, indien de koppe- lingscapaciteit Ck verliezen heeft. O m in d a t geval het o n tstaan van een onsym m etrische resonantiekrom m e te voorkom en kunnen wij de minst gedem pte vrije trilling e x tra dempen. D a a rto e splitsen wij Ck en G, in tw ee capaciteiten en tw ee geleidingen

2

Ck

2 G /(

p i n n j 1 2 G k II

■1—lFLFLFLFUTj—' _______II_______ ,r^»j s’-j .__n n n n n___ 1!

3 2 C k

3 4 G k ~ 1 ______

■ ! j

F ig u u r 10.

D o o r het splitsen van de koppelingscondensator en het toe­

voegen van een w e e rsta n d is te voorkom en, d a t tengevolge van de verliezen van de koppelingscondensator de re s o n a n ­

tiekromme onsym m etrisch w o rd t.

en

2

Gk in serie en brengen tusschen h e t verbindingspunt h ier­

van en de onderzijde d er kringen een geleiding

4

. Gk a a n (fig. ^{1 0}).

Een soortgelijk geval krijgen wij, indien de kringen gekoppeld zijn over een gemeenschappelijke seriecondensator m et verliezen (fig. 11a). Trillen / en I

2

in fase, dan loopt er geen stroom