T I J D S C H R IF T V A N HET N E D E R L A N D S C H R A D IO G E N O O T S C H A P

T I J D S C H R IF T V A N HET N E D E R L A N D S C H R A D IO G E N O O T S C H A P

D E E L X J U L I 1 9 4 3 N o . 5

POLAIRE FIGUREN VAN EENVOUDIGE SYSTEMEN

door

L. H . M . H U Y D T S

Eerste deel van een voordracht gehouden voor hei Neder landoch Radiogenoohchap op 22 Januari 194).

Zusammenfaóóung.

D ie O rtsk u rv e einiger oft vorkom m enden kom plexen Z a h len w ird a n ­ gegeben ; speziell von Z a h le n w e lc h e auftreten bei S y ste m e n zw e ite r O rd n u n g. H ierv o n w er d e n einige A n w e n d u n g e n a u f einfache Schaltungen a n g eg eb en . G ezeig t w ird, d asz ein z w e im a sc h e s N e l z mit nur R und C, oder nur A’ und A -E lem en ten , von Z w e it e r O r d n u n g ist und dasz, in den d avon ab geleiteten S ch altun gen , einfache polare K urven für S p an n u n gen und Ström en Vorkommen.

Sum m ary.

T he polar figure o f som e com plex num bers, w h ich occur frequently, is ca lcu la ted ; esp ecia lly o f those num bers w h ic h occur in system s o f second order. S o m e ap plication s on simple sy stem s are treated. It is sh o w n that n e tw o r k s w ith tw o m eshes, containing only R and C, or R and A -elem ents, g a v e a system o f second order and that the polar figu­

res for v oltages and currents in circuits, derived from such n etw o rk s, have a sim ple form.

Inleiding.

D e m eetkundige voorstelling van functies van complexe g ro o t­

heden w o rd t veelvuldig to eg ep ast bij de vertolking van elec- trische, mechanische en electro-m echanische system en. W ij b e ­ perken ons to t de eerste.

176

W ij veronderstellen lineaire circuits m et gedw ongen trillingen en onderzoeken de blijvende toestand. H ie rv o o r zijn u itd ru k ­ kingen gew enscht voor verhoudingen van stroom en spanning, van tw ee spanningen, van tw ee stroomen. D it w o rd en com­

plexe grootheden die een functie zijn van de frequentie co en van de S3rsteemelementen, zelfinductie L , capaciteit C en w e e r­

stan d R .

Is een van deze variab el dan b eh o o rt bij iedere w a a rd e van een bovengenoemde verhouding een reëel en een im aginair deel met een correspondeerend punt in het complexe vlak.

D e meetkundige p laats van deze punten is een polaire figuur (P. F.) die n ad er beschouw d zal w orden.

D e grootte van de variabele w o rd t m eestal langs de polaire im.as

figuur aangegeven, fig. 1. D e variabele kan ook langs een derde JL as uitgezet w o r d e n ; dan o n tsta a n ruimte-figuren die w elis­

w a a r moeilijkheden opleveren voor de afbeelding, doch w aarbij aan overzicht gew onnen w o rd t.

U it de polaire figuur vindt men behalve h et directe v e rb an d tusschen modulus en argum ent diverse andere functies, b.v. het v erband tusschen de modulus, het argum ent, h et reëele deel of het imaginaire deel eenerzijds en de variabele anderzijds.

Complexe getallen. In de complexe uitdrukking van een ge­

zochte verhouding van str/sp. of van spjsp. in electrische system en kom t men v aak to t complexe getallen van den vorm

i I

( / + j a ) ’ ( / (/ + j a ) , (ƒ + j a ) 2 . . . (/ + j a ) " en

177

---, aangeduid door A , A . . . . A en B r B^ . . . . B ._{z • \ n ’ ö / 7 2 n 1 2 n}

( / + j a )

a, de variabele, is een functie van co, L, C of R . D e polaire figuren van deze complexe getallen m et ingeschreven w a a rd e n van a zijn w eergegeven in fig. 2 en fig. 5. D e krom m en van fig. 3 zijn door inverseeren te vinden uit die van fig. 2.

E en a a n ta l van deze figuren zijn bekende krommen. Stellen we h e t reëele deel van de uitdrukking gelijk aan x en h et imaginaire deel aan y dan vindt men in het 2_ assenstelsel na elimineeren van a v o o r :

( / 4- j a ) een kromme m et de vergelijking x = I, dit is een rechte H Kas door 4- i.

(/ 4- j a Y de vergelijking x -\---- y “ — / = o, dit is een p a rab o o l

4 '

met het b ra n d p u n t in de oorsprong en de top in 4- i .

I

( / + j de vergelijking y 2 4- x 2 — x = o, dit is een cirkel m et M \ — t o j en r — —

i — de vergelijking van een cardioïde.

(■r + j a y

U itg e d ru k t in poolcoördinaten leveren de figuren van (z 4- j ct)n

n cp I

de vergelijking op Q cos— = / , die van ---

n ^{( /} 4- j a )

n (f

n = COS — . 11

n de vergelijking

V o o r groote w a a rd e n van n krijgt men dubbel gew onden spiralen die n a a r oo respectievelijk n a a r 0 gaan m et voor bei­

den als grenskrom m e een cirkel om O m et s tra a l I.

D e modulus van ( / + j a ) is ) / 1 4- a2, de modulus van (i 4- j a j l is yi 4- a )

D e modulus van is ; deze uitgezet als func- ( / 4- j a ) J i + a

tie van a lev ert de s^^mmetrische vorm van de reóonnanliekroniine op. V o o r a = ± i w o rd t de modulus = —= en de bijbehoorende

+ 2j imag.as, imag.as

178

33

-o s3

>

<D3

U3

on

j30)u.

hO CUo

u ü 3 “O

3bD 3

iZ :?T 1=5£

<u>uooo_Ui bD

X

Cfl

33

uco00

c<v

><u JZu_O c/30>

£bD

<2 33>

3O

<2 3

<v + -3Ui S 33

W _£

CV| o i U3bic +s

S

»siSi

+s

3<U

>O

—3u.

UC/3

1)bD

• ^3

uren

oi bD u3

C-S 3 (Uu bD ^•

£ O

Cu<D

T3

• * ■ • ^3 N

33>

3O

"T3u₃

£

3O

179

i i 11

D e modulus v a n --- is [ --- \ (■r + j a f \ i + a 2 /

In fig. 4 zijn de moduli van de in fig. 2 en 3 aangegeven meetkundige p la a tsen als functie van a uitgezet.

D e polaire figuur van h et p roduct van tw ee complexe getallen vindt men door complexe vermenigvuldiging, t.w. door h et p ro d u ct van de moduli te nemen en de som van de hoeken.

F igu ur 4.

M o d u li van de uitdrukkingen ^ l l en ^ I I I en B f f B j [ en B m als functie van a •

D e P. F. van (/ + j n ) H volgt dus op eenvoudige wijze uit de P. F. van ( / + j a ) en w el is de modulus | = ( / + a2) ‘2 en (p = 7i q>j = ii bg tga . Zie fig. 2.

O p dezelfde wijze k an de P. F. van --- uit de cirkel --- geconstrueerd w orden, fig. 3.

( / + j a)

Bij lineaire system en m et differentiaal vergelijking van de 2e orde kom t men complexe getallen tegen van den v o r m :

180

i + j I / * ~ l ö

(

)

en

Q

J P ^I (

2

1 + / ----“7 . . . (3) y / ? e /S

7_1

ö ■+* i — ...(4)

ft en Q zijn reëele positieve getallen; (} beschouw en w e als de variabele, Q als p aram eter.

D e uitdrukkingen (1) en (2) zijn de inversen van (3) en (4).

(1) g a a t over in (2) en (3) in (4) door te vervangen door de negatieve reciproke w a a rd e .

V o o r het verkrijgen van de P. F .’n van deze uitdrukkingen gaan we uit van (3) en (4).

D e vergelijking van de krom m en in _L coördinaten beschreven door (3) zoowel als (4) is

x + {ij Q)2 - i = o ...(5) D it is een sc h a ar parab o len , sym m etrisch t.o.v. de X as m et Q als p aram e te r, toppen door + i en opening n a a r links.

D e coördinaten u itg ed ru k t in /? zijn voor (3)

voor (4)

en

en

B lijkbaar w o rd t (3) w eergegeven door een sch aar p arabool- helften onder de X as en (4) door eene boven de X as, figuren 5i en 5n .

K enm erkend voor de p a rab o le n is d a t ze de 1" as snijden

.. I

voor ij = ± — .

V o o r groote w a a rd e n van Q is de opening van de p a rab o o l Q klein en heeft de modulus van (3) respect, van (4) een minimum in de b u u rt Q m et een w a a rd e van ongeveer i — .

„ 7 Q .

V o o r Q = — ligt het b ra n d p u n t van de p a rab o o l in O. V o o r

2

Q = o g a a t de p a ra b o o l over in een rechte /j 1 as, voor Q — oo in een rechte langs de X as.

181

D e getrokken lijnen in fig. 5i en 5n geven de P. F / n w eer van (3) en (4) voor Q gelijk a an O, O.J, I, 2 en J .

D e p arab o len van vergelijking (5) u itg ed ru k t in poolcoördinaten w o rd en

q cos op — i — (q Q y sin o p ...(6) D e P. F / n van de complexe uitdrukkingen (1) en (2) zijn w e e r­

gegeven in lig. 6i en 6n . Z e o n tsta a n door inversie uit de P .F . n van 5i en 5n.

D e vergelijking van de P. F / n van 6\ en 6n in J_ coördinaten is van de 4e graad. In pool-coördinaten vindt men voor deze krommen

Q COS Cp = Q— Q2 — Of sin _<P

D e krom m en snijden van de 1 as stukken te r grootte van i Q.

M e n zou deze krommen die door inversie verbonden zijn met de p arab o len van de vergelijkingen (5) respect. (6) gevoeglijk cardioïde-vorm en kunnen noemen. V o o r Q = — o n ts ta a t de ge-

2

wone cardioïde die corresp o n d eert m et de bijzondere parabool, w a a rv a n het b ra n d p u n t in O ligt.

N a d e r e duiding van de figuren 5 i , 5 n , 6i en 6n vindt men uit h et v e rb a n d tusschen een punt in het complexe vlak en de grootte van ft.

In lig. 5i is x — I — ft" en in lig. 5n is x = i ---- constante

w a a rd e n van ft correspondeeren blijkbaar m et lijnen // F as. P D eze zijn aangegeven door stippellijnen met bijgeschreven w a a rd e n van — respectievelijk ft.

P I ft

V o o rts is in 5i ij = --- en in 5n ij = - ; dit zijn lijnen // A"as

P Q Q

die m aatgevend zijn voor sam enhang van ft en 0 (streep-punt lijnen).

In fig. 6i en 6n vindt men door inversie voor deze rechten cirkels m et m iddelpunt respect, op de X as (stippellijnen) en op de F as (streep-puntlijnen).

V o o r groote w a a rd e n van 0 kunnen de p arab o len van fig. 5i en 5n in de omgeving van O b en ad erd w orden door rechten en

182

183

{3=t,5 V I 0,9 0,5 O

B o v e n : figuur 5ll . O n d e r : figuur 6n .

184

w el g a a t de uitdrukking (3) o ver i n ---( j a ) m et — A

j J Q

en (4) g a a t over in — ( / + j a ) m et a ^ + 2 A Q .

In fig. 6\ en 6n gaan voor groote Q de krom m en bij b e n a d e ­ö ring over in cirkels.

Toepaddingen op eenvoudige oyolemen.

D e im pedantie van de serie- en parallelketen.

1). Frequentie v ariab el:

a). V o o r de serieschakelingen fig. 7 is de

* = R ( i + ja ) . im pedantie

F igu ur 7.

S erie-ketens.

W e vinden voor geval /.

II.

II I .

— I

a = --- co C R _s

is positief

is negatief

is positief en negatief.

Q ct;

185

D e P. F .’ n zijn rechten // imag. as op a fsta n d R s .

b). V o o r de parallelschakelingen fig. 8 is de im pedantie R

i + J a

W e vinden voor geval

I. a = — R_P

co L is negatief II. a = co C is positief

III. a = v Q. is positief en negatief.

o

I Rp

o

L

O

E Rc o-

M Ro o

j I

0

(3=1)

F iguur 8.

P arallel-ketens.

e P .F . 'n zijn cirkels m et m iddelpunt op reëele as en diam eter

P '

In de uitdrukking voor a is v de verstem m ing gedefinieerd d o o r :

co co I

v = --- - = p - -

co co f$

°>o = I

L C is de resonantie-frequentie.

Q is de k rin g k w aliteit of k w aliteitsfacto r. V o o r de serie- 'C

L ’ kring is Qs = — j / — , voor de p arallelkring is = R p |

186

Bij enkelvoudige trillingssystem en k an de fa cto r Q op ge­

schikte wijze gedefinieerd w o rd en uit de differentiaalvergelijking.

Z o o w el bij de zuivere serie- als bij de zuivere parallelkring hebben w e voor de stroom respect, de spanning een differentiaal­

vergelijking van de 2e orde m et constante coëfficiënten. Is deze d~ x d x

----r— b k ---- b n x — o dan k an Q voor beide gevallen gedefinieerd

d f d t

w orden u i t : Q — — .n

c) Spanning a an L of C van een serie trillingskring bij con­k stan te am plitude van de ingaande spanning en variabele co (fig- 9).

L

O

u

Uc

F igu u r 9.

D e spanning a an L w o rd t voor enkelvoudige sinustrilling U : _ j co L co

U °

UL = I j co L = U jc o L R _s co_o

R o ( i + j v Q ) ^q

CO_o CO D e spanningsverhouding

UL j f i Q ^co

= --- met p = — CO

V e r d e r is

U _c i Q

u i P i + A t -

1 Q

D it zijn de reeds beschouw ende uitdrukkingen (1) en (2). D e P. F / n van u L en U kunnen dus w eergegeven w o rd en door de krom m en van fig. 6i en 6u. U it deze figuren (of uit de in­

verse krom m en fig. 5( en 5n) ziet men, d a t de modulus van de

187

verhoudingen voor groote Q een maximum w o rd t voor fj en v ^ o . V o o r groote Q en verstem m ing v - 0 is:

en - J - - - j QU U

Q is dus een m a a t voor de „resonnantieverhooging” aan L re s ­ pectievelijk C.

d) D e im pedantie van een parallelkring met w e e rsta n d in beide ta k k e n (fig. 10):

o

L

R,

o ^C

R,

Z = o

L + R ,R . c

(R , z volgt

F igu ur 10

I R

j u C ' (Rr + R,) (r Q)

In geval van kleine demping is de teller ^ — en w o rd t de P. F.

bijna een cirkel. c

V o o r R = R is de P. F. steeds een cirkel, die voor R —1 2 1

— R 2 = j / ^ in een p u n t o v e rg a a t Z = R . 2

2) W e e r s ta n d variabel.

a) Im pedantie van een serieketen van L, C en R $.

D e P. F. van Z w o rd t een rechte _L imag. as gaande door j co L +

J CO C

en liggend in le of vierde k w a d r a n t (fig. 11).

b). Im pedantie van een p arallelk eten van L, C en R .

188

D e P. F. van is een halve cirkel op

4e k w a d r a n t (fig. 12). in le of

j co C 4-

J & L

V o o r co2 L C — i krijgen w e in beide gevallen de positieve reëele as als P. F., dus Z alleen reëel.

3) L of C v ariab el (afstem m en van kringen bij b ep aald e frequentie).

a) Serieketen. D e P. F / n van de im pedantie Z — R s + j co L -f- + ---— w o rd en afgebroken rechten (fig. 13).

F igu ur 13.

189

D e complexe uitdrukking van Z is in beide gevallen te h e r­

leiden to t

Z = R ( i + j a ) = R , ( i + j p Q) Bij L variab el stelle men

I^j — I^jQ ^“f- p P L 0 is de w a a rd e van L w aarbij

L - L 0 A L

Lq Lq

co L 0 —---- 1 en

co C R

L o

C Bij C variabel stelle men

C = C0 + p C C0 volgt uit

P C - C0 A C

C C

i 1/ L

— co L en (J =

CO Cj o R s '

p is in beide gevallen een m a a t voor de verstemming.

b) P arallelketen. V o o r de adm ittantie krijgen w e als P. F / n afgebroken rechten, dus voor de inverse im pedantie niet vol­

tooide cirkels (fig. 14).

D e complexe uitdrukking van Z is voor L of C variab el te herleiden to t

R é * R p i + j a i + j p Q Bij L variab el stellen w e nu

L - L0 A L L — L 0 + p L _{P =}

L L

190

Bij C v ariab el stelle men

~ ~ ~ C - C0 A C

C — C0 + p 6 o P — --- —---

C C

L 0 en C0 als sub. a) en Q — J/ — respect. Q =R^

V o o r groote w a a rd e n van Q gaan de P. F / n over in vol­Co

ledige rechten en cirkels; voor zeer kleine Q o n tsta a n halve rechten en cirkels in le of de k w a d ra n t.

d) In de bekende brugschakeling, fig. 15, vindt men v o o rd e spanningsoverdraging als de b ru g ta k niet b elast i s :

I R Ü ,

V e ra n d e rt

I ^{“ h} J Cl j ² w

--- = e' a -

I - j a

bij co n stan t gehoud

co ^{C R} en cp = bg tg a

en am plitude van U de a, dan

beschrijft de P. F. van U2 een halve cirkel om de oorsprong.

D e am plitude van v . is dus constant en de hoek van U\

m et U v a rie e rt van o to t n.

a la a t men v eran d e re n door co, C of R te wijzigen.

E en gelijksoortige schakeling is ook mogelijk m et L en R . V o o r het instellen van grootere hoeken dan n k an de scha­

keling in cascade uitgevoerd w orden.

191

Polaire figuren van het tweemazennet.

1 en I 2 zijn de stroomen, Z : en Z ^ de im pedanties ro n d ­ gaande in le en 2e m aas; ^ is de im pedantie van de koppel- tak. Fig. 16.

U it de vergelijkingen voor de beide mazen vindt men:

1 = Zu - - -

7 z z - z\ u

k

D e differentiaalvergelijking van h et systeem bij kortgesloten spanningsbron volgt door nulstelling uit de gemeenschappelijke noem er Z t Z 2 — Z k. *)

B e v a tte n de drie ta k k e n ieder L, C en R , dan is de differen- rentiaalvergelijking van h et systeem van de de orde. O n tb re k e n een of m eerdere van deze elementen in de tak k en dan kunnen differentiaal vergelijkingen o n tstaan van lager orde. W e r k t e e n enkelvoudige w isselspanning op h et systeem en is de frequentie co variabel, dan geven de eenvoudige gevallen aanleiding to t

polaire figuren die eveneens eenvoudig zijn en van bekend type.

B ev atten de drie tak k en van h et tw eem azennet alleen w e e r­

stan d en capaciteit, fig. 17, of alleen w e e rs ta n d en zelfinductie, dan is de differentiaalvergelijking van het systeem van de 2e orde. M en k a n deze dan schrijven in den vorm

*) U it de uitdrukking van de Z in de noem er kan men op b ek en d e w ijz e tot de differentiaalvergelijking van het systeem kom en door voor j co en Z — in te voeren ^11 respect. [... d t . Bijvoorbeeld / —— en Z = R~\~

j co d t J Z

Jr j c o L Jr __—_ levert op als differentiaalvergelijking van het systeem j c o C

R i + L — + 1 [ i d t — o .

d t C J

192

r d 2 i _ d i i L ---- + A — + — = o

d f d t C

de w a a rd e van L } R en 6 die als constanten van het systeem zijn op te v atten en de dimensie hebben van zelfinductie, w e e r­

stan d en capaciteit volgen uit de circuitelem enten en zijn posi­

tief reëel.

O p grond van de differentiaalvergelijking voeren w e in de

/

grootheden cd0 =

j/

~ die we ook hier reson-L nantiefrequentie en krin g k w aliteit zullen noemen.

D e Q die men vindt bij een tw eem azennet m et alleen R en C s of alleen R en L s ió ólcedd <C—. H ieru it volgt, d a t het systeem voor alle w a a rd e n van de circuitelementen aperiodisch 2 is. ATen zal dit ook op grond van physische voorstellingen v e r­

w achten.

F igu u r 17.

Als verdere beperking beschouw en w e h e t geval, w aarbij in de k o p p e lta k alleen L of C of R voorkom t.

Schakelingen van dit ty p e w o rd en veel to eg ep ast en de eigen­

schappen erv an w o rd e n hieronder n a d e r nagegaan. ^Ve bepalen ons daarbij to t het tw eem azennet m et R en C.

In fig. 18 en 19 zijn 2 voorbeelden aangegeven m et aLleen capaciteit in de k o ppeltak.

I

F igu u r 18.

r ^ n i u i rR, -njirub—1 óÖ

o

C, Co

F igu ur 19.

V a n fig. 18 k an aangetoond w orden, d a t deze h et g ro n d ty p e is van de w eerstan d g ek o p p eld e v e rste rk e rtra p . D it w o r d t n a d e r

193

in het tw eede gedeelte van de v o o rd rach t behandeld. Fig. 19 b e v a t een C element m inder; de schakeling kom t men o.a. tegen als ontkoppelingsm ethode bij gelijkspanningsvoeding en bij rege­

ling van buizen.

V o o r beide schakelingen w o rd t de stroom in de 2e m aas van den v o r m :

ü ü

I =

R -f- j co L H—-

j co C

R ( / + j v Q)

R , L en C volgen uit de circuit grootheden.

D e P. F. van I bij veranderlijke frequentie of verstemming is b lijk b aar een cirkel en de modulus | / J is de gewone reson- nantiekrom m e.

W e vinden in schakeling fig. 19 voor

R = R , [ / + ^ ) + RL = R R C_{I 2 I} C = C

Cdo —

C R C R 1 1 2 2 en _{Q =}

c.

c.

K \ ' + ^ ) + X ,

of voor de co0 en Q u itg ed ru k t in de tijdconstanten

* , = C , R , x — C R^ _{2 2 2} x = C R , _{3 2 1} r = r + r -f r, _{1 2 3}

CO o ¹ en ^\lx x_{I 2}

X X / 2 ^{CO o X}

A angetoond kan w o rd en d a t Q — blijft voor alle combinaties van positieve w a a rd e n van R f R 2 C: en C2.

M e n kom t to t een eenvoudige vertolking van de schakeling door a an de hand van de vergelijking van I 2 voor fig. 18 en 19 h et vervangingsschem a fig. 20 in te voeren.

Kvenals in schakeling fig. 9 vinden w e dan direct voor de verhouding van de spanning u . aan C, en de ingaande sp a n ­ ning U .

U j j }

Q

I P =

1 + J \P - Q

CO

(O

19d

D it is dezelfde uitdrukking als die sub (2) w a a rv a n de P. F.

in 6n is aangegeven. D a a r hier Q <C — blijit, w o rd t de spanning

2

aan C t w eergegeven door de krom m en van 6\\, gelegen tusschen

t

L R2

\_

R C,

F ig u u r 20.

de halve cardioïde voor h et limietgeval Q = — en de halve cir- kei voor Q — o. D eze zijn n a d e r w eergegeven in hg. 21, w a a r ­2

bij het linkerdeel een vergrooting is van het gebied bij de oorsprong.

V o o r h e t spanningsverloop v an U a an C als functie van B_{2 2} is b lijk b aar alleen de grootheid Q bepalend. Q is dus m aatgevend

voor het gedrag van de schakeling, o.a. voor de ligging en vorm van de P. F. van ü 2 .

N a d e re duiding van fig. 21 volgt uit de snijding van de P. F. 'nü

195

voor bepaalde Q m et de cirkels voor bep aald e ^ of D e neem t bij grootere frequentie voor kleine Q minder

/3

modulus

snel af dan voor grootere Q. V o o rts n a d e rt voor h et grensge-U val O — — y voor groote co de hoek to t — ti en van Q = o to t — — .n

^ ^{2 2}

D e in fig. 21 en 22 aangegeven krom m en voor Q — — heeft betrekking o p schakeling fig. 19 voor R f — R 2 = R en Cr = C2 = C w a a rv o o r r — 3 R C en co = --- .

° ie c

Is in fig. 19 R f Ci — R 2 C , en R 2 R f dus Cf C2 dan n a d e rt Q to t — .

2

Uz\U

F iguur 22.

In fig. 22 is de modulus U₂

ü = f (co r) m et Q als p a ra m e te r geschetst voor Q = o , — en — . O o k hieruit ziet men d a t voor

J ²

kleine w a a rd e van Q bij hooge frequentie de modulus langzam er to t nul nadert.

In fig. 23 is een tw eem azennet m et R en C aangegeven w a a r ­ bij in de k o p p eltak alleen weerstand voorkom t.

V o o r de spanning V, aan C , vindt men de uitdrukking:

U. = U R

,

=

R -\- i co L 4—_{w' «} R ( / + j v Q) j u C

196

m et R = R i + R k + ( R 2 + R J S L = ^ ( R/ ^ + R r R k + ^ R J en C = Cf .

aio en Q kunnen hieruit n a d e r w o rd en b epaald.

U it de vergelijking voor U2 ziet men d a t deze spanning ge­

vonden w o rd t uit een vervangingsschem a fig. 24 als de spanning aan R k . V o o r een spanningsverandering in de eeréte m aas fig. 23 vindt men het m schakelverschijnsel van de spanning a a n capa­

citeit C2 als overeenkom stige spanning aan w e e rs ta n d R k in de serie L C R keten van _fig. 24.

F igu ur 23.

L C

F iguur 24.

U²

D e P. F. van —— is een cirkel door O m et m iddelpunt op de

• • i R k

positieve reeële as en m et middellijn — . R

C, C2

F igu u r 25.

In de iets eenvoudiger schakeling fig. 25, die o.a. w o rd t to e ­ g e p a st bij dubbele gelijkspanningsblokkeering, is h et verloop van de spanning a an R 2 van belang. W e vinden voor deze:

I R = U ---

£__i kom t overeen m et de uitdrukking sub (1).R U

197

P — — ; zij xf = R . C. co = R . C x CD

dan is cd =_o

I I _{2 2 3} — R C e n r = r + r + r_{1 2 j 2 3}

x x_{i 2} en Q ^I I

CD X _o . O o k hier is — . / R

D e P. F. 'n van -±=A

U m et Q als p a ra m e te r zijn de spiegel- beelden t.o.v. de reeële as van de krom m en in fig. 21 ; de w a a r ­ den van de indiceerende cirkels hebben betrekking op

co x_o D e moduli uitgezet als functie van

cd x_o hebben hetzelfde v e r­

loop als de krom m en van fig. 22.

In schakeling fig. 25 kom t van R f = R 2 en C = C eveneens Q — — te voorschijn.

3

B eschouw en we nog h et tw eem azennet m et R en C ’s, t e r ­ wijl in de k o p p e lta k weerstand en capaciteit voorkom t, fig. 17.

W e r k t in de eerste m aas een spanning U, dan vindt men voor de stroom / in de tw eed e m aas

j = jj ______ l + a j P

f$ = — , voorts volgen ay b, Q en CD ^cdq uit de R en C ’s van het systeem . CD

D e P. F. van I Is te vinden als het p ro d u ct van een rechte en een cirkel. Schrijft men

7 = —

* b

* + j [ P - - p \ Q

+ u -

b Q ' + j [ P - - p \ Q

dan is de P. F. van I te vinden als de sommatie van tw ee₂ eenvoudige P. F /n . D e eerste term is het p ro d u ct van — en een cirkel gaande door O en + / . D e tw eede term is h et p ro ­b duct van U ---- en een cardioïdevorm (fig. 63, w elke b e p a ald

b Q . ⁱ

is door de grootte van Q. O o k hier is O Q <C — •

V oor de stroom in de andere ta k k e n of voor de spanning aan de w e e rs ta n d of de capaciteit in een der ta k k e n vindt men

198

gelijksoortige uitdrukkingen en P. F / n als hierboven zijn a a n ­ geduid.

H e t tw eem azennet m et alleen weerstand en z e lf inductie leidt to t analoge gevallen en uitkom sten als die van het tw eem azen R C net.

Caócadedchakelingen m et versterkerbuizen.

'W e nemen aan, d a t er geen terugw erking is van de v e r­

sterk te spanning; er is dus koppeling in slechts één richting.

In een schakeling volgens fig. 26 is

U _ =_ - g , u z , en I ë> g g U Z2 ƒ

R + Z_{T I} (R , + z ,) + Z ,)

g en g 2 zijn de v ersterkingsfactoren, R en R 2 de inwendige w e e rsta n d e n van de b uizen.

F ig u u r 26.

N em en we aan d a t Z z en Z 2 alleen uit R en L of R en C b e s ta a t dan leidt h et systeem voor de stroom in de la a tste ta k to t een differentiaalvergelijking van de 2e orde en k an w e e r een co0 en een Q gedefinieerd w orden.

Is voorts Z f = L f en Z 2 — L^ (tw eetrap s-sm o o rsp o elv erster- ker) dan w o rd t

j ___________ z I - i A ± Z _________ = ~ g , v

2 ~ L R i

+ R + j w L + — — R + j m L + ---

L f j ^{c o} L r j CD6

M e n k an ook hier de serie L C R keten als vervangingsschake- ling invoeren voor het aangeven van stroom en spanning in de uitgaande tak. D e P. F. van is een cirkel en de modulus I 2 als functie van de frequentie heeft de vorm van de gewone resonnantiekrom m e.

199

Stellen w e

r =

d an is

(Dn =

L _r L ₂

R i T R ₂

i/

r r x_{I 2}

7 = 7, + U

Q = V'.xf + x r co0r^{*2 1}

D e verhouding van uitgaande en ingaande spanning, de v e r­

sterking, volgt uit / U.

ar,g2 u (R , + Z.) <*, + ^ _{/ + I +}

J CD X7 J W en bij invoeren van ß = —CD

CD o

U. j ß Q

JT U

& I& 2 I — I I

+ i + j [ ß - - \ Q

ß2 J ß Q V ß

H e t rechterlid kom t overeen m et uitdrukking (1) en de P. F. van i U

o; p* U

& /O 2

-==- w o rd t w e e r v e rto lk t door de krom m en fig. 21. U it de

\ xi x 2

uitdrukking Q —

X I

volgt op eenvoudige wijze d a t Q < — is.

2

V o o r r/ = x2 b e reik t Q h et grensgeval — .

R ad io lab o rato riu m T. H . D elft.

EEN EENVOUDIGE DETECTIEFORMULE

door

L. H . M . H U Y D T S

U il collegeooordrachl October 1942.

AVe veronderstellen, d a t op een diode een sinusvormige w is­

selspanning m et am plitude Ü en een gelijkspanning V w erkt, fig. 1. D e gelijkgerichte stroom I die in de anodeketen o n ts ta a t is een functie van beiden: I — f ( U , V ) .

D eze functie k an voorgesteld w o rd en door een ruim tevlak of door k arak te ristie k e s c h a re n :

hetzij I = f ( U ) v m et V als p aram eter,A

of ï = f ( V ) g m et de w isselspanningsam plitude als p a r a ­ meter.

I = f ( V ) g is de z.g. richt lij Menschaar, geïntroduceerd door B arkhausen, fig. 2; deze k an volgens de definitie voor een b e ­ paalde diode op eenvoudige wijze door meting w o rd en v astg e­

legd.

E en gelijktijdige verandering in de w isselam plitude U m et ü en in de gelijkspanning V m et v lev ert een gelijkstroomver- andering i op, die uitg ed ru k t kan w o rd en door een dubbele T a y lo r ontwikkeling

202

u + v

V

d l

d v _V ^{+ V}

dl

d V

2

H---

+

In deze uitdrukking voor i denke men zich de m achten op bekende symbolische wijze u itg e w e rk t.

D e functie I — f ( U , V ) is voor een groot gebied van U en V vrijwel lineair. Als eerste b enadering b ep erk en w e ons to t de tw ee eerste term en van de reeks en s te lle n :

i u

F ig u u r 2.

R ichtlijnenschaar ƒ = ƒ ( ƒ / ) £ voor versch illen d e w a a r d e n van U. O m het instelpunt E, met C = 5 volt enkele d y n a m isc h e karakteristieken voor m o - d ulatiediep te 7n = o,y. Lijn a practisch een ellips in het lineair richtlijnen-

veld. Lijn b uitsturing tot in het niet-lineair gebied door te hooge m od u latiefrequ en tie.

D e coëfficiënten van ü en v geven w e a a n door

i en

i*

uA

het zijn de hellingen (steilheden) voor een b ep aald e b esc h o u w d e w a a rd e van U en V van de tw ee bovengenoemde ty p e n van k a rak teristiek en .

203

In een detectieschakeling o n ts ta a t de gelijkspanning V tenge­

volge van de w isselam plitude U en deze is dus de o n a fh an k e ­ lijk veranderlijke.

E en veranderlijke w isselam plitude komen w e tegen bij een am plitude gem oduleerde draagtrilling. Bij m odulatie m et een enkelvoudige trilling schrijven w e

u = ( U⁰⁾ + ü 7*COS JU t ) COS O0 t

- &U *lu

21 — CJ0) COS 00 t H— ^- cos (co — ^{ju) t} H— ^— cos (co ^{+ ju) t}

2 2

H e t frequentiespectrum b e s ta a t blijkbaar uit drie hoogfrequente trillingen, co heeft n.1. betrekking op de hooge frequentie van de draagtrilling en /u op de lage frequentie van de modulatie.

D e am plitude van de gem oduleerde trilling is u m + Üfl cos fi t of Uw + Up

F iguur 3.

In fig. 3 is h et eenvoudigste ty p e van een diode detectie- oi dem odulatieschakeling aangegeven. H e t parallelle i?-C-lid kan zoo gedimensioneerd en co en fi zoo gekozen w orden, d a t de spanning van het frequentiegebied tusschen co — ju en co ju practisch gelijkmatig op de diode w o rd t overgebracht. D e w e r ­ king van de schakeling b ren g t mede dat, afhankelijk van de

am plitude van de draagtrilling U, op de capaciteit een gelijk­

spanning o n tstaat, w a a rd o o r de anode een negatieve potentiaal V krijgt en een gelijkgerichte stroom I vloeit; de laagfrequente verandering in de am plitude van de draagtrilling, de modulatie, wijzigt deze gelijkgerichte spanning en stroom in overeenkom stig rythm e. W^e hebben dus een veranderlijk deel gesuperpo- neerd op U en een veranderlijk deel v^ op V en kunnen de daarm ee sam enhangende verandering tfl in de gelijkgerichte stroom, aangeven door

V = S, Ufi + S2 ...0 )

204

W e zullen deze de „deleclLCvergelijking” \ a n d e schakeling noemen, v^ is blijkens voorgaande een afhankelijk veranderlijke.

W o r d t de im pedantie in de diodeketen gevorm d door lineaire elementen (R en 6 onafhankelijk van de stro o m w aard e) en v er­

a n d e rt u sinusvormig, u — ü cos f i t } dan zijn ook i en v ^ si­

nusvormig. W e kunnen dus overgaan to t het invoeren van ge­

richte grootheden; de detectievergelijking w o rd t dan 1 — s U .. + s P_{fl I fl 2 fl}

D e im pedantie voor de frequentie fx in de diode-keten is

m et spanningsval I Z u ; de spanning a an de diode is h ieraan tegengesteld : = • D it gesubstitueerd geeft

ƒ„ = _{[X / f t} U „ — s I n Z„_{2 f t f l}

w a a ru it volgt voor de gedetecteerde laagfrequente stroom

7 + z?

r d + z ti (

2

sf d Cf \

definieerd door — = — 1 > volgt uit de horizontale afstan d

^ v v h van tw ee richtlijnen.

rd = T kan als een inwendige w e e rs ta n d o p gevat w o rd en en is

2

gedefinieerd door r = a V'

a/

V o o r een am plitude van de draagtrilling van enkele volt en een w e e rs ta n d R van enkele tienden M Q is de d etectiefacto r

— ongeveer 0,9, voorts is r van de grootte orde van i o 4 Q .o js - ongeveer 0,9, voorts is i ,

s ₂ d

O p grond van de detectieform ule (2) kunnen w e het vervanging v- échemafïg. 4 invoeren. D e beteekenis ervan blijft b e p e rk t to t de een­

voudige duiding van de grootte van de stroom I en de sp a n ­ ning aan Z ; h et schema geeft geen aanwijzing voor h et inscha- kelverschijnsel, hiervoor m oet teruggegaan w o rd e n to t het mechanisme van de niet lineaire functie van de diode.

205

In fig. 4 is Z /{ de im pedantie (voor de frequentie ju) tusschen anode en k ath o d e van de d iode.

D e gedetecteerde spanning die aan Z o n s ta a t is s _- U —

s ₂ " ^V_{d ^ ^ f-i}^{4- X}

D e vertolking van de diode detectieschakeling kom t op fra- pante wijze overeen m et de vertolking van de triode als lineaire v e rste rk e r voor w a t b e tre ft de /.^.-stroom en spanning in de uitwendige keten en het vervangingsschem a.

Fiïguur 4.

Bij de triode is de v ersterk in g sfacto r practisch / ; de detec-

s '

tiefactor — is echter kleiner doch ten naastenbij gelijk a an I.

s_j

W o r d t de im pedantie in de diodeketen gevorm d door R // C fig. 2, d an is

R

i + j ju C R en de gedetecteerde spanning w o rd t

u„ = - u,

I 4---Y j j J i C r

R d

D e polaire figuur van Uz beschrijft bij varieerende ju een halve_[i cirkel; voor kleine ju is de modulus een maximum, voor groote [u neem t de modulus a f en z a k t to t —— van de max. w a a rd e voor /u C r<i vrijwel = i .

206

In fig. 5 is een veel toegepaste diode-detectieschakeling a a n ­ gegeven. D e gedetecteerde spanning w o rd t afgenomen van

H e t vervangings-detectieschem a kan herleid w o rd en to t een tw eem azen R C netje m et Cj als koppelingstak en w e vinden voor de spanning u , over R 2 een eenvoudige uitdrukking:

R _I

~ R

R ₂

+ R s + J P C ,R lR 2 + T---—

J P - C 2

In deze uitdrukking is

R , =

rdR,

r <t + R ,

D e noem er kom t overeen m et de im pedantie van een serie R -L-C - k e te n ; w e kunnen dus een resonnantiefrequentie co0 en een kwa- liteitsfacto r Q invoeren.

N em en w e nog a an d a t practisch

c , « c ,

dan w o rd t

rd« R,

U . = ^{7 U »R -}

R 2 + J P C, rd R 2 +

7

j

J r ^{2 2}

U it de eerste uitdrukking volgt een eenvoudig vervangingsschem a;

207

een spanning — U„ R 2 w erk en d e op een serieketen m et w eer-s _ iS₂

stan d R o, een zelfmductie Cj rd R 2 en een capaciteit C2.

Stellen w e r — C r , en x — C R als m arkeerende tijdcon-_{I I ö - 2 2 2 '} constanten, dan w o r d t

D e polaire figuur van de gedetecteerde spanning gemeten aan R 2 beschrijft bij varieerende [x een heele cirkel m et max. mo­

dulus voor /x = co0. D e freq u en tiek arak teristiek W ,\ — f (/'O heeft een vlak verloop w a n n e er Q klein is en heeft den vorm van de resonnantiekrom m e.

Practische getallen in de schakeling fig. 5 zijn:

rd = io 4 Q R = o,2 M Q R 2 — i M Q CT — 7 5 p.F . C2 — 3 n.F.

H ie ru it volgt . V o o r het p ro d u ct fx rd en /x C^R^

vrijwel gelijk één z ak t de modulus to t de helft van de max.

w a a r d e ; dit is m et de aangegeven getallen bij frequenties van ten naastenbij 2.1 o5 re s p e c t.30 H z. D e verhouding van deze tw ee frequenties is - L .

V olgens de boven toegepaste quasi-lineaire vertolking van de diode-detectieschakeling, w orden voor kleine m odulatiediepten, dus kleine ü^, om het instelpunt E in het richtlijnenvlak ellip­

sen beschreven, lijn a fig. 2; h et punt E w o r d t b e p a ald door de grootte van de am plitude van de draagtrilling. V o o r kleine fx gaan voor schakeling fig. 3 deze ellipsen over in de rechte OP. D e vorm van de ellips voor verschillende /x volgt uit Z^.

V o o r groote w a a rd e n van /x w o rd t de opening van de ellips en de helling van h a a r hoofdas g ro o t: hierdoor k a n de d y n a ­ mische k a ra k te ristie k van het w e rk p u n t in het richtlijnenvlak ook voor relatief kleine w a a rd e n van de m odulatiediepte to t in het sterk niet lineair gebied rijken, fig. 2 lijn b. D e helling van de ellips-as w o rd t bep aald door [X en de tijdconstante C R f , die voldoende klein moeten zijn. Bij groote R f m oet derhalve Cr klein gehouden w orden.

208

In schakeling fig. 5 w o r d t de helling van de ellips-as mede b ep aald door C2 en R 2 ; men kan door berekening zich overtuigen, d a t R 2 liefst ongeveer j X g ro o ter dan R f moet gekozen w orden.

W e zijn bij de afleiding van de detectieform ules uitgegaan van een lineaire benadering van h e t richtlijnenvlak. D e afwijking van de lineariteit is immer oorzaak van eenige vervorm ing in de gedem oduleerde spanning. M e n kan deze vervorm ing op gelijke wijze als bij de triode berekenen, door een a a n ta l van de hoogere afgeleiden in de b esproken dubbele T aylor-ontw ikkeling mede in aanm erking te nemen. V o o r m oduleerende frequenties w aarbij Z fl practisch ohm-sch is, g a a t dit vrij eenvoudig; voor w a a rd e n van fi w aarbij de im pedantie in de diode-keten complex w o rd t, is de berekening u itv o e rig e r.1)

R ad io lab o rato riu m T. H.

D elft.

l) blad

D e principieëele gan g van de berekening hiervoor nader uitgew erk t.

is in een college

SELECTIEVE SCHAKELINGEN MET R-C-LEDEN

door

L. R. B O U R G O N J O N

Voordracht gehouden voor hei Nederlandóch Radio genootschap op 29 Januari 1945.

W e willen in dit artik el eenige frequentie-af hankelijke scha­

kelingen n a d e r beschouw en, w a a rin de frequentie-afhankelijkheid w o rd t verkregen zonder gebruik te m aken van zelfinducties.

O n d e r selectieve schakelingen zullen w e v e rsta a n schakelingen voor het doorlaten van b epaalde frequenties (selectieve v e rs te r­

kers en filters), en generatorschakelingen.

V olgens deze omschrijving is dus iedere v e rste rk e r eigenlijk een selectieve v ersterk er, d a a r de versterking steeds een functie van de frequentie is. In het voorgaande artik el van Ir. H u y d ts is b.v. reeds besproken d a t h et gedrag van een eenvoudige w e e rs ta n d s v e rs te rk e r overeenkom t m et een trillingskring, w a a r ­

van de k rin g k w aliteit echter steeds kleiner dan 7/2 is. D e rg e ­ lijke v e rste rk e rs w o rd en echter zelden als selectief elem ent be­

schouw d ; d a a rv o o r is h et verloop van de versterking als functie van de frequentie te weinig geprononceerd. M e e sta l is een grootere frequentie-afhankehjkheid noodig dan op deze wijze verkregen k an w orden.

O m dit te bereiken zijn diverse oplossingen mogelijk. D e m eest bekende schakeling is de hoogfrequent-versterker m et een afge­

stem de kring in de anode- of roosterketen. D o o r h et aanbrengen van een geschikte terugkoppeling is deze schakeling tevens als g en erato r te gebruiken. V o o r v e rste rk e rs van hooge frequenties is deze schakeling de aangew ezen weg. Is het noodig een re la ­ tief smalle frequentieband te v ersterk en inplaats van één b e ­ p aald e frequentie, dan v erv an g t men de enkelvoudige trillings­

kring door een bandfilter, b estaan d e uit 2 losgekoppelde afge­

stemde kringen. D ergelijke schakelingen zijn, door de verbrei-

210

ding van de radio-ontvangtoestellen, in zeer groote getale ge­

regeld in gebruik.

D a a r n a a s t heeft zich voor frequentie-afhankelijke schakelingen de filtertechniek ontw ikkeld. H e t frequentie-afhankelijke element is hier m eestal los van de schakeling m et de buizen, dus los van de eigenlijke v ersterk er, en is hiermee in cascade gescha­

keld. D it systeem, d a t b.v. in de draaggolftelefonie een uitge­

breid toepassingsgebied heeft gevonden, biedt veel vrijheid. H e t is langs deze weg mogelijk om aan zeer speciale eischen van i requentie-af hankehjkheid te voldoen. D e filters w o rd en op^e- bo uw d uit zelfinducties en capaciteiten.

Bij al deze oplossingen zijn w e gestuit op het gebruik van zelfinducties. D eze vorm en dan m et de condensatoren afgestem - de kringen voor de betreffende frequenties. N a a rm a te echter de frequentie w aarm ee w e w erk en lager is, krijgen deze zelfinduc­

ties grootere w a a rd e n en w o rd en moeilijker te realiseeren.

V o o r een eenvoudige trillingskring hebben w e de bekende b e ­ trekking :

i

V o o r lagere frequenties moeten w e dus de L of de C k w a d r a ­ tisch vergrooten. H e t is niet mogelijk om alleen de capaciteit te vergrooten, d a a r dan de w e e rsta n d van de keten bij reson- nantie te laag w o r d t :

R = Q (OL = -0 -

* cdC

W e zijn dus w el gedw ongen om m et groote zelfinducties te w erken. W a n n e e r w e groote zelfinducties als luchtspoel uitvoe­

ren w o rd en deze onhandig groot. Tevens hebben dergelijke spoelen zeer groote velden om zich heen, w a a rd o o r spoedig onderlinge koppeling o n ts ta a t en w a a rd o o r ook, door aanw ezige magnetische velden, hinderlijke spanningen geïnduceerd kunnen w orden (b.v. 50 H z). M en kom t dan op het gebruik van ijzer- kernen, w aarm ee w e echter een niet-lineair elem ent introdu- ceeren.

H etzelfde probleem doet zich ook voor bij generato ren voor lage frequenties, w a a r dan, als e x tra moeilijkheid, de continue instelbaarheid van de frequentie bij komt.

M e n heeft de oplossing van deze problem en o.a. gezocht in de frequentie-transform atie. D it heeft geleid to t de algemeen

211

verbreide zw evingsgeneratoren eenerzijds en de selectieve scha­

kelingen, zooals die b.v. in de freq u en tie-an aly sato ren w o rd en toegepast, anderzijds.

D ergelijke schakelingen zijn echter vrij gecompliceerd, terw ijl juist in een laboratorium v a a k de behoefte b e s ta a t aan een eenvoudige selectieve v e rste rk e r of g e n erato r voor een lage frequentie. V o o r dergelijke problem en is v a a k een geschikte oplossing te vinden in die schakelingen, die w e hier als R-C - schakelingen aanduiden en w aarbij geen zelfinducties gebruikt w orden.

O m het gedrag van deze soort schakelingen gemakkelijk te overzien, zullen w e gebruik m aken van polaire figuren, zulks in aansluiting op het artik el van Ir. H u y d ts. In d a t artik el w e rd er op gewezen d a t vaak b epaalde schakelingen te vergelijken zijn m et een trillingskring. D a a ro m zullen w e de polaire figuur van de trillingskring nog iets n a d e r bekijken.

V o o r een p en th o d e-v ersterk er m et afgestem de kring in de anodeketen vinden w e :

ƒ = =U

u = s Z_{sr a}

V o o r de im pedantie in de anodeketen schrijven we

i i I ~

— — ---1--- b 1 CO C

Z _a iV jc o L_{p J}

Z = R

i +jvQ

212

w aarbij w e ingevoerd hebben:

Q = R P

CO co_r

V — --- CO _r o

1 L C

W a n n e e r w e dit verloop van de versterk in g in h e t complexe vlak uitzetten, verkrijgen w e steeds een cirkel door de o o r­

sprong. Bij resonnantie is de versterk in g m axim aal en reëel.

F ig u u r 2.

P olaire figuur van een versterker m et a fg e stem d e kring.

In de figuur w o rd t dit h et snijpunt m et de reëele as. V o o r andere frequenties w o r d t de versterking w eergegeven door a n ­ dere punten van de cirkel. D e frequentie die bij ieder p u n t van de cirkel behoort, w o rd t alleen b ep aald door de reson- nantiefrequentie en de kringkw aliteit. In de figuur 2 is dit ge- teekend voor een k rin g k w aliteit van Q — 20. D e frequenties zijn op de cirkel aangegeven in verhouding to t de resonnantie- frequentie.

W e zien uit deze figuur nog eens duidelijk, d a t het grootste

213

deel van de cirkel betrekking heeft op frequenties die weinig afw ijken van de resonnantiefrequentie.

D e w a a rd e van de k rin g k w aliteit is eenvoudig te bepalen uit deze figuur. W a n n e e r w e de punten nemen w a a rv o o r:

v Q = i dan w o rd t de v e rs te rk in g :

/ = 1 + j s_{g P}

V o o r deze speciale w a a rd e van v Q is dus de versterking ge­

d aald to t —-— X de maximale versterking en is dus de phase-

F iguur 3.

V er ster k e r met sp ann in gstegen k op pelin g.

hoek tusschen in- en uitgaande spanning juist 45°. D a t zijn dus de punten A en B uit fig. 2.

D eze punten zijn experim enteel eenvoudig te bepalen en d a a r ­ mee is dus direct de k rin g k w aliteit bekend. M e n behoeft slechts de resonnantie-frequentie en de beide frequenties w aarbij de versterking to t op —— X de maximale versterking gedaald is te meten, om Q direct te kunnen berekenen.p

Teneinde in te zien, hoe w e een dergelijke frequentie-karak- teristiek kunnen realiseeren zonder gebruik te m aken van een afgestem de kring, bekijken we de principiëele schakeling van een versterker, m et spanningstegenkoppeling. (Fig. 3).

W e denken ons de v e rste rk e r in h e t gebied d a t w e beschou­

w en willen, frequentie-onafhankelijk en zonder phasedraaiing.

V a n de uitgangsspanning voeren w e een deel, a U , terug n a a r de ingang. D eze spanningsdeeling w o rd t b ep aald door een vier-

214

pool T. K .y w elke zoowel w e e rstan d e n als condensatoren kan b e v a tten en dus in het algemeen frequentie-afhankelijk is.

U it de figuur volgt d a n :

ƒ I - a f

A fhankelijk van de spanningsdeeling a U2> w o rd t dus de resul- teerende versterking van de schakeling gewijzigd, zoowel n a a r grootte als phase. Is a reëel en negatief, dan krijgen w e een verm indering van de versterking, m et een daarm ee g ep aard gaande verm eerdering van de stabiliteit en de lineairiteit, de z.g. negatieve terugkoppeling of tegenkoppeling. Is daarentegen a reëel en positief, d an is juist h et om gekeerde het geval.

W a n n e e r h et nu mogelijk is om de vierpool T. K . zoo uit te

R

F igu ur 4.

B ru g sch a k elin g volgen s W i e n .

voeren, d a t voor één b ep aald e frequentie geen spanning d o o r­

gelaten w o rd t, terw ijl voor alle an d ere frequenties de teru g g e­

voerde spanning een zoodanige phase heeft, d a t de versterking verm indert, dan hebben w e een v ersterk er, w a a rv a n de v e r­

sterking voor die eene b ep aald e frequentie een maximum heeft.

D e g rootte van dit maximum is d an b ep aald door de w a a rd e van de versterk in g zonder tegenkoppeling.

D e frequentie, w a a ro p maximale versterking o p tre e d t en de vorm van de freq u en tiek arak teristiek , w o rd en dus voor een groot deel b e p a ald door de eigenschappen van het terugkoppel-