en aan te geven, kunnen we op En de structuur leggen van een vectorruimte isomorf met Rn

(1)

VII. Differentiaalmeetkunde.

§7.1. Tensoranalyse in de Euclidische ruimte.

Beschouw de n-dimensionale Euclidische ruimte E_n. Door een punt als oorsprong O te kiezen en een rechthoekig assenstelsel met een orthonormale basis e1, . . . , en aan te geven, kunnen we op En

de structuur leggen van een vectorruimte isomorf met Rⁿ. Verder kunnen we elk punt P van E_n opvatten als de oorsprong van een n-dimensionale re¨ele vectorruimte en dus in elk punt een aparte vectorruimte leggen. Deze vectorruimte heet de raakruimte aan E_nin P (notatie T_PE_n). De reden voor deze naamgeving wordt verderop duidelijk. Door een continue keuze van orthonormale bases {e₁(P ), . . . , e_n(P )} van de raakruimten te maken, krijgen we een zogenaamde vectorbundel. Als verzameling is ditS

P ∈E_nT_PE_n. Hierbij is E_nde onderliggende (of basis-)ruimte, en de raakruimte TPEn is de vezel boven P . Lokaal (d.w.z. ”boven” een open deel U van En) ziet de vectorbundel er dan uit als het Cartesisch product U × Rⁿ. We zullen het begrip vectorbundel in dit college niet verder gebruiken maar wel gebruik maken van het feit dat in elk punt van E_n een raakruimte is gedefinieerd.

Door aan geheel En de structuur van een vectorruimte Rⁿ te geven d.m.v. de keuze van een oorsprong en een orthonormale basis e₁, . . . , e_n, kunnen we aan elk punt P van E_n co¨ordinaten toekennen: als

−−→OP = x¹e₁+ . . . + xⁿe_n,

dan zijn (x¹, . . . , xⁿ) Cartesische coördinaten van P . Verschillende Cartesische coördinaten (x¹, . . . , xⁿ) en (x⁰¹, . . . , x⁰ⁿ) van een punt P zijn aan elkaar gerelateerd door een basistransformatie van de vorm x⁰ⁱ = Aⁱ_jx^j+ bⁱwaarbij A een vaste (dus van P onafhankelijke) orthogonale matrix is, en de vector b (met componenten bⁱ) een vaste vector in Rⁿ. We zullen in het vervolg de Euclidische ruimte E_n waarin een oorsprong en een orthonormale basis {e₁, . . . , e_n} is gekozen (waarmee E_n de structuur van een vectorruimte krijgt), aanduiden met Rⁿ. De gekozen orthonormale basis is de standaardbasis van Rⁿ. De coördinaten t.o.v. deze standaardbasis geven we aan met x¹, . . . , xⁿ. Dit is dus een stelsel van Cartesische coördinaten.

Naast Cartesische coördinaten zijn er ook andere, meer algemene (kromlijnige) coördinatenstelsels te definiëren:

Definitie: Zij U een open deelverzameling van Rⁿ: laat op U n naar x¹, . . . , xⁿ differentieer- bare functies y¹ = y¹(x¹, . . . , xⁿ), . . . , yⁿ = yⁿ(x¹, . . . , xⁿ) gegeven zijn zodanig dat de Jaco- biaan





∂y¹

∂x¹ . . . ^∂y_∂xⁿ1

... . .. ...

∂y¹

∂xⁿ . . . ^∂y_∂xⁿn



 overal op U inverteerbaar is, dan zijn y¹, . . . , yⁿ reguliere (kromlijnige)

coördinaten op U en de coördinatentransformatie x¹, . . . , xⁿ → y¹, . . . , yⁿ heet dan een toelaatbare of reguliere coördinatentransformatie.

Volgens de inverse functiestelling is de co¨ordinatentransformatie in dat geval omkeerbaar, d.w.z.

x¹, . . . , xⁿ zijn op U differentieerbare functies van y¹, . . . , yⁿ en de Jacobiaan van de inverse coördinatentransformatie is de inverse van de Jacobiaan van de transformatie zelf. In het algemeen noemen we een coördinatentransformatie y¹, . . . , yⁿ→ z¹, . . . , zⁿ tussen reguliere coördinaten regulier. Merk op dat de Jacobiaan van zo’n transformatie altijd inverteerbaar is.

Voorbeelden: 1. Laat U ⊂ E₂geheel R²maar met weglating van de halve rechte {x²= 0, x¹≥ 0}

zijn. Dan zijn de poolco¨ordinaten r, φ gedefinieerd door x¹ = r cos φ, x² = r sin φ op U reguliere kromlijnige co¨ordinaten: ga na dat de transformatie x¹, x²→ r, φ op U regulier is.

(2)

2. Laat U ⊂ R³de deelverzameling van R³ zijn die ontstaat door het halfvlak x²= 0, x¹≥ 0 weg te laten. Dan zijn de cilinderco¨ordinaten ρ, φ, z gegeven door

x¹= ρ cos φ, x²= ρ sin φ, x³= z met ρ > 0, 0 < φ < 2π, z ∈ R reguliere co¨ordinaten op U .

3. Laat U ⊂ R³ als in het vorige voorbeeld zijn. Dan zijn de bolco¨ordinaten r, θ, φ gegeven door x¹= r sin θ cos φ, x²= r sin θ cos φ, x³= z

reguliere co¨ordinaten op U .

Raakvectoren, de raakruimte en de coraakruimte. Laat γ : [a, b] → Rⁿ een gladde kromme zijn, d.w.z. γ(t) = (x¹(t), . . . , xⁿ(t)) is een continu differentieerbare functie van t. Laat verder a < c < b en γ(c) = P . De vector γ⁰(c) = ((x¹)⁰(c), . . . , (xⁿ)⁰(c)) heet de raakvector aan de kromme γ in P . γ⁰(c) is een lineaire combinatie van de vectoren (1, 0, . . .), (0, 1, . . .), . . . en de raakvectoren vormen samen de raakruimte T_PRⁿ in het punt P . De dimensie van de raakruimte is n en een basis wordt gevormd door de vectoren _∂x^∂1 = (1, 0, . . .),_∂x^∂2 = (0, 1, . . .), . . .. I.p.v. _∂x^∂j

schrijven we ook, korter, ∂_j. Laat nu y¹, . . . , yⁿ reguliere co¨ordinaten op een open deel U ⊂ Rⁿzijn en P ∈ U . Laat γ als boven zijn en γ(c) = P . Vanwege de kettingregel is (x^j)⁰(c) = ^∂x_∂y^ji(yⁱ)⁰(c). De raakvector γ⁰(c) = (x^j)⁰(c)_∂x^∂j kunnen we dus ook schrijven als (yⁱ)⁰(c)_∂y^∂i en het verband tussen de twee bases van de raakruimte wordt dus gegeven door

∂

∂yⁱ = ∂x^j

∂yⁱ

∂

∂x^j (7.1)

en voor de componenten van een raakvector geldt (yⁱ)⁰(c) = ∂yⁱ

∂x^j(x^j)⁰(c). (7.2)

Vergelijken van (7.2) met (6.3) toont aan dat de raakvectoren contravariante tensoren van rang 1 zijn. De kromme γ definieert een raakvector op elk punt γ(t) met a < t < b langs de kromme. Dit levert een raakvectorveld langs de kromme. Op soortgelijke wijze is een tensorveld T van rang (r, s) op een deelverzameling W ⊂ Rⁿ een continue functie die een punt P in W afbeeldt op een tensor van rang (r, s) in T_s^r(TPRⁿ). Een scalair veld is een tensorveld van rang (0,0). Een tensorveld wordt gekarakteriseerd door het feit dat de componenten bij een co¨ordinatentransformatie transformeren als (6.3). Zoals al eerder is opgemerkt, wordt dit in (vooral de oudere) fysische literatuur dikwijls als definitie van een tensor(veld) gehanteerd.

De duale T_P(Rⁿ)^∗van de raakruimte heet de coraakruimte. Laat U een open omgeving zijn van P , en y¹, . . . , yⁿ reguliere co¨ordinaten op U . Een basis van T_PM wordt gegeven door {_∂y^∂1, . . . ,_∂y^∂n}.

De duale basis geven we aan met {dy¹, . . . , dyⁿ}. dyⁱis dus een covector en dyⁱ(∂_j) = δ_jⁱ. Laat nu f : U → R een functie zijn. De differentiaal van f is gedefinieerd als

df = ∂f

∂x¹dx¹+ . . . + ∂f

∂xⁿdxⁿ. (7.3)

Ga na dat we deze ook kunnen schrijven als df = ∂f

∂y¹dy¹+ . . . + ∂f

∂yⁿdyⁿ,

(3)

m.a.w. df is een covectorveld (of 1-vorm) op U en voor een vectorveld X geldt df (X) = (df )(Xⁱ∂i) = ∂f

∂y^jXⁱdx^j(∂i) = X^j ∂f

∂y^j =: X(f ).

De metrische tensor. Laat y¹, . . . , yⁿ reguliere co¨ordinaten op U ⊂ Rⁿ zijn. Om hoeken en afstanden te meten gebruiken we het (standaard-)inwendig product ( , ) op Rⁿ. Per definitie is (voor Cartesische co¨ordinaten)

µ ∂

∂xⁱ, ∂

∂x^j

¶

= δ_i^j. Dan is µ ∂

∂y^k, ∂

∂y^`

¶

= ∂xⁱ

∂y^k

∂x^j

∂y^` µ ∂

∂xⁱ, ∂

∂x^j

¶

= Xn i=1

∂xⁱ

∂y^k

∂xⁱ

∂y^`. (7.4)

De componenten van het inwendig product gedragen zich dus als een covariante tensor van rang 2.

Deze (symmetrische) tensor g heet de metrische tensor. De componenten van g t.o.v. een gegeven co¨ordinatenstelsel {y¹, . . . , yⁿ} zijn dus g_ij =

µ ∂

∂yⁱ, ∂

∂y^j

¶

. Merk op dat we de metrische tensor kunnen schrijven als g_ijdyⁱ⊗ dy^j. Meestal laat men het tensorproductsymbool weg en schrijft g = g_ijdyⁱdy^j of ook wel ds²= g_ijdyⁱdy^j. We komen later nog op deze notatie terug.

Laat J de matrix zijn met componenten Jij = ^∂x_∂yⁱj en G de matrix met componenten gij = µ ∂

∂yⁱ, ∂

∂y^j

¶

. Dan is volgens (7.4) g_k` = J_ikJ_i` dus G = J^TJ. De matrix G is dus inverteer- baar. Laat (G⁻¹)_ij = gîj zijn. Dan is dus gîjg_jk = δ_kⁱ en hieruit kunnen we afleiden dat gîj de componenten zijn van een contravariante tensor van rang 2, de inverse metrische tensor.

De metrische tensor en de inverse metrische tensor kunnen worden gebruikt om van een vector een covector te maken en omgekeerd: als v een vector is met componenten v¹, . . . , vⁿ, dan levert contractie met de metrische tensor een covector op met componenten v1 = g1jv^j, . . . , vn = gnjv^j. Omgekeerd is v^j = g^jkv_k. Een voorbeeld is de gradi¨ent ∇f van een functie f : U → R, een vector met componenten (∇f )^j = g^jk(df )k= g^jk ∂f

∂y^k.

Voorbeeld: poolcoördinaten in R². We hebben eerder gezien dat de poolcoördinaten r, φ zijn gedefinieerd d.m.v. x¹ = r cos φ, x² = r sin φ. Poolcoördinaten zijn regulier op de open deelverzameling U = {r > 0, 0 < φ < 2π} van R²(i.p.v. de halve rechte φ = 0, r ≥ 0 kan uiteraard ook een andere halve rechte φ = a, r ≥ 0 worden weggelaten). De raakvectoren in een punt met coördinaten r, φ zijn

∂_r = ∂

∂r = cos φ∂₁+ sin φ∂₂, ∂_φ= ∂

∂φ = −r sin φ∂₁+ r cos φ∂₂ waarbij ∂_j = _∂x^∂_j, (j = 1, 2). De duale basis is

dr = cos φdx¹+ sin φdx², dφ = −1

rsin φdx¹+1

rcos φdx². De componenten van de metrische tensor in poolco¨ordinaten zijn

g_rr= (∂_r, ∂_r) = 1, g_rφ= g_φ,r= (∂_r, ∂_φ) = 0, g_φφ= (∂_φ, ∂_φ) = r²

(4)

en de inverse metrische tensor wordt gegeven door

g^rr = 1, g^rφ= g^φr = 0, g^φφ= 1 r².

De metrische tensor is dus overal diagonaal (d.w.z. de gemengde componenten g_k` met k 6= ` zijn alle 0). Co¨ordinaten met deze eigenschap heten orthogonale co¨ordinaten. Laat W ⊂ U een open deelverzameling van U zijn en f : W → R een differentieerbare functie. Dan is

df = ∂f

∂rdr + ∂f

∂φdφ en de gradi¨ent van f is de vector

∇f = ∂f

∂r∂_r+ 1 r²

∂f

∂φ∂_φ.

§7.2. De covariante afgeleide van een tensorveld. Parallelle verplaatsing.

Laat v een contravariant vectorveld zijn in Rⁿ. Zoals we weten, is de gradiënt ∇v geen tensor onder algemene coördinatentransformaties. In feite geldt onder een coördinatentransformatie x⁰ⁱ → x⁰⁰ⁱ:

∂v⁰⁰ⁱ

∂x^00j = ∂v^0k

∂x^0`

∂x⁰⁰ⁱ

∂x^0k

∂x^0`

∂x^00j + v^0k∂x^0`

∂x^00j

∂²x⁰⁰ⁱ

∂x^0k∂x^0`. (7.5)

Het rechterlid bestaat uit twee termen: de eerste, tensoriële, term geeft de verandering aan van de componenten van ∇v onder een coördinatentransformatie. Als de tweede term nul zou zijn, dan zou ∇v een tensor van rang (1,1) zijn. De tweede term is de bijdrage van de lokale verandering van het coördinatenstelsel. Deze term heet de affiene term. Als x⁰⁰ⁱ = xⁱ Cartesische coördinaten zijn, dan kunnen we (7.5) herschrijven als

∂vⁱ

∂x^j

∂x^0k

∂xⁱ

∂x^j

∂x^0` = ∂v^0k

∂x^0` + v^0m ∂²xⁱ

∂x^0m∂x^0`

∂x^0k

∂xⁱ = ∂v^0k

∂x^0` + Γ^k_`mv^0m (7.3) waarbij de Christoffel-symbolen gedefinieerd zijn als Γ^k_`m= _∂x^∂_0m²^x_∂xⁱ_0`^∂x_∂x^0k_i . Indien x⁰ⁱook Cartesische coördinaten zijn, dan is Γ^k_`m = 0. In het bijzonder volgt hieruit dat Γⁱ_jk geen tensor is. We kunnen de Christoffelsymbolen uitdrukken m.b.v. de metrische tensor: laat g_ij de componenten van de metrisiche tensor zijn t.a.v. de coördinaten x⁰ⁱ (we laten hier het accent weg; dit geeft geen verwarring, omdat de componenten van de metrische tensor t.a.v. Cartesische coördinaten δij zijn). Dan is gij = ∂x^`

∂x⁰ⁱ

∂x^`

∂x^0j en dus is ∂kgij = ∂x^`

∂x⁰ⁱ

∂²x^`

∂x^0j∂x^0k + ∂x^`

∂x^0j

∂²x^`

∂x⁰ⁱ∂x^0k, en Γijk = 1

2(∂jgik+ ∂igjk− ∂kgij) = ∂x^`

∂x^0k

∂²x^`

∂x⁰ⁱ∂x^0j. Tenslotte is Γ^m_ij = ∂x^0m

∂x^`

∂²x^`

∂x⁰ⁱ∂x^0j = ∂x^0m

∂x^p

∂x^0k

∂x^p

∂x^`

∂x^0k

∂²x^`

∂x⁰ⁱ∂x^0j = 1

2g^mk(∂_jg_ik+ ∂_ig_jk− ∂_kg_ij). (7.6) We defini¨eren nu voor een contravariant vectorveld v met componenten vⁱ de covariante afgeleide als de tensor met componenten ∇_jvⁱ= ∂_jvⁱ+ Γⁱ_jkv^k. (Merk op dat in de literatuur voor ∂_jvⁱook wel v^j_,i en voor ∇jvⁱ ook wel vⁱ_;j geschreven wordt.) De covariante afgeleide van een contravari- ant vectorveld is een tensor van rang (1, 1). Voor een covariant vectorveld (w_i) kunnen we op

(5)

dezelfde manier te werk gaan, maar de volgende overweging geeft de covariante afgeleide van een covariant vectorveld op een snellere manier: voor een willekeurig contravariant vectorveld (vⁱ) is het inwendig product vⁱw_i een scalair veld en de afgeleiden ∂_iφ = _∂x^∂φ_i van een scalair veld φ vor- men de componenten van een covariant vectorveld van rang 1. De covariante afgeleide van een scalair veld is dus ∇jφ = ∂jφ. We bekijken nu een covariant vectorveld wi. Voor de covariante afgeleide leggen we de eis op dat de productregel moet gelden (immers deze geldt in het geval dat de co¨ordinaten Cartesisch zijn; daar de covariante afgeleide een tensor is moet dit dan in het algemene geval nog steeds gelden) d.w.z. voor een willekeurig contravariant vectorveld vⁱ is

∂j(vⁱwi) = ∇j(vⁱwi) = (∇jvⁱ)wi+ vⁱ(∇jwi). Uitwerken geeft

(∂_jvⁱ)w_i+ vⁱ(∂_jw_i) = (∂_jvⁱ)w_i+ Γⁱ_jkv^kw_i+ vⁱ(∇_jw_i) en omdat het veld (vⁱ) willekeurig is volgt dat

∇_jw_i= ∂_jw_i− Γ^k_jiw_k. (7.7) Dit is een vectorveld van rang (0, 2). Merk op dat howel ∂_iω_j niet de componenten van een ten- sor zijn, dit wel het geval is voor het antisymmetrische deel: ∂iωj − ∂jωi = ∇iωj − ∇jωi is de component (dω)ij van een tensor van rang (0,2), de uitwendige afgeleide van ω (zie §7.6). Voor algemene tensorvelden kunnen we de regel voor de covariante afgeleide eveneens afleiden door ge- bruik te maken van de productregel: zo is de covariante afgeleide van een tensorveld (T_kîj) van rang (2, 1) gegeven door de productregel toe te passen op een tensorproduct vⁱw^jzk; we vinden dan ∇_`T_kîj = ∂_`T_kîj+ Γⁱ_`mT_k^mj+ Γ^j_`mT_kîm− Γ^m_`kT_mîj. In het bijzonder geldt voor de metrische ten- sor dat ∇g = 0, d.w.z. ∇_ig_jk = 0. Voor componenten van een tensor t.o.v. een Cartesisch coördinatenstelsel zijn de Christoffel-symbolen nul, en de covariante afgeleide is dan gelijk aan de gewone partiële afgeleide.

Als v een contravariant vectorveld op Ω ⊂ R³ is waarvoor geldt dat de covariante afgeleide nul is, dan zijn de componenten van v t.o.v. een Cartesisch co¨ordinatenstelsel overal aan elkaar gelijk, d.w.z. de vectoren v(x) zijn in alle x ∈ Rⁿ parallel. We kunnen nu de covariante afgeleide op de volgende manier meetkundig interpreteren: Voor de gewone (parti¨ele) afgeleide van een vectorveld geldt voor een infinitesimaal kleine verplaatsing δx dat vⁱ(x + δx) − vⁱ(x) =

∂jvⁱ(x)δx^j. Ten opzichte van willekeurige coördinaten heeft het linkerlid niet een duidelijke beteke- nis: immers we vergelijken de i-coördinaat van twee vectoren in twee verschillende punten, waar- bij de coördinaatbasis in beide punten verschilt. Om de bijdrage van de verandering van de coördinaatbasis te scheiden van de bijdrage die afkomt van de verandering in de richting van het vectorveld zelf splitsen we het linkerlid in twee stukken. We schrijven dan

∂_jvⁱδx^j = vⁱ(x + δx) − vⁱ(x) = (vⁱ(x + δx) − vⁱ(x → x + δx)) + (vⁱ(x → x + δx) − vⁱ(x)).

Hierbij is vⁱ(x → x + δx) de waarde die vⁱ(x + δx) zou hebben als we de vector v parallel van x naar x+δx zouden verplaatsen. v(x → x+δx) heet de parallelle verplaatsing van v(x) naar x+δx.

De eerste term komt dus geheel voor rekening van de verandering van de richting van v zelf en de aanwezigheid van de tweede is een gevolg van het niet parallel zijn van de co¨ordinaatvectoren. De eerste term is dus ∇_jvⁱ(x)δx^j en de tweede is −Γⁱ_jkv^kδx^j. Voor de parallelle verplaatsing van een contravariant vectorveld van x naar een infinitesimaal dichtbij gelegen punt x + δx geldt dus

vⁱ(x → x + δx) = vⁱ(x) − Γⁱ_jkv^j(x)δx^k.

De Christoffelsymbolen maken het dus mogelijk de waarde van de componenten van een vectorveld in verschillende punten met elkaar te vergelijken. We noemen de Γ^k_ij ook wel de componenten van

(6)

de affiene connectie. De connectie verbindt a.h.w. de componenten van vectoren, resp. tensoren t.o.v. de co¨ordinatenbases in verschillende punten.

7.3. Divergentie, rotatie en Laplaciaan in willekeurige co¨ordinaten.

Laat U ⊂ Rⁿ een open deelverzameling zijn met reguliere co¨ordinaten y¹, . . . , yⁿ. (x¹, . . . , xⁿ zijn weer de Cartesische co¨ordinaten t.o.v. de standaardbasis). Laat v : U → Rⁿ een vectorveld zijn.

We nemen aan dat v differentieerbaar is, d.w.z. als v(x) = vⁱ(x)_∂x^∂i, dan zijn vⁱ(x) differentieerbaar voor i = 1, . . . , n. In termen van Cartesische coördinaten zijn de divergentie van v en - in het geval dat n = 3 - de rotatie van v een scalair resp. een tensorveld gegeven door resp. div v = ∂_ivⁱ en (curl v)^k= ²îjk∂_iv_j, waarbij ²îjk= ²_ijk en v_i= vⁱ. We proberen uitdrukkingen te vinden voor div v en curl v in termen van algemene coördinaten y¹, . . . , yⁿ. We schrijven vⁱ voor de i-e component van v t.o.v. de betreffende coördinaten en evenzo ∂_ivoor als _∂x^∂_i als voor _∂y^∂_i (uit de context blijkt hopelijk steeds welke bedoeld wordt).

De rotatie. In het geval van algemene coördinaten is zowel ²îjk als ∂ivj geen tensor. Uit de vorige paragraaf zien we echter dat ∂_iv_j−∂_jv_ieen covariante tensor van rang 2 is. We proberen hieruit een contravariante vector te maken. Hiertoe zoeken we een contravariante tensor van rang 3, die gelijk is aan ²îjk in het geval dat de coördinaten Cartesisch zijn. Samentrekking met de tensor ∂_iv_j−∂_jv_i geeft dan het gewenste resultaat. We weten dat ²ijk een tensordichtheid is en transformeert als

²_ijk_∂x^∂x00`⁰ⁱ ∂x^0j

∂x^00m ∂x^0k

∂x⁰⁰ⁿ = ²_`mndet

³∂x⁰

∂x⁰⁰

´

. Analoog is ²^ijk een tensordichtheid die transformeert als

²^{ijk ∂x}_∂x^00`0i ∂x^00m

∂x^0j ∂x⁰⁰ⁿ

∂x^0k = ²^`mndet

³∂x⁰⁰

∂x⁰

´

. We zoeken nu een tensordichtheid van rang (0,0), die de extra factor van de Jacobiaan kan opheffen. Deze wordt gevonden in de determinant van de metrische tensor. Laat g de determinant van de matrix (gij) zijn. Onder de reguliere co¨ordinatentrans- formatie x⁰ⁱ → x⁰⁰ⁱ transformeert g als g⁰⁰ = g⁰det

³∂x⁰

∂x⁰⁰

´₂

. Nu volgt dat √

g²_ijk en ²îjk/√ g een covariante, resp. contravariante pseudotensor van rang 3 zijn. Tenslotte is ^√¹_g²îjk∂_i(g_j`v^`) (de k-e component van) een covariante vector die in het geval van Cartesische coördinaten herkennen als curl v. Merk op dat we symbolisch kunnen schrijven

∇ × v = 1

√g

¯¯

f₁ f₂ f₃

∂₁ ∂₂ ∂₃ v1 v2 v3

¯¯

¯¯, (7.8)

waarbij f_j = _∂y^∂_j en v_i= g_ijv^j zijn de covariante componenten van v.

De divergentie. T.a.v. Cartesische co¨ordinaten is de divergentie van v gelijk aan ∂_ivⁱ. T.a.v.

willekeurige co¨ordinaten zoeken we een scalair veld dat samenvalt met ∂ivⁱ in het geval dat de co¨ordinaten Cartesisch zijn. In de vorige paragraaf hebben we gezien dat ∂iv^j i.h.a. geen tensor is, maar wel is ∇_iv^j een tensor van rang (1,1). De juiste uitdrukking voor div v is dus ∇_ivⁱ. We kunnen nog verder gaan en ∇_ivⁱ uitdrukken in termen van de gewone afgeleiden ∂_i. Immers is

∇ivⁱ= ∂ivⁱ+ Γⁱ_ijv^j en

Γⁱ_ij = 1

2g^ik(−∂kgij+ ∂igkj+ ∂jgik) = 1

2g^ik∂jgik. Nu is verder ∂_jg = (∂_jg_ik)g^ikg en dus is

√1 g∂_j√

g = 1

2g∂_jg = 1

2g^ik∂_jg_ik= Γⁱ_ij.

(7)

Conclusie:

div v = 1

√g∂_j¡√

gv^j¢

. (7.9)

De Laplaciaan. Zij f : U → R een tweemaal differentieerbaar scalair veld. De Laplaciaan van f is gedefinieerd als ∆f = div grad f . In termen van Cartesische co¨ordinaten is dit ∂_i∂ⁱf waarbij

∂ⁱ= ∂i. M.b.v. de boven afgeleide uitdrukkingen voor gradi¨ent en divergentie vinden we in termen van algemene co¨ordinaten:

∆f = 1

√g∂_i¡√

gg^ij∂_jf¢

. (7.10)

Deze algemenere vorm van de Laplaciaan heet ook wel de Laplace-Beltrami operator.

Voorbeeld: poolco¨ordinaten in E2. Laat D ⊂ E2 een open cirkelschijf zijn die de oorsprong niet bevat. Laat v : D → R² een tweemaal differentieerbaar scalair veld en f : D → R een eenmaal differentieerbaar vectorveld zijn. Dan is

∇ · v = div v = 1

r∂j(rv^j) = ∂rv^r+v^r

r + ∂φv^φ en

∆f = 1

r∂j(rg^jj∂jf ) = 1 r∂φ

µ1 r∂φf

¶ +1

r∂r(r∂rf ) = ∂r∂rf + 1

r∂rf + 1

r²∂φ∂φf.

§7.4. Differentieerbare vari¨eteiten.

Co¨ordinatenstelsels, de metrische tensor en de affiene connectie zijn de gereedschappen die we kunnen gebruiken om de overstap te maken naar meer algemene ”ruimten” dan de Euclidische.

Een voorbeeld is het oppervlak van een bol in R³, zoals de eenheidsbol xⁱx_i= 1. Aan een punt op de bol kunnen we twee co¨ordinaten toekennen (zoals bolco¨ordinaten θ, φ) en in elk punt (m.u.v.

de noord- en zuidpool) geeft dit een stelsel co¨ordinaatvectoren ∂_θ, ∂_φ die gedefinieerd zijn in het raakvlak aan de bol in het betreffende punt. Lokaal ziet de bol er dan uit als een deel van de Euclidische ruimte E₂ maar globaal heeft de bol andere eigenschappen.

Een dergelijke ruimte, die er lokaal als een Euclidische ruimte uitziet, heet een differentieerbare vari¨eteit. Een ietwat grove definitie is de volgende:

Definitie: Een differentieerbare vari¨eteit is een verzameling M zodanig dat M overdekt kan worden met open verzamelingen U_α die eruit zien als open deelverzamelingen van Rⁿ. n heet dan de dimensie van M .

We zullen iets specifieker ingaan op deze definitie. Voor elke deelverzameling U_α geldt dat deze homeomorf is met een open deelverzameling van Rⁿ, d.w.z. er is voor elke U_α een continue, bijectieve afbeelding φ_α : U_α → V_α waarbij V_α een open deelverzameling is van Rⁿ, en zodanig dat de inverse φ⁻¹_α : Vα → Uα ook continu is (zo’n afbeelding noemen we een homeomorfisme).

Verder wordt ge¨eist dat, als U_α∩U_β niet leeg is, de overgangsfuncties φ⁻¹_β ◦φ_α: φ⁻¹_α (V_α) → φ⁻¹_β (V_β) oneindig vaak differentieerbaar zijn. Zo krijgt M een differentieerbare structuur. Het paar (U_α, φ_α) heet een kaart voor M , de collectie van alle kaarten heet een atlas.

De afbeeldingen φ_α leveren coördinaten voor de punten op U_α: Omdat φ_α(U_α) ⊂ Rⁿ, kunnen we aan een punt P ∈ U_αde coördinaten (x¹, . . . , xⁿ) van het punt φ_α(P ) toekennen. Als P ∈ U_α∩ U_β, dan heeft P ook coördinaten y¹, . . . , yⁿ die afkomstig zijn van φβ. Ga na dat de differentieerbare structuur ervoor zorgt dat de coördinatentransformatie xⁱ→ yⁱ regulier is.