Gebroken functie en wortelfunctie

(1)

wiskunde B havo 2021-I

Gebroken functie en wortelfunctie

1 maximumscore 4

• f x( ) 1 3(4  x3)1 1

• De afgeleide van de term 3(4x3)1 is 3(4x3)24 2

• f ' x( ) 3(4x3)24, dus de helling is 4 3 (0) 

f ' 1

Opmerking

Voor het tweede antwoordelement mogen uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend. 2 maximumscore 6 • Uit 4 4 3 x x x volgt 2 2 16 (4 3)  x x x 1 • Hieruit volgt x x(4 3)2 16x2 1

• Dit geeft (4x3)216x (of x0, maar dat geeft punt O) 1

• Herleiding tot 16x240x 9 0 1 • De abc-formule geeft 2 40 ( 40) 4 16 9 2 16        x 1

• Dus x1₄ of x2₄1; de x-coördinaat van B is 2 (1₄ x 1₄ voldoet niet) 1

of • 4 4 3 x x x geeft (4x3) x 4x 1

• 4x 3 4 x (of x0, maar dat geeft punt O) 1

• Hieruit volgt (4x3)216x 1

• Herleiding tot 16x240x 9 0 1

2

40 ( 40)   4 16 9

(2)

www.examenstick.nl www.havovwo.nl

wiskunde B havo 2021-I

Vraag Antwoord Scores

• (Voor grote waarden van x geldt 3 0

4x3 , dus) de horizontale

asymptoot heeft vergelijking y1 (en dit is de y-coördinaat van S) 1

• (4x 3 0 voor x 3₄, dus) de verticale asymptoot heeft vergelijking

3 4  x 1 • R heeft y-coördinaat

 

3 3 4  4 g 1

• De afstand is dus 1 3₄ (of een gelijkwaardige vorm) 1

Twee cirkels en twee lijnen

• (y1₂x41₂ invullen in x24xy26y 8 geeft voor de snijpunten van c en k) ₁ 2



1 1

 

2 1 1



2 2 2 2 4 4 6 4 8        x x x x 1 • 1 2 1 1 4 2 4

1 x 2 x1 0 (of een gelijkwaardige vergelijking van de vorm

2

0

  

ax bx c ) 1

• D 

 

21₂ 2  4 11₄ 11₄0, dus k raakt cirkel c ₁ 1

of

• ( 1 1

2 42

 

y x invullen in x24xy26y 8 geeft voor de snijpunten van c en k) ₁ x24x



1₂x41₂

 

26 ₂1x41₂



 8 1

• 11₄x22₂1x1₄1 0 (of een gelijkwaardige vergelijking van de vorm

2

0

  

ax bx c ) 1

• Exact oplossen geeft (één oplossing, namelijk) x1, dus k raakt

cirkel c₁ 1

(3)

wiskunde B havo 2021-I

• Uit x24xy26y 8 volgt (x2)2  4 (y 3)2  9 8 1

• De coördinaten van M zijn (2, 3) 1

• ( rc_krc_l  1, dus) rc_l  2 1

• Hieruit volgt y_S 7 1

• Voor de straal r van c geldt ₂ r222 (3 7)2 20 1

• Een vergelijking van c is ₂ x2 (y 7)220 1

of

• Uit x24xy26y 8 volgt (x2)2  4 (y 3)2  9 8 1

• De coördinaten van M zijn (2, 3) 1

• Een exacte berekening waaruit volgt dat de coördinaten van T (1, 5) zijn, waarbij T het raakpunt van k en c is, dus de richtingscoëfficiënt₁

van l is 3 5 2 2 1

 _{ }

 1

• Hieruit volgt y_S 7 1

• Een vergelijking van c is van de vorm ₂ x2 (y 7)2r ; invullen van2

de coördinaten van M geeft 22 (3 7)2 r2 1

• Een vergelijking van c is ₂ x2 (y 7)220 1 Opmerking

(4)

wiskunde B havo 2021-I

Oppervlakte onder een grafiek

• De x-coördinaat van de top is

1 4 1 2 2     1

• f( 2)   1₄ ( 2)2   2 1 0 (dus de top van de parabool ligt op de x-as) 1

of

• f ' x( )1₂x1; uit f ' x( )0 volgt dat de x-coördinaat van de top 2 is 1

• f( 2)   1₄ ( 2)2   2 1 0 (dus de top van de parabool ligt op de x-as) 1

of

• De discriminant D van de vergelijking 1 2

4x   x 1 0 moet nul zijn 1

• D    12 4 1₄ 1 0 (dus de top van de parabool ligt op de x-as) 1

of

• f x( ) 1₄(x24x4) ₄1(x2)2 1

• Dus de coördinaten van de top zijn ( 2, 0) (dus de top van de parabool

(5)

wiskunde B havo 2021-I

8 maximumscore 3 • f ' x( )1₂x1 1 • f '

 

1₂    1 1_{2 2} 1 11₄ 1 • Uit 1 1 9 4 2 16 1   b 1 volgt b15₁₆ (dus 1 15 4 16 1   y x is inderdaad een vergelijking van l) 1 of • f ' x( )1₂x1 1 • f '

 

1₂    1 1_{2 2} 1 11₄ 1

• y11₄ 1₂ ₁₆15 1₁₆9 (en dit is de y-coördinaat van R, dus y11₄x15₁₆ is inderdaad een vergelijking van l) 1

of

• De vergelijking 1₄x2  x 1 11₄x15₁₆ moet één oplossing hebben,

namelijk x1₂ 1

• De discriminant D van de vergelijking 1 2 1 1

4x 4x 16 0 is

 

₁ 2 ₁ ₁ 4 4 4 16 0

D      (lijn l is dus een raaklijn) 1

• y11₄ 1₂ 15₁₆ 1₁₆9 (dus R ligt op lijn l, dus l is de raaklijn in R, dus

15 1 4 16

1

 

(6)

wiskunde B havo 2021-I

• De oppervlakte van het gebied in figuur 1 is (2



1



3 2

3  2 1 1   ) 3 7 12

1 (of

1,5833... ) 1

• De oppervlakte van vierhoek OSMK is gelijk aan de som van de

oppervlakte van rechthoek OSLK en de oppervlakte van driehoek KLM

(met L de loodrechte projectie van K op m) 1

• De y-coördinaat van K is ₁₆15, de y-coördinaat van M is (15₁₆11₄  )2₁₆3

(of 2,1875 ) 1

• De oppervlakte van driehoek KLM is



2₁₆3 15₁₆



   (of 0,625), de 1 1₂ 5₈ oppervlakte van rechthoek OSLK is (1  )15₁₆ 15₁₆ (of 0,9375) 1

• 5 15 7 8 16 12 7 12 1 100 ( 1, 31...) 1      , dus de afwijking is ( )1,3(%) 1 of

• De oppervlakte van het gebied in figuur 1 is (2₃  



1₂ 1 1



3  ) 2₃ 7 12 1 (of

1,5833... ) 1

• Toelichting op de berekening van de oppervlakte van vierhoek OSMK, bijvoorbeeld door de basis met de gemiddelde hoogte te

vermenigvuldigen 2

• De oppervlakte van vierhoek OSMK is gelijk aan 1₁₆9  1 1

• 9 7 16 12 7 12 1 1 1 100 ( 1, 31...) 1      , dus de afwijking is ( )1,3(%) 1 Opmerking

Voor het tweede antwoordelement van het tweede antwoordalternatief mag voor een niet volledig juist antwoord 1 scorepunt worden toegekend.

(7)

wiskunde B havo 2021-I

Roeien

• De cosinusregel in driehoek H K V geeft_{1 1}

2 2 2

1 48 42  2 48 42 cos(60 )  

H V 1

• (H V₁ 2 2052, dus) H V₁  2052 (cm) (of een gelijkwaardige vorm) 1 11 maximumscore 5

• A V₁  45, 32152 42, 74... 1

• H V₃ 



45 42, 74...



2152 89, 01... 1

• De cosinusregel in driehoek H K V geeft₃ ₃

2 2 2

3 3

89, 01... 48 42  2 48 42 cos  H K V 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden 1

• (Hieruit volgt H K V₃ ₃ 163, 0...()) dus het eindantwoord is 163() 1 Opmerking

(8)

wiskunde B havo 2021-I

Een sinusoïde en nog een sinusoïde

12 maximumscore 6 • De periode van f is 1 4 2 8  _  1 • Dus x_A (8 2 ) 4 1 • x_B    8 1₄ 8 10 1

• y_B3 (want de evenwichtsstand is 0 en de amplitude is 3) 1

• tan( ) 3 10 4  

 ( ) 12 1

• (Hieruit volgt  26, 5...()) dus het eindantwoord is 27() 1

of

• Voor x geldt _A 3sin

 

1₄ x 0, waaruit volgt 1₄    x 0 k (of 1₄  x ) 1

• Voor x geldt _B 3sin

 

1₄ x 3, waaruit volgt 1₄     x 1₂ k 2 (of

1 1

4 x 22) 1

• Dit geeft x_A4 en x_B 10 1

• y_B3 (want de evenwichtsstand is 0 en de amplitude is 3) 1

• tan( ) 3 10 4  

 ( ) 12 1

• (Hieruit volgt  26, 5...()) dus het eindantwoord is 27() 1 13 maximumscore 7 • De evenwichtsstand is 1 2 1 4 1 1 2    , dus d 1₄ 1 • De amplitude is 1 1 1 2 4 4 1  1 , dus 1 4 1  a 1

• 3sin

 

1₄ x 11₂ geeft sin

 

1₄ x 1₂ 1

• Hieruit volgt 1 1 4     x 6 k 2 of 5 1 4     x 6 k 2 1 • Dit geeft x_K  2₃ en x_L 111₃ 1

• (K is de eerste top rechts van de y-as, dus) c2₃ 1

(9)

wiskunde B havo 2021-I

Driehoek met maximale oppervlakte

• 1 12

2

( ) 1  2

f ' x x (of een gelijkwaardige vorm) 1

• 1 12 2 1 x  2 0 geeft 1 12 2 1 x 2 1 • Dit geeft 12 4 3  _ x , dus x

 

4₃ 2 ₁₆9 1 • Dus 1 8 2 y (dus T



₁₆9, 21₈



) 1 15 maximumscore 4 • AP f x( ) 1

• De oppervlakte van driehoek OAP is 1₂ x f x( ) 1

• Beschrijven hoe hiervan het maximum gevonden kan worden 1

• Het eindantwoord is 1,285 1

De invloed van leeftijd op hardloopprestaties

• De groeifactor per jaar is 0,992 1

• Volgens model 1 is zijn gemiddelde snelheid na 12 jaar gelijk aan

12

19,5 0,992 ( 17, 70... ) (km/uur) 1

• Dat geeft een tijd van 21, 0975

17, 70... ( 1,19... ) (uur) 1

• Dit is gelijk aan 1,19... 60 60  4289, 0... (seconden) 1

• Zijn werkelijke tijd was 60 60 10 60    4 4204 (seconden), dus hij

(10)

wiskunde B havo 2021-I

• De groeifactor per 13 jaar is gelijk aan 0, 9039

0, 9920 (0,9111...) 1

• De groeifactor per jaar is gelijk aan

1 13

0, 9111... (0, 9928...) 1

• Het correctiegetal voor 47-jarigen is 0,9920 0,9928... 110,9169... (of

2 0, 9039

0, 9169... 0, 9928...  )

1

• Het omrekenen van de tijd van Laros naar een tijd die hoort bij een

30-jarige met een gelijkwaardige prestatie: 4279 0,9169... 3923,... (s) 1

• Het omrekenen van de tijd van Meijwes naar een tijd die hoort bij een

30-jarige met een gelijkwaardige prestatie: 4130 0,9920 4096,... (s) 1

• (Een tijd van 3923,... seconden is beter dan een tijd van 4096,...

seconden, dus) Laros heeft de beste prestatie geleverd 1

of

• De groeifactor per 13 jaar is gelijk aan 0, 9039

0, 9920 (0,9111...) 1

• De groeifactor per jaar is gelijk aan

1 13

0, 9111... (0, 9928...) 1

• Het inzicht dat de tijd van een 47-jarige omgerekend kan worden naar

een tijd die hoort bij een 36-jarige met een gelijkwaardige prestatie 1

• Het correctiegetal hiervoor is 0,9928... ( 0,9243...)11  1

• Het omrekenen van de tijd van Laros naar een tijd die hoort bij een

36-jarige met een gelijkwaardige prestatie: 4279 0,9243... 3955,... (s) 1

• (Een tijd van 3955,... seconden is beter dan een tijd van 4130

seconden, dus) Laros heeft de beste prestatie geleverd 1

Opmerking

Als correctiegetallen in de berekening worden afgerond op vier decimalen en daarmee verder wordt gerekend, hiervoor geen scorepunten in

mindering brengen.

Bronvermeldingen

Roeien

foto bron: Shutterstock stockillustratie-id: 182906012, fotograaf Serghei Starus