We gaan uit van de derdegraads functie:
( ) ( 2 )( )
f x =x x− a x b−
Je kan door verschuiving van de oorsprong elke derdegraads functie met drie reële nulpunten wel zo schrijven.
We onderstellen verder 0 < 2a < b. Dat maak in principe niet veel uit; 't is maar met welke naam je de nulpunten aangeeft.
De nulpunten van die functie zijn dus: x = 0, x = 2a en x = b.
We gaan precies tussen x = 0 en x = 2a zitten; dus in het punt met x = a.
Dan is: f a( )=a a( −2 )(a a b− = −) a a b2( − ; dit is de y-coördinaat van het raakpunt. ) Voor de afgeleide vinden we (productregel!):
( ) 1 (f x′ = ⋅ −x 2 ) (a ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ −x b) x 1 (x b) x x( 2 ) 1a ⋅
zodat voor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt met x = a geldt:
'( ) ( ) ( ) ( ) 2
f a = −a a b− +a a b− + − = − a a a
En dan stellen we de vergelijking van de raaklijn op in het betreffende punt.
Algemeen luidt die vergelijking:
0 ( 0)
y y− =m x x−
waarbij m de richtingscoëfficiënt is en (x0, y0) het punt waarin de raaklijn getekend wordt.
De vergelijking van de raaklijn wordt dan:
2 2
( ( )) ( )
y− −a a b− = −a x a−
Het snijpunt van de raaklijn met de x-as vinden we voor y =0, zodat:
2( ) 2( )
a a b− = −a x a−
Deling (links en rechts) door a2 (dat mag, want a is ongelijk aan 0) geeft dan:
a b− = − +x a Zodat inderdaad x = b.
De raaklijn snijdt dus de grafiek van de functie in het derde nulpunt.
En dat wilden we bewijzen.
