Eigenschappen van de gradi¨ ent

Herinnering

Als u, v vectoren zijn in R², u = hu₁, u₂i, v = hv₁, v₂i, dan is huninwendig product gelijk aan u₁v₁ + u₂v₂.

Als u, v vectoren zijn in R³, u = hu₁, u₂, u₃i, v = hv₁, v₂, v₃i, dan is hun inwendig product, analoog genoteerd, gelijk aan u1v1 + u2v2 + u3v3.

Notatie u • v

Met behulp van de cosinusregel is het mogelijk om aan te tonen dat

u • v = |u||v| cos θ,

waarbij θ de hoek is tussen de vectoren u en v.

De richtingsafgeleide

Laat f een functie zijn op D ⊂ R², (a, b) ∈ D en u = hu1, u2i een vector met lengte 1.

Als lim

h→0

f (a + hu1, b + hu2) − f (a, b)

h bestaat en

gelijk is aan L dan heet L derichtingsafgeleide van f in (a, b) in de richting van u.

Notaties

D_uf (a, b) = ∂f

∂u(a, b)

Veronderstel nu dat f continue, eerste orde, parti¨ele afgeleiden heeft op D en laat g(t) = f (a + tu1, b + tu2).

Dan is Duf (a, b) = lim

h→0

f (a + hu1, b + hu2) − f (a, b)

h =

h→0lim

g(h) − g(0)

h = g⁰(0).

Verder geeft toepassing van de kettingregel dat

g⁰(t) = f₁(a + tu₁, b + tu₂)u₁ + f₂(a + tu₁, b + tu₂)u₂ en dus

Duf (a, b) = g⁰(0) = f1(a, b)u1 + f2(a, b)u2.

Blijkbaar

D_uf (a, b) = hf₁(a, b), f₂(a, b)i • hu₁, u₂i = hf₁(a, b), f₂(a, b)i • u De vector hf₁(a, b), f₂(a, b)i wordt de gradi¨ent van f in (a, b) genoemd.

Notaties

gradf (a, b) = ∇f (a, b)

Dus

D_uf (a, b) = ∇f (a, b) • u

Eigenschappen van de gradi¨ ent

De functie f stijgt in (a, b) het snelst in de richting van

∇f (a, b) en daalt het snelst in tegenovergestelde richting.

∇f (a, b) is een vector loodrecht op de hoogtelijn van f door (a, b).

Als C een hoogtelijn is van f en (a, b) is een punt op C dan is ∇f (a, b) • hx − a, y − bi = 0 een vergelijking van de raaklijn aan C in (a, b).

∇f (a, b) • hx − a, y − bi = 0 ⇔ f₁(a, b)(x − a) + f₂(a, b)(y − b) = 0.

Herinnering

Als f : (a, b) → R een differentieerbare functie is en

f neemt een lokaal extreem aan in c ∈ (a, b) dan f⁰(c) = 0.

Als f : (a, b) → R een differentieerbare functie is op (a, b) en f⁰(c) = 0 voor zekere c ∈ (a, b) dan kan f in c dus een lokaal extreem aannemen.

Als f een functie is met continue, eerste orde, parti¨ele afgeleiden op een open cirkelschijf D ⊂ R² en f neemt in (a, b) een lokaal extreem aan dan f₁(a, b) = f₂(a, b) = 0.

Als f : D → R een functie is met continue, eerste orde, parti¨ele afgeleiden en f1(a, b) = f2(a, b) = 0 dan kanf in (a, b) dus een lokaal extreem aannemen.

Punten (a, b) met de eigenschap dat f₁(a, b) = f₂(a, b) = 0 hetenstationaire punten.

Herinnering

Laat f : (a, b) → R een twee maal differentieerbare functie zijn met f⁰(c) = 0 voor zekere c ∈ (a, b).

Dan neemt f in c

een lokaal maximum aan als f⁰⁰(c) < 0 en een lokaal minimum als f⁰⁰(c) > 0.

Als f : [a, b] → R een continue functie is dan neemt f in [a, b]

een globaal maximum en minimum aan.

De determinant van Hesse

Laat f een een functie zijn met continue, tweede orde, parti¨ele afgeleiden op een open cirkelschijf D ⊂ R² en

f₁(a, b) = f₂(a, b) = 0 voor zekere (a, b) ∈ D.

Laat verder D_H(a, b) = f₁₁(a, b)f₂₂(a, b) − {f₁₂(a, b)}². Dan neemt f in (a, b)

een lokaal maximum aan als f11(a, b) < 0 en DH(a, b) > 0 een lokaal minimum aan als f₁₁(a, b) > 0 en D_H(a, b) > 0.

Als f een een continue functie is op een begrensde en gesloten deelverzameling D ⊂ R² dan neemt f in D een globaal

maximum en minimum aan.

Als DH(a, b) < 0 dan heet (a, b) een zadelpunt.

Herinnering

Laat f : [a, b] → R een continue functie zijn die differentieerbaar is op (a, b) .

De (globale) extrema van f in [a, b] worden gevonden door:

de stationaire punten in (a, b) te bepalen, de extrema op de rand van [a, b] en hetgeen gevonden is te combineren.

Laat f een continue functie zijn op een begrensde en gesloten deelverzameling D ⊂ R² waarvan de eerste orde parti¨ele afgeleiden bestaan en continu zijn op het inwendige van D.

De (globale) extrema van f in D worden gevonden door:

de stationaire punten in het inwendige van D te bepalen, de extrema op de rand van D en

hetgeen gevonden is te combineren.