Analyse: van R naar R
nhoorcollege
Kettingregel en hogere orde afgeleides (18)
Gerrit Oomens
G.Oomens@uva.nl
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Kettingregel
Stelling 9.1
Zij f : Rk → R` differentieerbaar in ~a en g : R`→ Rmdifferentieerbaar in f (~a). Dan is g ◦ f differentieerbaar in ~a met (g ◦ f )0(~a) = g0 f (~a)f0(~a).
Bewijs: we hebben f (~a + ~h) = f (~a) + f0(~a)~h + o(k~hk). Dus (g ◦ f )(~a + ~h) = g f (~a + ~h)
= g f (~a) + f0(~a)~h + o(k~hk)
= g f (~a) + g0 f (~a)
f0(~a)~h + o(k~hk) + o
f0(~a)~h + o(k~hk)
= (g ◦ f )(~a) + g0 f (~a)f0(~a)~h + o(k~hk) + o O(k~hk)
= (g ◦ f )(~a) + g0 f (~a)f0(~a)~h + o(k~hk) + o(k~hk) We gebruiken g f (~a) + ~k = g f (~a) + g0 f (~a)
~k + o(k~kk) en o O(k~hk) = o(k~hk):
o O(k~hk)
k~hk =
o O(k~hk) O(k~hk)
O(k~hk) k~hk
≤ C
o O(k~hk) O(k~hk)
→ 0 als ~h → ~0.
Voorbeeld: kettingregel
Bekijk f1, f2: R → R en g : R2→ R. Zij h(t) = g f1(t), f2(t). Dan is h = g ◦ f met f = (f1, f2). Er geldt
h0(t) = (g ◦ f )0(t) = g0 f (t)f0(t).
Merk op
g0(x , y ) =D1g (x , y ) D2g (x , y ) , f0(t) =f10(t) f20(t)
. Dus
h0(t) =D1g f1(t), f2(t)
D2g f1(t), f2(t)f10(t) f20(t)
= D1g f1(t), f2(t)f10(t) + D2g f1(t), f2(t)f20(t).
Oftewel “dhdt = ∂g∂xdfdt1 +∂g∂ydfdt2”.
Afgeleides van afgeleides
Bekijk f : E → R, waar E ⊆ Rn. Stel dat de parti¨ele afgeleides van f bestaan op E . Een parti¨ele afgeleide Djf is weer een functie E → R.
Als Djf partieel differentieerbaar is in ~a, dan bestaat departi¨ele afgeleide van de tweede ordevan f in ~a:
Dijf (~a) := Di(Djf )(~a) Zo kunnen we doorgaan:
(Dj1···jkf )(~a) = (Dj1Dj2· · · Djkf )(~a)
is eenk-de orde parti¨ele afgeleidevan f , als deze bestaat.
Als alle k-de orde parti¨ele afgeleides van f continu zijn op E , zeggen we dat f een Ck afbeelding is op E .
Men schrijft ook wel ∂x∂kf
j1···∂xjk voor Dj1···jkf .
Tweede-orde parti¨ ele afgeleides
Voorbeeld: bekijk f (x , y ) = x3y + xy . Dan is
D1f (x , y ) = 3x2y + y , D2f (x , y ) = x3+ x
D11f (x , y ) = 6xy D12f (x , y ) = 3x2+ 1 D21f (x , y ) = 3x2+ 1 D22f (x , y ) = 0.
We zien D12f = D21f : de volgorde van differenti¨eren maakt niet uit. Dit is meestal, maar niet altijd, waar:
Stelling 11.13
Zij E ⊆ Rnopen en f : E → R een C2-afbeelding. Dan geldt voor alle i , j ∈ {1, . . . , n}
en voor alle ~a ∈ E dat Dijf (~a) = Dji(~a).
Omwisselen van afgeleides
Propositie 11.11
Zij f : E → R een C2-functie en (a, b) ∈ E . Dan geldt D12f (a, b) = D21f (a, b).
Neem (h, k) klein en bekijk
∆ = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b)
= g (a + h) − g (a)
= g0(ξ1)h = D1f (ξ1, b + k) − D1f (ξ1, b)h met g (x ) = f (x , b + k) − f (x , b), voor zekere ξ1∈ (a, a + h).
Net zo is D1f (ξ1, b + k) − D1f (ξ1, b) = D21f (ξ1, ξ2)k met ξ2∈ (b, b + k).
We zien ∆ = D21f (ξ1, ξ2)hk.
We kunnen deze redering herhalen in de omgekeerde volgorde om in te zien dat
∆ = D12f (η1, η2)kh voor zekere η1∈ (a, a + h) en η2∈ (b, b + k).
Dus D21f (ξ1, ξ2) = D12f (η1, η2) voor deze η1, η2, ξ1, ξ2. Laat nu h, k → 0 zodat ξ1, η1→ a en ξ2, η2→ b.
Vanwege continu¨ıteit van D21en D12volgt D21f (a, b) = D12f (a, b).
Integraal en afgeleide
Zij f : R2→ R een differentieerbare functie. Definieer voor zekere a, b ∈ R de functie F (x ) =
Z b a
f (x , y ) dy .
Is dan F differentieerbaar met F0(x ) =Rb
a D1f (x , y ) dy ? Er geldt F (x + h) − F (x )
h −
Z b a
D1f (x , y ) dy = Z b
a
f (x + h, y ) − f (x, y )
h − D1f (x , y )
dy
= Z b
a
[D1f (ξy, y ) − D1f (x , y )] dy
waar ξy ∈ (x, x + h). Als nu D1f continu is, dan is hij uniform continu op de compacte verzameling F := [x , x + h] × [a, b], dus bestaat er voor elke > 0 een δ > 0 zodat
d (x1, y1), (x2, y2) < δ ⇒
D1f (x1, y1) − D1f (x2, y2) < op heel F . Dus als |h| < δ, dan is
F (x + h) − F (x )
h −
Z b a
D1f (x , y ) dy
≤ Z b
a
dy = (b − a).
Aangezien willekeurig is, zien we dat limh→0F (x +h)−F (x )
h =Rb
a D1f (x , y ) dy .
Integraal en afgeleide
Propositie 11.14
Zij f : I1× I2→ R een C1functie, waar I1, I2⊆ R intervallen zijn. Neem [a, b] ⊆ I2en definieer
F (x ) = Z b
a
f (x , y ) dy
voor x ∈ I1. Dan is F differentieerbaar op I1met F0(x ) =
Z b a
D1f (x , y ) dy .
