Analyse: van R naar R

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Taylor in Rⁿ (19)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Taylorreeksen in R

Zij f : R → R een C^p functie.

Dan is f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! + Rp(h), waar Rp(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen 0 en h.

Meer algemeen hebben we voor a ∈ R dat f (a + h) = f (a) + f⁰(a)h +f⁰⁰(a)h²

2 + · · · +f^(p−1)(a)h^p−1

(p − 1)! + R_p(h)

met Rp(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen a en a + h. Als gevolg hiervan zien we

f (a + h) =

p−1

X

k=0

f^(k)(a)

k! h^k + O(|h|^p).

Taylorreeksen in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! + Rp(h),

waar Rp(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen 0 en h. Meer algemeen hebben we voor a ∈ R dat

f (a + h) = f (a) + f⁰(a)h +f⁰⁰(a)h²

2 + · · · +f^(p−1)(a)h^p−1

(p − 1)! + R_p(h)

met Rp(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen a en a + h. Als gevolg hiervan zien we

f (a + h) =

p−1

X

k=0

f^(k)(a)

k! h^k + O(|h|^p).

Taylorreeksen in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! + Rp(h), waar R_p(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen 0 en h.

Meer algemeen hebben we voor a ∈ R dat f (a + h) = f (a) + f⁰(a)h +f⁰⁰(a)h²

2 + · · · +f^(p−1)(a)h^p−1

(p − 1)! + R_p(h)

met Rp(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen a en a + h. Als gevolg hiervan zien we

f (a + h) =

p−1

X

k=0

f^(k)(a)

k! h^k + O(|h|^p).

Taylorreeksen in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! + Rp(h), waar R_p(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen 0 en h.

Meer algemeen hebben we voor a ∈ R

dat f (a + h) = f (a) + f⁰(a)h +f⁰⁰(a)h²

2 + · · · +f^(p−1)(a)h^p−1

(p − 1)! + R_p(h)

met Rp(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen a en a + h. Als gevolg hiervan zien we

f (a + h) =

p−1

X

k=0

f^(k)(a)

k! h^k + O(|h|^p).

Taylorreeksen in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! + Rp(h), waar R_p(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen 0 en h.

Meer algemeen hebben we voor a ∈ R dat f (a + h) = f (a) + f⁰(a)h +f⁰⁰(a)h²

2 + · · · +f^(p−1)(a)h^p−1

(p − 1)! + R_p(h)

met Rp(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen a en a + h. Als gevolg hiervan zien we

f (a + h) =

p−1

X

k=0

f^(k)(a)

k! h^k + O(|h|^p).

Taylorreeksen in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! + Rp(h), waar R_p(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen 0 en h.

Meer algemeen hebben we voor a ∈ R dat f (a + h) = f (a) + f⁰(a)h +f⁰⁰(a)h²

2 + · · · +f^(p−1)(a)h^p−1

(p − 1)! + R_p(h) met Rp(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen a en a + h.

Als gevolg hiervan zien we

f (a + h) =

p−1

X

k=0

f^(k)(a)

k! h^k + O(|h|^p).

Taylorreeksen in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! + Rp(h), waar R_p(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen 0 en h.

Meer algemeen hebben we voor a ∈ R dat f (a + h) = f (a) + f⁰(a)h +f⁰⁰(a)h²

2 + · · · +f^(p−1)(a)h^p−1

(p − 1)! + R_p(h)

met Rp(h) = ^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen a en a + h. Als gevolg hiervan zien we

f (a + h) =

p−1

X

k=0

f^(k)(a)

k! h^k + O(|h|^p).

Polynomen in meer variabelen

Een tweedegraadspolynoom op de R² ziet er uit als P(x₁, x₂)

= a_0,0+ a_1,0x₁+ a_0,1x₂+ a_1,1x₁x₂+ a_2,0x₁²+ a_0,2x₂² of compacter

P(x1, x2) = X

j1+j2≤2

aj1,j2x₁^j1x₂^j2.

Meer algemeen is een k-degraads polynoom op Rⁿ van de vorm P(x1, . . . , xn) = X

j1+···+jn≤k

a_j1,...,jnx₁^j1· · · x_n^jn.

Merk op dat geldt D₁^j1· · · D_n^jnP(~0) = j1! · · · jn!aj1,...,jn. Dit suggereert dat we een C^k functie f kunnen proberen te benaderen met

Tk(~x) = X

j1+···+jn≤k

D₁^j1· · · D_n^jnf (~0)

j1! · · · jn! x₁^j1· · · x_n^jn.

Polynomen in meer variabelen

Een tweedegraadspolynoom op de R² ziet er uit als

P(x₁, x₂) = a_0,0+ a_1,0x₁+ a_0,1x₂+ a_1,1x₁x₂+ a_2,0x₁²+ a_0,2x₂²

of compacter

P(x1, x2) = X

j1+j2≤2

aj1,j2x₁^j1x₂^j2.

Meer algemeen is een k-degraads polynoom op Rⁿ van de vorm P(x1, . . . , xn) = X

j1+···+jn≤k

a_j1,...,jnx₁^j1· · · x_n^jn.

Merk op dat geldt D₁^j1· · · D_n^jnP(~0) = j1! · · · jn!aj1,...,jn. Dit suggereert dat we een C^k functie f kunnen proberen te benaderen met

Tk(~x) = X

j1+···+jn≤k

D₁^j1· · · D_n^jnf (~0)

j1! · · · jn! x₁^j1· · · x_n^jn.

Polynomen in meer variabelen

Een tweedegraadspolynoom op de R² ziet er uit als

P(x₁, x₂) = a_0,0+ a_1,0x₁+ a_0,1x₂+ a_1,1x₁x₂+ a_2,0x₁²+ a_0,2x₂² of compacter

P(x1, x2) = X

j1+j2≤2

aj1,j2x₁^j1x₂^j2.

Meer algemeen is een k-degraads polynoom op Rⁿ van de vorm P(x1, . . . , xn) = X

j1+···+jn≤k

a_j1,...,jnx₁^j1· · · x_n^jn.

Merk op dat geldt D₁^j1· · · D_n^jnP(~0) = j1! · · · jn!aj1,...,jn. Dit suggereert dat we een C^k functie f kunnen proberen te benaderen met

Tk(~x) = X

j1+···+jn≤k

D₁^j1· · · D_n^jnf (~0)

j1! · · · jn! x₁^j1· · · x_n^jn.

Polynomen in meer variabelen

Een tweedegraadspolynoom op de R² ziet er uit als

P(x₁, x₂) = a_0,0+ a_1,0x₁+ a_0,1x₂+ a_1,1x₁x₂+ a_2,0x₁²+ a_0,2x₂² of compacter

P(x1, x2) = X

j1+j2≤2

aj1,j2x₁^j1x₂^j2.

Meer algemeen is een k-degraads polynoom op Rⁿ van de vorm P(x₁, . . . , x_n)

= X

j1+···+jn≤k

a_j1,...,jnx₁^j1· · · x_n^jn.

Merk op dat geldt D₁^j1· · · D_n^jnP(~0) = j1! · · · jn!aj1,...,jn. Dit suggereert dat we een C^k functie f kunnen proberen te benaderen met

Tk(~x) = X

j1+···+jn≤k

D₁^j1· · · D_n^jnf (~0)

j1! · · · jn! x₁^j1· · · x_n^jn.

Polynomen in meer variabelen

Een tweedegraadspolynoom op de R² ziet er uit als

P(x₁, x₂) = a_0,0+ a_1,0x₁+ a_0,1x₂+ a_1,1x₁x₂+ a_2,0x₁²+ a_0,2x₂² of compacter

P(x1, x2) = X

j1+j2≤2

aj1,j2x₁^j1x₂^j2.

Meer algemeen is een k-degraads polynoom op Rⁿ van de vorm P(x₁, . . . , x_n) = X

j1+···+jn≤k

a_j1,...,jnx₁^j1· · · x_n^jn.

Merk op dat geldt D₁^j1· · · D_n^jnP(~0) = j1! · · · jn!aj1,...,jn. Dit suggereert dat we een C^k functie f kunnen proberen te benaderen met

Tk(~x) = X

j1+···+jn≤k

D₁^j1· · · D_n^jnf (~0)

j1! · · · jn! x₁^j1· · · x_n^jn.

Polynomen in meer variabelen

Een tweedegraadspolynoom op de R² ziet er uit als

P(x₁, x₂) = a_0,0+ a_1,0x₁+ a_0,1x₂+ a_1,1x₁x₂+ a_2,0x₁²+ a_0,2x₂² of compacter

P(x1, x2) = X

j1+j2≤2

aj1,j2x₁^j1x₂^j2.

Meer algemeen is een k-degraads polynoom op Rⁿ van de vorm P(x₁, . . . , x_n) = X

j1+···+jn≤k

a_j1,...,jnx₁^j1· · · x_n^jn.

Merk op dat geldt D₁^j1· · · D_n^jnP(~0)

= j1! · · · jn!aj1,...,jn. Dit suggereert dat we een C^k functie f kunnen proberen te benaderen met

Tk(~x) = X

j1+···+jn≤k

D₁^j1· · · D_n^jnf (~0)

j1! · · · jn! x₁^j1· · · x_n^jn.

Polynomen in meer variabelen

Een tweedegraadspolynoom op de R² ziet er uit als

P(x₁, x₂) = a_0,0+ a_1,0x₁+ a_0,1x₂+ a_1,1x₁x₂+ a_2,0x₁²+ a_0,2x₂² of compacter

P(x1, x2) = X

j1+j2≤2

aj1,j2x₁^j1x₂^j2.

Meer algemeen is een k-degraads polynoom op Rⁿ van de vorm P(x₁, . . . , x_n) = X

j1+···+jn≤k

a_j1,...,jnx₁^j1· · · x_n^jn.

Merk op dat geldt D₁^j1· · · D_n^jnP(~0) = j1! · · · jn!a_j1,...,jn.

Dit suggereert dat we een C^k functie f kunnen proberen te benaderen met

Tk(~x) = X

j1+···+jn≤k

D₁^j1· · · D_n^jnf (~0)

j1! · · · jn! x₁^j1· · · x_n^jn.

Polynomen in meer variabelen

Een tweedegraadspolynoom op de R² ziet er uit als

P(x₁, x₂) = a_0,0+ a_1,0x₁+ a_0,1x₂+ a_1,1x₁x₂+ a_2,0x₁²+ a_0,2x₂² of compacter

P(x1, x2) = X

j1+j2≤2

aj1,j2x₁^j1x₂^j2.

Meer algemeen is een k-degraads polynoom op Rⁿ van de vorm P(x₁, . . . , x_n) = X

j1+···+jn≤k

a_j1,...,jnx₁^j1· · · x_n^jn.

Merk op dat geldt D₁^j1· · · D_n^jnP(~0) = j1! · · · jn!a_j1,...,jn. Dit suggereert dat we een C^k functie f kunnen proberen te benaderen met

Tk(~x)

= X

j1+···+jn≤k

D₁^j1· · · D_n^jnf (~0)

j1! · · · jn! x₁^j1· · · x_n^jn.

Polynomen in meer variabelen

Een tweedegraadspolynoom op de R² ziet er uit als

P(x₁, x₂) = a_0,0+ a_1,0x₁+ a_0,1x₂+ a_1,1x₁x₂+ a_2,0x₁²+ a_0,2x₂² of compacter

P(x1, x2) = X

j1+j2≤2

aj1,j2x₁^j1x₂^j2.

Meer algemeen is een k-degraads polynoom op Rⁿ van de vorm P(x₁, . . . , x_n) = X

j1+···+jn≤k

a_j1,...,jnx₁^j1· · · x_n^jn.

Merk op dat geldt D₁^j1· · · D_n^jnP(~0) = j1! · · · jn!a_j1,...,jn. Dit suggereert dat we een C^k functie f kunnen proberen te benaderen met

Tk(~x) = X

j1+···+jn≤k

D₁^j1· · · D_n^jnf (~0)

j1! · · · jn! x₁^j1· · · x_n^jn.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie.

Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder: g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h).

Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder: g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R

met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder: g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t)

= f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder: g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h

=

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder: g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder: g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t)

=

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder: g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j

=

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder: g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder: g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder: g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder:

g^(k)(t)

=

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder:

g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk

voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(D_jf )(~a + t~h)h_j

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(D_jf )(~a + t~h)

 h_j =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(D_iD_jf )(~a + t~h)h_i

# h_j

=

n

X

i ,j =1

(D_ijf )(~a + t~h)h_ih_j.

Zo gaan we verder:

g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,j_k=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1) =

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + R_p(1) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a)h_j1· · · h_jk



+ R_p(1), waar er θ ∈ (0, 1) is zodat

R_p(1) = g^(p)(θ) p!

= 1 p!

n

X

j1,...,jp=1

(D_j1···jpf )(~a + θ~h)h_j1· · · h_jp =: R_p(~h)

Taylor in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is er voor elke h een θ ∈ (0, h) zodat f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! +f^(p)(θ) p! .

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,j_k=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1)

=

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + R_p(1) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a)h_j1· · · h_jk



+ R_p(1), waar er θ ∈ (0, 1) is zodat

R_p(1) = g^(p)(θ) p!

= 1 p!

n

X

j1,...,jp=1

(D_j1···jpf )(~a + θ~h)h_j1· · · h_jp =: R_p(~h)

Taylor in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is er voor elke h een θ ∈ (0, h) zodat f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! +f^(p)(θ) p! .

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,j_k=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1) =

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + R_p(1)

=

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a)h_j1· · · h_jk



+ R_p(1), waar er θ ∈ (0, 1) is zodat

R_p(1) = g^(p)(θ) p!

= 1 p!

n

X

j1,...,jp=1

(D_j1···jpf )(~a + θ~h)h_j1· · · h_jp =: R_p(~h)

Taylor in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is er voor elke h een θ ∈ (0, h) zodat f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! +f^(p)(θ) p! .

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,j_k=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1) =

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + R_p(1)

=

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a)h_j1· · · h_jk



+ R_p(1),

waar er θ ∈ (0, 1) is zodat R_p(1) = g^(p)(θ)

p!

= 1 p!

n

X

j1,...,jp=1

(D_j1···jpf )(~a + θ~h)h_j1· · · h_jp =: R_p(~h)

Taylor in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is er voor elke h een θ ∈ (0, h) zodat f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! +f^(p)(θ) p! .

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,j_k=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1) =

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + R_p(1) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a)h_j1· · · h_jk



+ R_p(1), waar er θ ∈ (0, 1) is zodat

R_p(1) = g^(p)(θ) p!

= 1 p!

n

X

j1,...,jp=1

(D_j1···jpf )(~a + θ~h)h_j1· · · h_jp =: R_p(~h)

Taylor in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is er voor elke h een θ ∈ (0, h) zodat f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! +f^(p)(θ) p! .

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,j_k=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1) =

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + R_p(1) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a)h_j1· · · h_jk



+ R_p(1), waar er θ ∈ (0, 1) is zodat

R_p(1) = g^(p)(θ) p! = 1

p!

n

X

j1,...,jp=1

(D_j1···j_pf )(~a + θ~h)h_j1· · · h_jp

=: R_p(~h)

Taylor in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is er voor elke h een θ ∈ (0, h) zodat f (h) = f (0) + f⁰(0)h + f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! +f^(p)(θ) p! .

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1) =

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + R_p(1) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,j_k=1

(D_j1···j_kf )(~a)h_j1· · · h_jk



+ R_p(1), waar er θ ∈ (0, 1) is zodat

Rp(1) = g^(p)(θ) p! = 1

p!

n

X

j1,...,jp=1

(Dj1···jpf )(~a + θ~h)hj1· · · h_jp

=: Rp(~h) We hebben dus bewezen dat

f (~a + ~h) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(Dj1···j_kf )(~a)hj1· · · h_jk



+ Rp(~h).

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1) =

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + R_p(1) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,j_k=1

(D_j1···j_kf )(~a)h_j1· · · h_jk



+ R_p(1), waar er θ ∈ (0, 1) is zodat

Rp(1) = g^(p)(θ) p! = 1

p!

n

X

j1,...,jp=1

(Dj1···jpf )(~a + θ~h)hj1· · · h_jp

=: Rp(~h)

We hebben dus bewezen dat f (~a + ~h)

=

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(Dj1···j_kf )(~a)hj1· · · h_jk



+ Rp(~h).

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1) =

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + R_p(1) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,j_k=1

(D_j1···j_kf )(~a)h_j1· · · h_jk



+ R_p(1), waar er θ ∈ (0, 1) is zodat

Rp(1) = g^(p)(θ) p! = 1

p!

n

X

j1,...,jp=1

(Dj1···jpf )(~a + θ~h)hj1· · · h_jp

=: Rp(~h)

We hebben dus bewezen dat f (~a + ~h) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(Dj1···j_kf )(~a)hj1· · · h_jk



+ Rp(~h).

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(D_j1···j_kf )(~a + t~h)h_j1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1) =

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + R_p(1) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,j_k=1

(D_j1···j_kf )(~a)h_j1· · · h_jk



+ R_p(1), waar er θ ∈ (0, 1) is zodat

Rp(1) = g^(p)(θ) p! = 1

p!

n

X

j1,...,jp=1

(Dj1···jpf )(~a + θ~h)hj1· · · h_jp =: Rp(~h) We hebben dus bewezen dat

f (~a + ~h) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(Dj1···j_kf )(~a)hj1· · · h_jk



+ Rp(~h).