Taylor naar meer dimensies

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Taylor in Rⁿ(19)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Taylorreeksen in R

Zij f : R → R een C^p functie. Dan is f (h) = f (0) + f⁰(0)h +f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! + Rp(h), waar Rp(h) =^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen 0 en h.

Meer algemeen hebben we voor a ∈ R dat f (a + h) = f (a) + f⁰(a)h +f⁰⁰(a)h²

2 + · · · +f^(p−1)(a)h^p−1

(p − 1)! + Rp(h)

met Rp(h) =^f(p)_p!^(θ)hp voor zekere θ tussen a en a + h. Als gevolg hiervan zien we

f (a + h) =

p−1

X

k=0

f^(k)(a)

k! h^k+ O(|h|^p).

Polynomen in meer variabelen

Een tweedegraadspolynoom op de R²ziet er uit als

P(x1, x2) = a0,0+ a1,0x1+ a0,1x2+ a1,1x1x2+ a2,0x₁²+ a0,2x₂² of compacter

P(x1, x2) = X

j1+j2≤2

aj1,j2x₁^j1x₂^j2.

Meer algemeen is een k-degraads polynoom op Rⁿvan de vorm P(x1, . . . , xn) = X

j₁+···+j_n≤k

aj₁,...,jnx₁^j1· · · x_n^jn.

Merk op dat geldt D₁^j1· · · D_n^jnP(~0) = j1! · · · jn!aj1,...,jn. Dit suggereert dat we een C^k functie f kunnen proberen te benaderen met

Tk(~x) = X

j1+···+jn≤k

D₁^j1· · · D_n^jnf (~0)

j1! · · · jn! x₁^j1· · · x_n^jn.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met

g⁰(t) = f⁰(~a + t~h)~h =

n

X

j =1

(Djf )(~a + t~h)hj

en

g⁰⁰(t) =

n

X

j =1

 d

dt(Djf )(~a + t~h)

 hj =

n

X

j =1

" _n X

i =1

(DiDjf )(~a + t~h)hi

# hj

=

n

X

i ,j =1

(Dijf )(~a + t~h)hihj.

Zo gaan we verder:

g^(k)(t) =

n

X

j1,...,j_k=1

(Dj1···j_kf )(~a + t~h)hj1· · · h_jk voor k ≤ p.

Taylor naar meer dimensies

Zij f : Rⁿ→ R een C^p-functie. Definieer g (t) = f (~a + t~h). Dan is g : R → R met g^(k)(t) =

n

X

j1,...,jk=1

(Dj₁···jkf )(~a + t~h)hj₁· · · hj_k voor k ≤ p.

Taylor toepassen op g geeft g (1) =

p−1

X

k=0

g^(k)(0)

k! + Rp(1) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j₁,...,j_k=1

(Dj₁···jkf )(~a)hj₁· · · hj_k



+ Rp(1), waar er θ ∈ (0, 1) is zodat

Rp(1) = g^(p)(θ) p! = 1

p!

n

X

j1,...,jp=1

(Dj1···jpf )(~a + θ~h)hj1· · · h_jp=: Rp(~h) We hebben dus bewezen dat

f (~a + ~h) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(Dj1···jkf )(~a)hj1· · · h_jk



+ Rp(~h).

Taylor in R

Zij f : R → R een C^pfunctie. Dan is er voor elke h een θ ∈ (0, h) zodat f (h) = f (0) + f⁰(0)h +f⁰⁰(0)h²

2 + · · · +f^(p−1)(0)h^p−1

(p − 1)! +f^(p)(θ) p! .

Taylor in meer dimensies

Stelling van Taylor op Rⁿ, lelijke variant (12.6) Zij f : E → R een C^p-functie en a ∈ E . Dan geldt

f (~a + ~h) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j1,...,jk=1

(Dj1···jkf )(~a)hj1· · · h_jk



+ Rp(~h), waar er θ ∈ (0, 1) bestaat zodat

Rp(~h) = 1 p!

n

X

j1,...,jp=1

(Dj1···jpf )(~a + θ~h)hj1· · · h_jp.

Merk op dat voor een C^p functie de afgeleides Dj1···jpf begrensd zijn rond ~a, dus

|R_p(~h)|≤ C

n

X

j1···jp=1

|h_j1· · · h_jp| ≤ C

n

X

j1···jp=1

k~hk^p= Cn^pk~hk^p= O(k~hk^p).

Herordenen van termen

Bekijk

n

X

j1,...,j_k=1

(Dj1···j_kf )(~a)hj1· · · h_jk

Een term van deze som ziet eruit als D₁^k1· · · D_n^knf
(~a)h^k₁¹· · · h^k_nⁿ,

waar k1+ · · · + kn= k. We krijgen zo’n term meerdere keren, want de volgorde van de afgeleides maakt niet uit en evenmin de volgorde van de hi. Bovenstaande term komt

k!

k1!···kn! voor, dus

n

X

j1,...,jk=1

(Dj1···jkf )(~a)hj1· · · h_jk = X

k1+···+kn=k

k!

k1! · · · kn! D₁^k1· · · D_n^knf
(~a)h₁^k1· · · h^k_nⁿ.

Termen herordend

We herschrijven nu de Taylorbenadering:

f (~a + ~h) =

p−1

X

k=0



 1 k!

n

X

j₁,...,j_k=1

(Dj₁···jkf )(~a)hj₁· · · hj_k



+ Rp(~h)

=

p−1

X

k=0

1 k!



 X

k1+···+kn=k

k!1

k1! · · · kn! D₁^k1· · · D_n^knf
(~a)h₁^k1· · · h^k_nⁿ



+ Rp(~h)

= X

k1+···+kn≤p−1

D₁^k1· · · D_n^knf
(~a)

k1! · · · kn! h₁^k1· · · h^k_nⁿ+ Rp(~h) Stelling van Taylor, variant 2

Zij f : E → R een C^p-functie en a ∈ E . Dan geldt f (~a + ~h) = X

k₁+···+k_n≤p−1

D₁^k1· · · D_n^knf
(~a)

k1! · · · kn! h₁^k1· · · h_n^kn+ O(k~hk^p).