Tijdschrift van het
N ederlands Radiogenooischap
DEEL 25 No. 5 — 6 1960
Symposium Filtersynthese
O p w oen sd ag 18 en d o n d erd ag 26 novem ber 1959 w e rd in D e lft een tw e e d a a g s Sym posium gehouden ov er F iltersy n th ese, g eb aseerd op h e t gebruik van functies m et een com plexe v a ria bele. D it S3Tm posium w e rd geo rg an iseerd in sam enw erking m et h e t K oninklijk In stitu u t van Ingenieurs, S ectie voor T elecom m unicatietechniek.
In de Sym posium -com m issie had d en zitting:
P rof. D r. Ir. W . Th. B ah ler (voorzitter) P ro f. D r. C . E. M u ld ers (secretaris N .R .G .) D r. Ir. A. v. W e e l
P ro f. Ir. W . H .v . Z o e st
D it num m er b e v a t de te k s t van alle op deze dagen gehouden v o o rd rach ten .
Sym posium on filtersyn thesis based on the ap
plication of functions w ith a com plex variable
Summary
T h e in te n tio n o f th e sym posium held in D e lft on 18 and 26 N o v e m b er 1959 w a s to give in a series o f lec tu re s a co h ere n t re v ie w o f th e th eo ry a n d ap p licatio n of th e m eth o d s u sed in sy n th esisin g e lectrical filte rs. O n ly p a ssiv e n e tw o rk s w e re discussed. O u t o f th e d ifferen t so rt o f filte rs e.g.
electrical, electro -m ech an ical a n d e lectro -aco u stical filte rs, electrical filte rs w e re chosen w ith a fu rth e r re stric tio n th a t only the syn th esis o f those filte rs cam e u n d e r v iew from w h ich the re a l p a rt o f the tran sfere x p o n en t as a fu n ctio n o f freq u en cy is p re scrib e d .
T he opening lec tu re given b y W . T h. B a h le r is a su rv e y of p ro p e rties of n e tw o rk fu n c tio n s w ith a com plex v a ria b le .
T h e second lectu re gives the tra n sfo rm a tio n from a lo w p a ss filte r into a h ig h p ass or a b a n d p a s sfilte r.
T he b ric k w a ll c h a ra c te ristic fo r th e a tte n u a tio n is discu ssed in connection w ith th e B ode re la tio n b e tw e e n re a l a n d im a g in ary p a rt o f the tra n sfe r- exponent.
M e th o d s fo r ap p ro x im atio n o f a p re scrib e d a tte n u a tio n c h a ra c te ristic a re d e a lt w ith . E x am p les a re given for th e m axim ally flat c h a ra c te ristic and th e ty p e T sc h eb y sch e w I w ith a rip p le in the p a ssb a n d of a lo w p a ss filte r.
T he lectu re given b y W . N ijen h u is continues w ith th e th eo re tic al p a rt.
H e re h as been d e a lt w ith the pro b lem o f filte rs acco rd in g to T sc h eb y sch e w II (a rip p le in th e p a ssb a n d as w ell as in th e a tte n u a tio n -b a n d ).
B y insp ectio n of th e su rface \/(/>)\ = \f(p -)-/<») I w ith p e a k s in the neig h b o u rh o o d of poles a n d p its in the v icin ity o f z e ro ’s a sty lish m e
th o d is given fo r the in tro d u ctio n o f ellip tical functions.
T he c o n trib u tio n o f W . M ilo rt consists of tw o lectu res.
T h e f ir s t lec tu re d eals w ith th e th eo ry o f the sy n th esis o f the tra n sfe r- function o f a filte r w ith T sc h eb y sch e w p ro p e rtie s in b o th th e p a ssb a n d a n d th e a tte n u a tio n b a n d . A fte r su rv e y o f the differen t q u a d ru p o le p a r a m eters a se t o f th e so called c h a ra c te ristic polynom ials is deriv ed . T he sta rtin g p o in t fo r the design an d th e m eans fo r c o m p en satin g fo r th e losses a re discussed.
T h e second lec tu re d eals w ith th e a p p lic atio n o f the th eo ry w ith several exam ples fo r th e sy n th esis o f filte r acco rd in g to the m ethod of D a rlin g to n an d C a u er.
T h e c o n trib u tio n o f A . F e ttw e is.
T h is p a p e r gives a re v ie w o f th e v a rio u s asp ects o f th e design of in sertion loss filte rs w ith T sc h eb y sch e w p a ssb a n d b e h av io u r a n d a rb itra ry position o f th e a tte n u a tio n p oles. F irs t, th e gen eral th eo ry of p u re ly r e active fo ur-poles is briefly re v ie w e d a n d the ro le of th e c h a ra c te ristic fu n ctio n is d iscu ssed . T h is is follow ed b y a m ore d e ta ile d discussion ol the e stab lish m en t of th e c h a ra c te ristic function. T he im p o rta n ce of the T sc h eb y sch e w ap p ro x im atio n from the p o in t of v iew of optim um filte r design is p o in te d ou t a n d th e so called referen ce filte r is in tro d u c ed . It is show n, h o w the im age a tte n u a tio n poles of th e referen ce filte r can, in p ra ctic e , be d eterm in ed , a n d explicit form ulae fo r th e coefficients of the c h a ra c te ristic fu n ctio n are given. T h e calcu latio n o f the c h a ra c te ristic p o lynom ial g is th en d e sc rib e d a n d a m eth o d fo r im proving th e original polynom ials f an d h is in d icated . T he nex t sections are d e v o te d to th e p ro blem o f fin d in g a su ita b te filte r stru c tu re a n d to the p roblem o f com puting its elem ents. F in a lly the p re d isto rtio n m ethod is briefly discussed.
Deel 25 - N o. 5-6 - 1960 255
T heoretische inleiding van het sym posium
"F iltersynthese gebaseerd op het gebruik van functies m et een com plexe variabele”
Deel I
door W . T h. Bahler *) 1. Nomenclatuur en symbolen
U it de elem entaire w isselstroom theorie is bekend, d a t scha- kelverschijnselen gedem pte trillingen opleveren. D e w o rte ls van de k a ra k te ristie k e vergelijking in p , die o n ts ta a t n a d a t in de hom ogene differentiaalvergelijking bijv. i — A e ^ ‘ w o rd t gesub
stitu eerd , leveren de eigenfreqiienties van h e t systeem .
A ls de vergelijking een tw eed e lid h eeft in de vorm van een gedem pte harm onische trilling, k an analoog aan de behandeling van ongedem pte harm onische trillingen een com plexe storings- functie ingevoerd w o rden. D e spanning:
ej = ês ~~ ot cos (cot + 0) g a a t m et:
yV2 = j ê s ~ ot sin (cot + 0) over in :
eT + j e2 = e = ês 0 = ês
Bij sam engestelde n e tw e rk e n o n tsta a n bij to ep assin g van de w e t van F a ra d a y -M a x w e ll een a a n ta l sim ultane d ifferen tiaal
vergelijkingen in de onafhankelijk v eran d erlijk e i1, f2, enz.
T eneinde een differentiaalvergelijking te krijgen in één van de v eranderlijken, m oeten de overige v eran d erlijk en geëlim ineerd w orden. Bij d it elim inatieproces o n tsta a n hogere afgeleiden van i en van de storingsfunctie e0.
M en k rijg t dan een differentiaalvergelijking van h e t ty p e : an d n i
d t n + dn- i 7 11— I • a i
d tn- 1 a„ i = b„ d me
d t m ... . + ba t D an zullen e r oplossingen zijn van h e t ty p e:
i = ï e J w
p = - o + j co vo o r een gedem pte trillin g en p — o + j co v o o r een aan groeiende trilling.
) T echnische H ogeschool, D e lft.
H e t tijdsafhankelijke deel van h e t argum ent v an e of i is p t . M en noem t p de complexe frequentie.
E en term in de d ifferentiaalvergelijking van h e t ty p e L d i
le v e rt bij su b stitu tie van i = i s (Pt + JV ) een term p L i en een term ^ of — le v e rt .
C C pc
H e t invoeren van com plexe freq u en ties le v e rt voordelen op bij h e t stab iliteitso n d erzo ek en m a a k t de overgang tu ssen an aly se en synthese eenvoudiger. In vele gevallen k an h e t onderzoek van functies van een com plexe freq u en tie inzicht geven voor h e t geval d a t p = je n . A angezien wij v e rd e r m et com plexe fre quenties w erk en , kunnen e en i verv an g en w o rd en d o o r e en t.
In de enkele gevallen, d a t e of i de o g en b lik sw aard e van een spanning of stroom v o o rstelt, zal e r op gew ezen w o rden.
D e overgang n a a r reële freq u en ties geschiedt door o = O te stellen, w a a rd o o r p de w a a rd e jen krijgt.
D e n o ta tie is d an : E = E e I e
E is de effectieve w a a rd e .
2. Rationele functies van een com plexe variabele f{ P ) = H . p m + am- i p m- '
p n + K -x P n- X p = a + j <o
• + aQ
• + b0
E r w o rd t aangenom en, d a t de coëfficiënten eik, resp . b& reëel zijn.
S tel de w o rtels van de te lle r zijn: z z ...z„, (z = n u lp u n t (zero) = w o rte l van de teller) en v an de noem er; p z ...p„ {p = pool = w o rte l
van de noem er)
f {P) — H . (p - z T) (p - zj)
(r - px) (fi - A ) (P - Zm) (.P - Pn)
In h e t b o v en staan d e v o o rb eeld is aangenom en, d a t e r en k el
voudige w o rtels in te lle r en noem er zijn, d.w .z. enkelvoudige n ulpunten en polen. A angezien de coëfficiënten reëel zijn, m oeten de w o rte ls, als ze com plex zijn, in toegevoegd com plexe p a re n voorkom en.
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” I 257
S tel eens een w o rte l is £, = o, + j co,, d an is de toegevoegd com plexe w o rtel z^ = ar —ja>1.(P ~ *i) (P - *2) = (P ~ °i - JCOt) (P ~ o, + /co,)
= ( / - Oi) - J " i
= (P - o,)2 + co/ = / 2 - 2/ 0, + o,2 + co,2 E r kunnen ook im aginaire nulpunten voorkom en. D it le v e rt een term / 2 + co,2. H etzelfd e g eld t voor polen.
A ls o n eg atief is, w o rd en de coëfficiënten positief.
Voorstelling van nulpunten en polen in het complexe vlak
¥1
: jw
¥! cr
*11
----0
fig. 1
V o o rstellin g van n u lp u n ten en polen in h e t com plexe vlak.
E en nulp u n t van f (p) w o rd t v o o r
gesteld d o o r o in h e t com plexe v lak en een pool d o o r x (fig. 1).
D e functie is, afgezien van een con
sta n te facto r, b ep aald d o o r n ulpunten en polen. A ls de v ariab ele p in de b u u rt is van een n ulpunt, w o rd t de m odulus van f (p) klein en in de b u u rt van een pool zeer groot.
f( p ) = f { ° +ja>) = / . (o,co) + j f \ (o,cu) ƒ , (o,co) is de vergelijking van een opp erv lak . f l is de hoogte
boven h e t v lak m et o rthogonale coö rd in aten o en co. H etzelfd e g eld t voor ƒ„ (o,co). f (p) k an dus voo rg esteld w o rd en door tw ee o p p erv lak k en boven een o,co-vlak. E en an d ere m ethode is om de com plexe functie w e e r te geven d o o r m odulus en a r gum ent als functie van co.
W ijz erv o o rste llin g v an com plexe g ro otheden.
W ijzer-interpretatie van f (p)
p is een g ro o th eid in h e t com plexe v lak en kan dus voo rg esteld w o rd en d o o r een w ijzer. E venzo k an een nu l
p u n t of een pool v o o rg esteld w o rd en door een w ijzer, p k an als v ariab ele op elk p u n t voorkom en, de nulpunten en polen alleen op bep aald e p laatsen . D e fa c to r p — z T w o rd t voorgesteld d o o r de w ijzer ab (fig. 2).
M e t de n o tatie p — z z = T z T ,...
f ( P ) = H . N z .
e 1 , enz. w o rd t . . . Tm £ /(®i + ---- 6m) . . . N n 6 f<y>* + . . . . V>»)
V a n bijzonder belang is h e t g ed rag v an f (p) als functie van jco, dus langs de im aginaire as.
V o o rb eeld (lig. 3, 4 en 5).
f( P ) = H . T z e >6h
V , 6 iv* N a £ >v>* H . T t AT V ,
- v>j - V,5 e
fig. 3
V o o rb eeld v an een com plexe functie m et 1 n u lp u n t
en 2 polen.
fig. 4 M o d u lu s v an f (p) .
fig. 5 A rg u m en t v a n J (p).
fig. 6 N e tw e rk b eh o ren d
bij fig. 3.
B ijpassende schakeling (fig. 6):
z p L + R L R
[ ' + T
p* L C + p C R + i L C 2 T? i
p + p — + -
A L C
P = ~
Te R I
A = - — / + p — H--- = O
L A AC
R l / R2 I ^ , I
---h B tel ---
2f “ 1 4 V ‘ L C L C > R2
A >2
TeZ
223. Polynom en met reële coëfficiënten, w aarvan de w ortels in de linkerhelft van het complexe vlak liggen
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” I 259
f { p ) = anp n + an _ , / * 1 + ...a0
■= a„ (p - / , ) (P - A ) ... ( / “ A )
Ken w o rte l op de negatieve reële as / , = —o, g eeft een fa c to r p — / , = p + o ,. E en geconjugeerd ste l w o rte ls / 2 = — o2 -t-yo>2
en / 3 = p * = — o2 — y’co2 le v e rt de fa c to re n :
(p - A ) (/> - A ) = (/> + - 7“ 2) ( / + o2 4 yco2) = ( / + o2)2 +col =
= A + 2 po,, + al + col A ls alle w o rte ls van een polynoom in h e t lin k er h alfv lak liggen, kom en alle machten van p v o o r en alle coëfficiënten zijn positief.
H e t p o sitief zijn v an de coëfficiënten en h e t voorkom en van alle m achten van p is w el een noodzakelijke, m a a r n iet vol
doende v o o rw a a rd e v o o r de eis, d a t alle w o rtels van h e t p o lynoom een n eg atief reëel deel hebben.
B eschouw h e t p ro d u ct:
ƒ (p) = (P + °i) (A - 2 /0a + ö2 + col) =
= A + A (oj - 2 oa) + P (A + col - 2 o, Ö2) + o, (al + col) D eze functie h eeft een reële w o rte l — o, en een stel toegevoegd com plexe w o rte ls / 2, 3 = o2 iy c o 2. A lle coëfficiënten v a n / kunnen p o sitief zijn en alle m achten van p kunnen voorkom en.
H u rw itz polynomen
fig. 8
P olynoom m et 3 w o rte ls in het lin k e r h alfv lak m et w ijzers n a a r een p u n t / en een p u n t ~ / op
de im ag in aire as.
fig. 7
Polynoom m et 3 w o rte ls in het lin k e r h a lfv lak m et w ijzers n a a r
een p u n t p en een p u n t ~p .
In de figuren 7 en 8 zijn de w o rte ls aangegeven van een derd e
graad sfu n ctie m et w o rte ls in de lin k erh elft. In fig. 7 is een w illekeurige w a a rd e v an p -aangegeven en tev en s een p u n t m et de negatieve w a a rd e van p . V o o r een p u n t / in de re c h te rh elft is de m odulus van f (p) g ro te r d an voor een p u n t - p in de lin k erh elft. D e w o rte ls van f (p) liggen volgens de v e ro n d e r
stelling in h e t lin k erh alfv lak en dus niet op de im aginaire as.
In fig. 8 zijn p en —p a a n g e b ra c h t op de im aginaire as. U it de figuren volgt:
! / ( / ) | > ! / ( - / ) | als R e ( p ) > o p ligt in de re c h te rh elft [ ƒ ( /) ! = | / ( - / ) | als R e (p) = O p ligt op de im aginaire as
\f{ P ) \ < ! ƒ ( - / ) ! als R e (p )< io p ligt in de lin k erh elft
of an d e rs geform uleerd m et 0 (p) = ^ ^
f i - P )
0 (p) | > I als R e (p) j> o I & (/) I = 1 als R e (p) = O I (P) I 1 als R e (p) < o
D it g a a t alleen op als alle w o rtels in h e t lin k erh alfv lak liggen.
A ls er m eer w o rte ls zijn in h e t lin k erh alfv lak , blijven boven
staan d e b etrek k in g en geldig.
A ls aa n b o v en staan d e v o o rw a a rd e n is v oldaan, is f (p) een h u rw itz polynoom (H .P .). D eze v o o rw a a rd e n kunnen in een vorm g e b ra c h t w o rden, die h e t onderzoek vereenvoudigd.
W e schrijven ƒ (/) = m (p) + n (p ), w aarb ij m (p) de term en zijn m et even m achten en ?i (p) de term en m et oneven m achten.
f( p ) = arp r + ar_ i p r- ’ + ... a0 V o o r even r geldt:
m (p ) = a rp r + ar_ z p r- 2 + ... a0 n (p ) = + ar^ 3p' - 3 + a ,p In h e t algem een is dus:
/ ( / )
= m(p) + n(p) f(~P)
=m (P) - n (p)
D u s f (p) + f ( —p) — 2 m (p) f(P ) - f (~P ) = 2 n (p)
W e voeren nu een nieuw e functie in:
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” I 261
- f w + f A P ) - m 0>) f ( P ) - f i - P ) n (p )
H ie ru it volgt:
f i P ) + ,
p (p ) f ( p ) * ( / » ) - i A - P )
r2 — I ƒ 2r sin 0
N N
H ierbij is g esteld: 0 (p ) = r e N = [ r cos 0 — I ] 2 + r2 sin" 0
0 (P)\ = r
D e b etrek k in g tu ssen 0 (p) en xp (p) is een zgn. gebroken line
aire tran sfo rm atie. D e eenheidscirkel in h e t 0 —v lak w o rd t g e
tra n sfo rm e e rd n a a r h e t xp—vlak. H e t gedeelte binnen de een h eidscirkel in h e t 0 — v lak w o rd t g etran sfo rm eerd n a a r h et lin k er xp—vlak en h et deel van h e t 0 —vlak buiten de eenheids
cirkel w o rd t g etran sfo rm eerd n a a r h e t re c h te r xp — vlak. D e om trek van de eenheidscirkel in h et 0 — v lak w o rd t de im aginaire as van h et xp — vlak.
D e volgende betrek k in g en gelden voor xp (/>):
R e (xp) j> O als 0 (p ) j > I en dus als Re (p ) > o R e (pp) = o als | 0 (p)\ = I en dus als R e (/>) = o R e (xp) < o als i 0 (p) j <C I en dus als Re (p) <j O
Onderzoek van de nulpunten en polen van ip (p ) = m (p) n (P)
A angezien m (p) en n (p ) gevorm d zijn d o o r de even en oneven m achten van f (p ), kunnen de hoogste m achten van p in telle r en noem er niet m eer dan de eenheid verschillen. A ls de hoogste m acht van p even is, h eeft de te lle r de hoogste g raad .
f( P ) = « 4/ 4 + « 3/ 3 + + « i / + «o m (p) _ a4 ƒ4 + a^p* + a0
n (p ) ~ a3p 3 + ƒ xp(p) •=
A ls de hoogste m acht van p oneven is, h eeft de noem er de hoogste g raad .
f ( p ) = + « 2/ 2 + a^p + aQ
w ( i > ) - 7! L M = a ^ A + ± g° o f w -x f a ) = + +
n ( p ) a 5ps + a^pi + a rp a^p* + « 2/ 2 + aa M en k an bew ijzen d a t:
T) P olen en n ulpunten van xp (p ), resp. xp~z (p) enkelvoudig zijn en op de im aginaire as liggen.
pa 1 d V>
j da>
v an F oster).
D e form ules voor xp (p) voor n = even en xp~1 (p ) voor n — p o sitief is, dus polen en nulpunten a lte rn e ren (theorem a
V o o rstellin g v a n een even xp 1 - functie v an een potynoom van
V -functie. de 5e g ra ad .
oneven kunnen u itg e d ru k t w o rd en in n ulpunten en polen. V o o r een even g raad , bijvoorbeeld n = 4 (fig. 9) is:
f ( p ) = + ö3/3 + rt2/ 2 + a rp + a0, dus ip(p) = « 4/ 4 + a*p2 + a0
«3PI
+
«xPV o o r p — ja> kom en e r w o rte ls v an te lle r en noem er voor van h e t ty p e + y'co*. D eze leveren een fa c to r {p — j(Ok) (p+ ja> k) = pa + co*. D u s is:
yj(P) = ( / +
at)( / + CO3)
P ( p ’ + col) CO- > C02 > ft).
E r is een pool v o o r p = O, d an kom t e r een geconjugeerd ste l
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” I 263
nulpu n ten p = i jcolt d a a rn a een stel polen p = i j ( o2 en v e rvolgens een stel n ulpunten p = + Jco3.
V o o r een ip functie, die afgeleid is van een H .P . m et een oneven g raad , v erlo o p t h et proces analoog. B ijvoorbeeld v o o r » = 5 (fig-10)
f ( p ) = a5ps + « 4/ 4 + « 3/ 3 + + a^p + a0
a s [ / 5 + P" (u l + “ 4) + P J
V \P) = - ■« 4 1 / + p (cOi + CO
r>,4 ,
j/ . ~---- 2
3) + COi CO, , si
3JD e functie xp {p) , respectievelijk ip~1 (ƒ) k an ontw ik k eld w o rd en in een k e ttin g b re u k m et reële positieve coëfficiënten. H e t a a n ta l term en van de k e ttin g b reu k is gelijk a an de g ra a d van ƒ (p).
Z ijn de coëfficiënten n iet p o sitief of w o rd t de ontw ikkeling in een k e ttin g b re u k afgebroken, dan is h e t polynoom , w a a rv a n de xp (p ) of xp~1 (p) afkom stig is, geen hurw itzpolynoom .
4. N etw erkfuncties
fig. 11
In g a n g sim p e d an tie van een tw eep o o l aangesloten
op een sp an n in g sb ro n .
D e volgende functies zijn van belang bij h et onderzoek v an schakelingen:
D e ingangsimpedantie (driving-point im- pedance) is de verhouding tu ssen de o p g ed ru k te spanning en de stroom , die aa n de ingang v an een tw eep o o l o p tre e d t als functie van p of jco (fig. 1 1).
*i = *n =~7=f(p)°£Z„=
y - =/(jco)
fig. 12
In g a n g sad m itta n tie van een tw eep o o l aan g eslo ten
op een stro o m b ro n .
D e i?igangs adm ittantie (driving-point ad m ittan ce) is de verhouding tu ssen de stroom , die a a n de ingang van de tw e e pool o p tre e d t en de klem spanning als functie van p of jco (fig. 12).
y»
= — = / ( / ) of
Y„=
d - = f(jco)U I2 j 2
D e ad m ittan tie is h e t recip ro k e van de im pedantie. D e term im m ittantie k a n zow el v o o r im pedantie als v o o r ad m itta n tie g eb ru ik t w orden.
De polen en nulpunten van passieve ingangsinnnittanties.
A ls een p assief n e tw e rk aan g eslo ten w o rd t op een spannings
bron, g eld t de b etrek k in g :
ƒ . (/) izi of i = e0j i
° A (P)
Zi — is een g ebroken ratio n ele functie, nl. de verhouding J 2 \P)
van tw ee polynom en. Indien een p assief n e tw e rk aan g eslo ten w o rd t op een stroom bron, geldt:
*o = uyt of u - i0z { = iQ
f* \P)
H e t reële deel van een passieve ingangsim m ittantie k an voor geen enkele w a a rd e van p = jco n eg atief zijn. E en im m ittantie is een po sitief re'cle functie. D it b etek en t, d a t h e t argum ent van een im m ittantie nooit g ro te r k an zijn dan + —. Bij hoge w a a r-
2
de van co le v e rt elk nulpunt een b ijdrage van ^ en elke pool een bijdrage van —
H ie ru it volgt:
1. H et aantal nulpunten van een passieve ingangsim m ittantie kan ten hoogste één verschillen van het aa n ta l polen.
2. N ulpunten en polen van de ingangsim m ittantie van een passieve tweepoot liggen in de linkerhelft van het complexe vlak.
3. N ulpunten en polen in lin kerh a lfvla k mogen m eervoudig zijn.
4. N ulpunten en polen van de ingangsim m ittantie op de im aginaire as moeten enkelvoudig zijn.
D e overdrachtsimpedantie van een vierpoot (tra n sfe r im pedance) is de verhouding van de spanning ov er een v astg esteld e belas- tingsim pedantie en de ingangsstroom . N e tw e rk inclusief adm it- ta n tie van n o rto n g e n e ra to r (g eleid b aarh eid ) (hg. 13 en 14).
fig. 1.5
O v e rd ra c h tsim p e d a n tie v an een v ierpool m et een stro o m b ro n aan de lin k er klem m en en b e la st m et een im p ed an tie a an de re c h te r
klem m en.
fig. 14
O v e rd ra c h tsim p e d a n tie van een vierpool m et de re c h te r klem m en aan g eslo ten a a n een stroom bron en a a n de lin k er klem m en b e la st
m et een im p ed an tie.
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” I 265
D e spanning ov er de b elastin g sim p ed an tie i s :Z<* = Zo
f i {p),
w aarb ij ƒ , (/) gevorm d w o rd t d o o r de verhouding van tw ee polynom en en de dim ensie h eeft van een im pedantie.
— = f i ( P ) = Z T Of & T i n • K
O verdrachtsadm ittantie van eeti vierpool
D e stroom d o o r de belastin g sim p ed an tie is: t„ — e0 F ^(p); F„(p) w o rd t gevorm d d o o r de verhouding van tw ee polynom en en h eeft de dim ensie van een ad m ittan tie.
N e tw e rk inclusief w e e rsta n d van g en erato r.
fig. 15
O v e rd ra c h tsim p e d a n tie van een vierpool, die aan de lin k e r klem m en b elast is m et een sp an n in g sb ro n en w a a rv a n de re c h te r klem m en afgesloten zijn
m et een im pedantie.
O v e rd ra c h tsim p e d a n tie van een vierpool, w a a rv a n de lin k e r klem m en zijn aangesloten aan een sp a n n in g sb ro n en de re c h te r klem m en b e la st zijn m et
een im p ed an tie.
— = fXP) = y'T m ~ y T •
H ierm ede w o rd t dus in verk reg en als functie van de gegeven o p gedrukte spanning.
D e o v erd rach tsv erh o u d in g van spanningen is de verhouding van de spanning aan de b elastin g en de o p g ed ru k te spanning.
M en k a n ook sp rek en van de spanningstransm issie en h iervoor h et lettersy m b o o l Tn invoeren.
A ls functie v a n p zijn de sp an n in g so v erd rach tsv erh o u d in g en (fig.17)
fig. 17
O v e rd ra c h tsv e rh o u d in g v an de sp a n n in g aan de b elastin g zijd e en de klem sp an n in g a a n de
ingangszijde.
fig. 18
O v e rd ra c h tsv e rh o u d in g v an de sp an n in g over de b e la stin g en de opge
d ru k te sp a n n in g aan de re c h te r klem m en.
Mtt %
T uz„ = — , respectievelijk T uni — — als de rich tin g van h et
Uz un
verm ogen van re ch ts n a a r links is (fig. 18). N eem a a n d a t de vierpool is aan g eslo ten op een e.m .k.^0. D e sp an n in g so v erd rach ts- verhouding is dan:
rj~ zin zn z n y 'p
f u = — = --- - = y r Z n = --- .
^ o y n
A ls functie van j<x> n o teren wij : U n
ü t respectievelijk Ur Un
D e o v erd rach tsv erh o u d in g van strom en is de verhouding van de stroom d o o r de b elastin g en de ingangsstroom .
T
-1 i i n - — resp . 1 in l — In rr* als functie van p
— resp . hI n
I n als functie v an jco Bij aan slu itin g op een stro o m b ro n geld t:
in Un y„ z T
Ti — — = — — = z Ty n = — 2 o
D e o v erd rach tsex p o n en t van de spanningen w o rd t gedefinieerd d o o r de o v erd rach tsv erh o u d in g van de spanningen gelijk te stellen a an een e—m ach t m et een negatieve exponent.
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” I 267
«- ü^ (p t+ jp n ) = ^ = £-<9
<71 _
“ “ «, ü, s w + ^ l) ~ H
N .B . In v erb a n d m et de u itw erk in g w o rd t h ier de n o tatie gebruikt.
un Û,
U n
U
0 = a + jb
= e~a of Un = Ut
D e keuze van h e t m inteken is g ed aan om dat dan h e t positief reële deel v an h e t com plexe arg u m en t 0 , de dem pingsexponent genoem d k an w orden.
Bij richtings-onsym m etrie is de dem pingsexponent voor een sp an n in g so v erd rach t van links n a a r rech ts ongelijk a an die bij de o v e rd ra c h t van rech ts n a a r links.
N ulpunten en polen van overdrachtsfuncties van passieve vierpoten.
A ls ty p e van een o v erd rach tsfu n ctie nem en w ij:
=
H (P
~Zr) (P ~ Z*)
...( P - ”m) eo
'(P ~ Pi) (P
- A ) ...(P~Pn)
H ierin zijn z x t/m z m de nulpunten en p ; t/m p n de polen.
In de eerste p la a ts zal nu aangeto o n d w orden, d a t h e t a a n ta l n ulpunten van een o v erd rach tsfu n ctie, die b etrek k in g h eeft op een p assief n etw erk , n iet g ro te r k an zijn d an h e t a a n ta l polen.
N eem aan, d a t m 1 > n , d an k an un ontw ik k eld w orden in een e0
reek s m et aflopende m achten van p en in p artiële breuken.
u11 B?p* + B j p + A 0 + A x
P - Pi + P - A +
Bij zeer hoge w a a rd e n van co, m et p = jco, zou de eindspan- ning un o n b ep erk t toenem en m et een eindige o p g ed ru k te sp a n ning ea. D it is bij een p assief n e tw e rk n iet m ogelijk, dus m oe
te n B , , , enz. gelijk a an nul zijn. 1
1. H et aantal nulpunten van een overdrachtsfunctie van een passief netw erk kan ten hoogste gelijk zijn aan het aantal polen.
A lgem een stellen wij nu m = n , dan is:
= h ~ A) ( / ~ A.) ...
(P
- A )A ’ (ƒ> - A) (/> - A) ... (/ - A)
2. U it stab iliteitso v erw eg in g en volgt, d a t het reële deel van de polen negatief moet zijn. D e reële delen van de polen m oeten n eg atief zijn, o m d at e r an d ers een schakelverschijnsel zou o n t
s ta a n m et een s— m acht m et positieve exponent. A ls h e t reële deel van een stel toegevoegd com plexe polen nul zou zijn, geld t:
A =
ja>iA = -
ja>,
In de noem er kom t dan een fa c to r: (p — p ,) (p — ƒ,) = p* +co , Indien de o p g ed ru k te spanning een rad ia a lfreq u e n tie co, heeft, zou de noem er nul w o rd en en de uitgangsspanning un oneindig groot. D it is m et een p assief n etw erk , d a t sam engesteld is uit elem enten m et d issip atie niet m ogelijk, dus:
3. Op de im aginaire as mogen geen polen voorkomen, als de ele
menten verliezen hebben.
U it h e t v o o rafg aan d e blijkt, d a t e r voor de nulpunten alleen een v o o rw a a rd e is voor h et a a n ta l. D e nulpu n ten van een o v erd rach tsfu n ctie kunnen dus zow el in de linker- als in de re c h te rh e lit van h e t com plexe v lak voorkom en en mogen m eer
voudig zijn. A ls e r toegevoegde nulpunten op de im aginaire as voorkom en h eeft de te lle r een fa c to r ƒ>* + col, die O w o rd t als de o p g ed ru k te spanning een rad ia a lfreq u e n tie co, bezit. D it b e
te k e n t, d a t voor een eindige w a a rd e van co de eindspanning un = O is. V o o r deze freq u en tie tre e d t d an een oneindig g ro te dem ping op, w a t alleen m ogelijk is m et verliesvrije elem enten.
V ervolgens zal nagegaan w o rd en w a t h e t effect is als er n u lp u n ten voorkom en in h e t re c h te rd ee l v an h e t com plexe vlak.
N eem aan, d a t een a a n ta l van de n u lp u n ten een p o sitief reëel d eel heeft, z, = o, + jco, en z2 = o, — jco, zijn tw ee toegevoegd com plexe n ulpunten m et p o sitief reëel deel. E r w o rd t nu een b reu k afg esp litst, w a a rv a n de te lle r b e s ta a t u it de facto ren m et de positieve w a a rd e n van z , en z 2 en de noem er u it o v e r
eenkom stige facto ren , m aar m et de negatieve w a a rd e n van z, en z 2.
Un = / / + A>i) ( / + P i ( f - z m)
e0 noem er (p - o , - j c o , ) (p -Q r+ jco ,)
(p+Oi+jco,) (p + a , -jco,) D e w a a rd e van
an d erd .
blijkens b o v en staan d voorbeeld, n iet ver-
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” I 269
D e afg esp litste b reu k m et n ulpunten in de re c h te rh e lft en p o len in de lin k erh elft is een functie m et de m odulus één en een steed s afnem end argum ent. D o o r afsp litsin g van (p) h ebben wij dus nu:- M P ) - M P )
D o o r hetzelfde te doen voor alle n ulpunten m et een positief reëel deel w o rd t dus voor / , (p) een functie v erk reg en , die bij een b ep aald e d em p in g sk arak teristiek een minimum fazed raaiin g heeft. H e t is dus m ogelijk een w illekeurige o v erd rach tsfu n ctie om te vorm en in een functie m et minimum fazedraaiing.
In h e t v o o rafg aan d e is afgeleid, d a t er o v erd rach tsfu n cties b e sta a n m et een w illekeurige fazed raaiin g en m et een minimum fazedraaiing. H e t is van belang om n a te gaan w elke u itv o e
ringsvorm en v an n e tw e rk e n o v erd rach tsfu n cties van de ene of de an d ere so o rt opleveren.
L a d d e r n e t w e r k e n
W ij beschouw en la d d e rn e tw e rk e n w a a rv a n de sam enstellende im m ittanties b e sta a n u it zelfinductie, cap aciteit, serieschakeling of p arallelsch ak elin g van L en C e.d., eventueel m et verliezen.
E en o v erd rach tsfu n ctie h eeft dan een teller, die h e t p ro d u ct is van een a a n ta l im m ittanties en een noem er, die de som is van dergelijke pro d u cten . N a verdrijving van grootheden van h e t ty p e — , - , ---enz. o n ts ta a t als te lle r een polynoom
p C p L (p 2 L C + i) in p .
Bijv. y 0y*y+ — G0 --- • --- w o rd t Got n a d a t te lle r en noem er p p * PL<
verm enigvuldigd zijn m et p 2 £ 2 Z 4, of m et verliezen:
g0(p c^ - M + g\ ( p c , + ~ + G ,
\ p p2 / \ p P 4
w o rd t G0 ( f £ 2 C2 + p L 4 <S'2 + l) (p2 L 4 C4 + f P A G4 + l) enz.
E en te ller, die op deze m anier is o n tsta a n is een hurw itz- polynoom . D e coëfficiënten van de te lle r w o rd en gevorm d door een p ro d u c t van p L , p C en R (G) of een som van dergelijke producten.
A lle term en van de coëfficiënten en dus alle coëfficiënten zijn
p o sitief en er is géén p a ra m e te r /j. of sg , w aarm ed e een ge
deelte van de term en verm enigvuldigd is, w a a rd o o r h e t h urw itz- k a ra k te r a a n g e ta st zou kunnen w o rd en (verschuiving van de w o rtels n a a r h e t re ch terh alfv lak ). M en zou in d it geval kunnen zeggen, d a t de coëfficiënten v an de te lle r ’open’ zijn, in teg en stelling to t een geval, w aarb ij de w a a rd e van de coëfficiënten in de vorm eik gegeven is. A angezien de noem er een H .P . is, om dat h e t een p a ssief n e tw e rk b e tre ft, zijn dus telle r en noe
m er H .P .’ s en h eeft een o v erd rach tsfu n ctie van dergelijke lad- dernetwerken een m inim ale fazed raaiin g .
B r u g s c h a k e l i n g e n
O v e rd rach tsfu n cties, die geen m inim um fazedraaiing hebben, k o men o.a. te voorschijn bij brugschakelingen.
fig. 19
terugschakeling als v o o r
beeld v an een functie, die geen m inim um fa z e d ra a i
ing heeft.
fig. 20 D e ze lfd e schakeling
a n d ers getekend.
D e spanningsverhouding 6 (fig. 20) is:
e0
«6 ______________________(sTS4 - 2qZ3) Z6____________________
r0 z t z^ (z3 + z 4) + z 4 (z, + z 7) + (z, + Zz) (z3 + z 4) O o k h ier zijn de im m ittanties van de ta k k e n w e e r sam enge
steld u it L , C en R , z o d at elk van de p ro d u cten z 1 z 4 en z 2 z 3 H .P . opleveren. E r tre e d t nu ec h te r in de te lle r een m inteken op, zo d at de te lle r geen hurw itzpolynoom b eh o eft te zijn. V a n g ro te practisch e b etek en is zijn brugschakelingen, w aarb ij de overliggende ta k k e n gelijk zijn, dus z t = z4 en z , = z 3, m aar z 1 en z Q verschillen. B ovendien is h e t mogelijk, d o o r voor z x en z 2 reciproke im pedanties te kiezen, de ingangsim pedantie van de b ru g gelijk te m aken a an de afslu itw e e rsta n d R 6.
271
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” ID e ingangsstroom is:
io = [(^, + z 3) (Z' + z j + R 6 (g, + + ^3 + g4)]
*i z* (z3 + *4) + (zx + zj) + R 6 (z x + Z') (z3 + z j A ls nu z z = z 4 en z2 = z 3 is de in g an g sim p ed an tie:
„ _ 2 z z z2 + R 6 (zz + z j
%i —
2 R^ ~t~ Zz ~h Z2
en m et z t z2 = R l is z x = R 6. D e spanningsverhouding is d an :
«6 ___________ {z\ - z\) R 6_________ __ z z -
eQ [ 2 R \ + R 6 (z z +- zj) ] (zz + zj) 2 R 6 + z z + z2
H e t blijk t nu, d a t de m odulus van 6 voor p = jco, c o n stan t is en h e t argum ent v e ra n d e rt als functie van co. H e t eerste type van een fazebrug w o rd t gevorm d d o o r ta k k e n m et L , resp . C (lig. 21, 22).
fig. 21
V oo rb eeld van een H e tze lfd e fa ze d raa ie n d fa z e d ra a ie n d n et- n e tw e rk van % 21 w e rk . an d ers getek en d .
= p L = L
fig. 25
N u lp u n t en pool van een LC-bru g sch ak elin g .
p C = — — R CÜa =
Ut, _ (/co - COg) _ t _ y 2 Q
E0 (ja)
+
coa) tg O = — = cocOn
i L C
f L C
D e o v erd rach tsfu n ctie h eeft een n u lp u n t in h e t rec h te rh alfv la k z = co„ en een pool in h e t lin k erh alfv lak p = —coa (fig. 23).
D e u itd ru k k in g ~ - Qf — h erkennen wij als een afg esp litste P + COa P + O
breuk.
In de figuren 24 en 25 is v e ro n d ersteld , d a t de vierpool 1.2 - 3.4 een n e tw e rk is m et m inim um fazedraaiing. D o o r toevoeging
fig. 24
E en n e tw e rk m et m inim um fa z e d ra a iin g in cascad e m et een fa z e d ra a ie n d n e t
w e rk .
N e tw e rk m et m ini
m um fa ze d raa iin g z o n d er faze co rre c-
tie.
van brugschakeling 3.4 - 5.6 h eeft h e t n e tw e rk n iet m eer de eigenschap v an minimum fazed raaiin g .
H e t tw eed e ty p e van fazebrug w o rd t gevorm d d o o r een p a rallel- resp . serieschakeling van L en C .
fig. 26 F a z e b ru g m et ta k ken b e sta a n d e u it serie- en p a ra lle l
schakelingen van L en C.
fig. 27
H e tze lfd e fa z e d ra a ie n d n e tw e rk a n d e rs g e te
kend.
z x = p L , + I p L z Cz I
p Cz p C z
p L 2 p 1 L 2 C2 + I D e v o o rw aard e v o o r z z en s2 is d a t s z z2 = X
Ut _ I co L 2 C2 jco ~JL2 C 1
_
-jzQX ~ I - Z . C2 + jco i X C r
tg © = co 1 L .C , I - œ L X ,
CO
C0o
I —
i L . c zy
l2 c, y
L t CzInleiding van het symposium „Filtersynthese” I 273
E en of m eer van deze ty p en van brugsecties, afgesloten m et een w e e rsta n d R , kunnen a c h te r een n e tw e rk m et minimum fazed raaiin g geschakeld w o rden. D e m odulus v an de spanningsverhouding v e ra n d e rt niet, m a a r de faze v e ra n d e rt w el, zo d at deze schakeling als fazecorrectie g e b ru ik t k a n w o rd en , als de faze-exponent van h e t oorspronkelijke n etw erk , bijv. een lad d er- n etw erk , n iet v o ld o et a an de gestelde eisen voor de faze-exponent.
O verdrachtsfuncties m et m inim um fa zed ra a iin g
^ = e - 0 = H . ...{ P ~ Zn) S = a + jb
i p - P i )
...
(P - P«)D e te lle r h eeft te n hoogste de g ra a d van de noem er, a is een even functie van co en b een oneven functie v an co. B ode h eeft een a a n ta l b etrek k in g en afgeleid tu ssen reëel en im aginair deel van de dem pingsexponent d o o r de w a a rd e van een kringinte- g ra a l te b erek en en van — j oo to t + j oo en te ru g in h e t rech- te rh a lfv la k over een halve cirkel m et zeer grote stra a l.
OC OO
ƒ
( a - A 00)d w = - j B c0ƒ (a ~ f''} d w = ^ B a
o O
H e t v erb an d tussen dem ping en faze-exponent als de dem pings
expo n en t in een b e p aald freq u en tieg eb ied gegeven is en de faze-exponent in een a n d e r frequentiegebied.
Wc < w0
CO o dw OO
W c
>
W02 Wc dw
n l 2 { w - W c )
A ls van co = O to t w0 :a — aa&n van w = w0 to t oo : b = k — , d an is de71
2
uitk o m st :
b = k bgsin — en a — a0 -t- k a re a cosh —
w0 w0
5. Norm alisatie van de impedantie en de frequentie van netwerkfuncties
5.1. N orm alisatie van de im pedantie
D e bedoeling van de norm alisatie van de im pedantie is een vergelijking te krijgen, w a a rin een b ep aald e, voor de schakeling k a ra k te ristie k e w e e rsta n d , bijv. de afslu itw e e rsta n d , een w a a rd e k rijg t van 1 ohm, resp . de afslu itg eleid b aarh eid een w a a rd e van 1 Siemens. K om en e r m eer w e e rsta n d e n v o o r in h e t circuit, dan kom en op de p la a ts van de oorspronkelijke w eerstan d s- coëfficiënten dim ensieloze v erhoudingsgetallen. D e overige coëffi
ciënten v e ra n d e ren van g ro o tte en dim ensie. H ie rd o o r w o rd t h e t rek en w erk eenvoudiger en bovendien k an h e t circuit, w a a r van de k a ra k te ristie k e w e e rsta n d een w a a rd e h eeft van 1 ohm als s ta n d a a rd dienen. V o o r elke an d ere w a a rd e van de k a ra k te ristiek e w e e rsta n d kunnen de w a a rd e n van de overige elem enten eenvoudig b erek en d w o rden. D e algem ene vorm van de m aas- vergelijkingen is:
ei — \p L it + R u +
O = — ( p L n, + R „ , + p C x
i
p G n i Ij -
l J I n + R j n
~f ( p L n n “t R n n + pC i n
I
p C n N eem aan , d a t R„„ de a fslu itw e e rsta n d is en d a t m en deze w il norm aliseren op 1 ohm. A lle vergelijkingen w o rd en nu gedeeld d o o r R nn.
^ ï i R u
— — l p--- 1--- R n n \ R n n R n n
O = - P
p C ZI R
Rnj Rnj ï
-
R . +
R +
nn P R ni R ji
P
+ [P Rj «
R n n l J nn R n n
R j Rn
I
I +
pCjn Rn
I
p C nn Rn E r zijn nu nieuw e coëfficiënten gekom en m et een an d ere dim ensie.
A lle inductie-co'cfficïènten en alle weerstanden w o rd en gedeeld d o o r R„„. A lle capaciteiten w o rd en verm enigvuldigd m et R n„.
V o o r de stroom vergelijkingen is h e t proces als volgt:
I \ / _ _ I
ij — \p R jj + Gjj +
° ( p R n i + G„, + p L j j
i p L n j
- [ p G j n +
P Rjn Uj - + (P Gnn + G mi +
p L „
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” I 275
H ierin s te lt Gml de afslu itg eleid b aarh eid voor. N eem aan, d a t m en deze w il n orm aliseren op 1 Siemens.= / p ° ± L + + --- 1---- Gnn \ Gnn Gnn p L ^ Gn _ . Gti i G n i i o = - \ p ---1---1---
G nn G nn p L n 1G H
- \ P
U t - ...+ \p O , G,„
Cn
i n GinH--- r ■ I +
p ljw Gn i p L nn G nn
A lle capaciteiten en alle geleidb aar heden w o rd en gedeeld d o o r Gnn.
A lle inductie-coëfficiënten w orden verm enigvuldigd m et G„„.
5.2 N orm alisatie van de frequentie
A ls de com plexe freq u en tie p , of de reële freq u en tie co, ge
deeld w o rd en d o o r een co n stan te w a a rd e k , v e ra n d e rt e r niets a an de w eerstan d sterm en . T eneinde de to ta le im pedantie on
v e ra n d e rd te laten , m oeten de coëfficiënten van de re a c ta n tie- term en m et dezelfde w a a rd e k verm enigvuldigd w orden.
I
co C . kC
H e t ligt voor de h an d een w a a rd e voor k te kiezen m et d e
zelfde dim ensie als p . N eem k — a>a , w aarb ij coa voorlopig een w illekeurige w a a rd e heeft, g ro te r dan 1. A lle n ulpunten en polen kom en nu d ich ter bij h e t assenkruis.
Bij de norm alisatie van een vergelijking in lettersy m b o len v o e rt men een nieuw e v eran d erlijk e in, p ' = — . I n bep aald eV gevallen kan v o o r a>a een w a a rd e gekozen w o rden, die een (Da
physische betekenis heeft, bijv. de gedefinieerde grensfrequentie voor een la a g d o o rla a tb an d . In d a t geval w o rd t voor de reële frequentie co de w a a rd e <0 of <0 g esu b stitu -
CDa C0o
eerd. V o o r co = coQ is de w a a rd e van de nieuw e v eran d erlijk e 1. P ro to ty p e v an een laag d o o r- ^Vij zullen nu h e t procédé toe-
laten d filter. passen op de o v erd rach tsim p ed an tie van de schakeling in fig. 28
H e t circuit is technisch belangrijk als h e t p ro to ty p e van een la a g d o o rla te n d filter m et een p a ra llelk rin g in de serietak . H e t
zal blijken, d a t de o v erd rach tsim p ed an tie in d it geval zow el n ulpunten als polen heeft.
y*y* + y ty 3 + y * y 3
__________________
p4 + i
p L , (CZC ^ C ZC3+C, Q
+/ Z
2{CtG3+ 64
(Ga + G3)+
C3G0} ++ / 7{. L?G0G3 + CI + C3} + Ga + G3 N o rm alisatie van de form ule, zodanig d a t de co n stan te van de noem er I w o rd t en de coëfficiënt van p 3 in de noem er ook ge
lijk w o rd t aan I . G3 = i siemens.
D e coëfficiënten van de noem er w o rd en :
(£2,64 + Cl C3 + C? C3) _ ^ Ga + 1
T2 { C I + C ,(G 0 + i) + C3Ga ) G0+ T
(L ,G 0 + Cz + C3) --- - = « ,
G"0 + 1
A ls (70 gegeven is m oet e r nog een vierde vergelijking zijn om de v ier onbekenden Z,21 Cz, C2 en C3 te bepalen. D e coëfficiënten rt, en « 2 zijn te berekenen als u itgegaan w o rd t van de gew enste p la a ts van de polen. D u s:
(P ~ Pi) iP - Pz) (P ~ P 3) = P 3 + a^p* + a z p + ) Pi = - °I 7^2 = - o2 + jco* p 3 = - ö2 - /ft)2
^2 = <?i + 2 (J2 — (T2 H" CD2 "1“ 2 CJj (J2
«0 = 1 = 0! (o2 4 tw2)
H o e m en e r toe kom t de p la a ts van de polen in h e t com plexe v lak te b ep alen zal behandeld w o rd en bij de filters. H e t is voldoende om h ier aa n te nem en, d a t a z en « 2 bekende getallen zijn, d an kunnen, m ét een v o o rw aard e voor de nulpunten, de p a ra m e te rs b erek en d w orden.
P 3 =
P2 =
p :
Manuscript ontvangen op 16 februari 1960.
Deel 25 - N o. 5-6 - 1960
i n
T heoretische inleiding van het symposium
"F iltersynthese gebaseerd op het gebruik van functies met een com plexe variabele"
Deel II
door W . T h. Bahler *)
1. Bepaling van de grensfrequentie van een laagdoorlatend- filter
Fig. 1 s te lt een p ro to ty p e van een laag d o o rlaten d filter voor, d a t aan g eslo ten is a an een thévenin- g e n e ra to r en afgesloten is d o o r een w e e rsta n d R 3. V o o r co = O is:
V 0 = R 3 K
R„ R ,
tend filter.
en voor g ro te w a a rd e n van co n a d e rt
—- to t nul.U,
D e gren sfreq u en tie kan, in v e r
b an d m et de to eg estan e to leran tie gedefinieerd w o rd en voor een w a a rd e co = B , w a a rv o o r bijvoorbeeld geldt, d a t h e t v e r
mogen, d a t afgegeven w o rd t aan R 3 de h elft b e d ra a g t van h e t verm ogen, d a t afgegeven w o rd t bij co = O.
p
=
3° r R3° 3 E l R 3( R0 + R , r p = r R =1 3 13 1V3 U I
r3 ( R a + R 3) 2 _ u i _ J
P 30 r3 ' é i r3 u i 2
M en k a n b ep aald e schakelingen gebruiken voor een frequentie- afhankelijke spannings- of stro o m o v erd rach t. In v erb a n d m et h e t frequentiegebied o n d ersch eid t m en laagdoor latende filters, hoog- door latende filte rs, b anddoor latende filte r s en bandsperfilters. Bij laag-
) T echnische H ogeschool D e lft.
d o o rlaten d efilters w o rd t h e t freq u en tieg eb ied van co = O to t co = co0 d o o rg elaten en van co = co0 to t co = oo gedem pt. Bij hoo g d o o rlaten d efilters lig t h e t d o o rlaatg eb ied van co = co0 to t co — o o . B an d d o o rlaten d efilters laten een gebied van co = co, to t co = co2 d o o r en b an d sp erfilters tre d e n dem pend op in een gebied van co = co, to t co = co2.
2. Netwcrktransform atie door frequentie-transformatie M en k an een laag d o o rlaten d filter, d a t b e s ta a t u it reactiev e elem enten, door fre q u en tie-tran sfo rm atie om zetten in een hoog-
fig. 2
N e tw e rk als v o o rb eeld v oor h et b e rek e n en v an de o v e rd ra c h tsim p e d an tie z t- d o o rlaten d filter of in een b an d d o o rlaten d filter. A ls voorbeeld nem en wij een laag d o o rlaten d filter volgens fig. 2.
y i = p C j + G0 H ie ru it v o lgt:
u
0
_________
y ^ + y ^ s + y ^ i
i
=
J'-z pL
2
y3 =
pC3 +
G3
P L ^CxC3 + p L^(C^Gz + C3G0) + p ( L 2G0G3+ Cz + C3) + G0+ G 3 A ls wij de n o rto n g e n e ra to r om
ze tte n in een th év en in -g en erato r (fig. 3) geldt:
ea = ia R a L
H e tz e lfd e n e tw e rk als van fig. 2 Gn
m a a r nu m et de n o rto n g e n e ra to r D e o v erd rach tsv erh o u d in g van om gezet in een th év e n in g en e rato r. de spanningen is:
p 3 L*CXC3 + V K { C XG3-f C3G0) + p (L 2G0G3 Cz + C3) + G0+ G3
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” II 279
D e uitd ru k k in g w o rd t nu beschouw d als functie van co voor V = J u (% • 4)-2 s = ____________________________ ______________________________
Ea G0 + G3- w (CtG3+C3G0) + jco[L,G0G3+ C1 + C3-m L2CtC3]
V o o r cu = O is:
U 3 G 0 r 3
Eo G 0+ G 3 R 0 + R 3
V o o r zeer grote w a a rd e n van co n a d e rt
E 0 to t nul. A fh an k e
lijk van de p a ra m e te rs kan U3 e e rst toenem en en d a a rn a m o
n otoon dalen. H e t circuit h eeft dus h e t k a ra k te r van een laag- d o o rlaten d filter. D e schakeling v orm t h e t p ro to ty p e van een C X -laddernetw erk in 7t-vorm .
fig. 4
B epaling van de g ren sfreq u en tie.
D e g rensfrequentie kan, in v erb an d m et de to eg estan e to le ra n ties gedefinieerd w o rd en voor een w a a rd e co = B . E en an d ere m anier om de gren sfreq u en tie te definiëren is, d a t B b ep aald w o rd t d o o r de b etrek k in g :
G0+G3 2 VU23 1 n f G0-\rG3 U3 i
G0 E — o O I Go e0 y 2
D e w a a rd e kom t overeen m et een tussenschakeldem ping van 3 d B .
«o
H e t b e p alen v an de tu ssen schakeldem ping.
p _
° (R 0 + R 3) 2 H e t verm ogen, d a t afg e
geven w o rd t aa n R 3 na tussenschakeling van h et filter is (fig. 5) :
R3
=
I\ r3= ^
U 2 2?3 D e tussenschakeldem ping is:at = io log — = io logP P n
R \ ( R 0
R 2 E* <72 E*
( R o T x y ' ~ + g 3) 2 ’ ^ "
schakeldem ping: = IO log 2 = 3 d B . A ls
*s)' E l U I
2 is dus de tussen-
H e t d o o rlaten d eg eb ied loopt p e r definitie van co = O to t co = B.
O p w elke wijze de p a ra m e te rs b e p a a ld kunnen w o rd en zal la te r n ag eg aan w o rden. W ij gaan nu h e t n e tw e rk tra n sfo rm e ren to t een h o o g d o o rlaten d filter.
H et omzetten van een laagdoorlatendfilter door frequentie-transfor- m atie in een hoogdoorlatendfilter.
H e t ho o g d o o rlaten d filter m oet dezelfde gren sfreq u en tie B h e b ben. V o o r de freq u en tie w o rd t een nieuw e v ariab ele co' ingevoerd.
fig. 6
H o o g d o o rla te n d filte r do o r fre- q u en tieo m zettin g v e rk re g e n u it
een la a g d o o rla ten d filte r.
S tel co = — of coco' = B 2 . co'
E en re a c ta n tie — w o rd t ———
coC B C
= co' L ' m et L ' = --- f f C
E en re a c ta n tie co L w o rd t ---L, co'
= — • C ' = —
c o 'C ’ B H
E en c a p aciteit w o rd t dus g etran sfo rm eerd in een zelfinductie en een zelfinductie in een cap aciteit. W e e rs ta n d e n en g eleid b aar- hed en v era n d e ren niet. H e t circuit w o rd t als gegeven in fig. 6.
Inleiding van het symposium „Filtersynthese” II 281
H et omzetten van een laagdoorlatendfilter door frequentie-transform atie in een banddoorlatendfilter.
H ie rto e w o rd t in p laats van co een nieuw e v ariab ele ingevoerd, die de verstem m ing g eeft t.o.v. een te kiezen freq u en tie com. S tel
co _ [ co' CDfti (&m
COm
co' dus co = com V 00 m
O0m
co' is de nieuw e v eran d erlijk e en com is de freq u en tie ten op
zichte w a a rv a n de verstem m ing p la a ts vindt.
A ls oo' co
---- = I IS —
oo m OO jf 1
co' > I co„,
co' < I
<o„,
= O, d.w .z. d a t voor h e t la a g d o o rla te n d filter, w a a rv a n wij u itg aan , de ra - d iaalfreq u en tie nul is.
c o rresp o n d eert m et — !> O OOjn c o rresp o n d eert m et ---- <C O
00 m
co = + B is de g ren sfreq u en tie v o o r h e t laa g d o o rla te n d filter en co = — B is h e t spiegelbeeld van de gren sfreq u en tie voor n eg a
tieve w a a rd e n van co.
V o o r co = B is — = com
co (O,,,
(On
co' w a a ru it — o p g elo stk an w orden.
co,n
co' B 1 / A2
— + / - - + i .
<o„, 2com ' 4 <0,n V o o r de sp iegelbeeldfrequentie —B is:
co' B l / B 2
---- — --- +C0,„ 2 COm
y a
+1
' 4 U>mE r zijn dus v ier w a a rd e n voor ---- als co = + B :
<o„.
S tel co, = co,, \ y ï + B2 B '
. ' 4 (Om 2 CO,*
l / B* B w 2 ~ w m \ I + — 1 + —
4 COm 2 CO„t
, 1/ B 2 B
(Ü3 — CO m \f 1 + --- —4 (Om 2 CÜ tn
"1/ B 2 B C04 (O tn Vf 1 + --- +4 com 2 00 m
H ie ru it volgt: coz co2 = co,n en u>2 — co1 = B D e b a n d b re e d te is dus hetzelfde gebleven.
H e t freq u en tiesp ectru m is volgens figuur 7:
fig. 7
F re q u e n tie sp e c tru m d a t v e rk re g e n w o rd t bij om zetting v an een laten filte r in een b a n d d o o rla te n d filte r.
agdo
Veranderitig van de elementen.
E en capacitieve su scep tan tie in h e t la a g d o o rlaten d filter w o rd t:
coC -> co m C co COm
COm
co' Cü'C — ----— = CO'C - ---
co' co'L'
COm C
C O m C
E en co n d en sato r C in h e t laag d o o rlaten d filter w o rd t een con
d e n sa to r C p a ra lle l m et een zelfinductie L’ in h e t b a n d d o o r- laten d filter.
E en inductieve re a c ta n tie coL w o rd t:
com L
COm
COm
co' = co' L ---— = co’L — ---
ö> cW C
cüfji L
