door W . N ijenhuis *)
1. Inleiding
In deze v o o rd ra c h t zal een b ehandeling w o rd en gegeven van een m ethode om o v erd rach tsfu n cties, w a a rv a n de rim pel in h e t d o o rla a t- en in h e t dem pingsgebied is voorgeschreven te b e n a d eren d o o r g ebroken ra tio n ale functies. D e behandeling is ge b a se e rd op een elegante beschouw ingsw ijze v an K lin k h a m e r . x) * 2) U it de overw eging, d a t m en h o ogdoorlatende en b an d d o o r- laten d e filters d o o r een geschikte freq u en tie-tran sfo rm atie to t een laag d o o rlaten d filter k an teru g b ren g en zullen wij ons in het volgende alleen m et d it la a ts te geval bezighouden.
Z o als in de vorige v o o rd ra c h t reed s is a a n g e stip t w e n st men een o v e rd ra c h t (verhouding van uitgangs- to t ingangsspanning)
u e m et h e t volgende k a ra k te r (zie fig. 1): In h e t d o o rlaatg eb ied m oet de o v e rd ra c h t een re la tie f hoge w a a rd e b e zitten en h ierv an ten hoogste m et een gege ven to le ra n tie afw ijken. In h e t dem pingsgebied
<p ( j a )
fig. 1
G e w e n st k a r a k t e r va n de o v e rd ra c h ts functie.
*) N a tu u rk u n d ig L ab o ra to riu m N .V . P hilip s’ G loeilam penfabrieken, E in d h o v e n -N ed e rlan d .
*) J. F. K linkham er, niet gepubliceerde beschouw ingen (1943), zie ook: J. F . K linkham er, L ineaire vierpolen m et voorgeschreven o v e rd ra c h ts functie. D e Ingenieur, 67 (19 5 5 ) E l .
m oet de o v e rd ra c h t een re la tie f lage w a a rd e hebben, en h ierv an ten hoogste m et een gegeven to le ra n tie afw ijken. Som s zal men hierbij w ensen d a t de o v e rd ra c h t in enkele pun ten van h e t dem pingsgebied w erkelijk de w a a rd e nul aanneem t — som s e ist m en d it niet.
T ussen d o o rla a t- en dem pingsgebied b ev in d t zich een o v er gangsgebied, liggende tu ssen gegeven freq u en ties coc en cor. D e o v e rd ra c h t in h e t d o o rla a t- en die in h e t dem pingsgebied m oeten een voorgeschreven b e d ra g u it e lk a a r liggen.
In de p ra k tijk w o rd en deze eisen m eestal geform uleerd in term en van de dem ping a
ci = —20 °log ue dB .
D eze gro o th eid h eeft d an in h e t dem pingsgebied re la tie f hoge w a a rd e n (eventueel bij sommige freq u en ties + co ) m et een ge geven to le ra n tie en in h et d o o rlaatg eb ied lage w a a rd e n m et een gegeven to leran tie.
In h e t volgende zullen wij de eisen form uleren d o o r h e t geven van de verhoudingen (zie fig. 1).
'P iM . W<P3’ alle > I.
D o o r h e t toevoegen van een e x tra v e rsterk in g kan m en altijd b ereik en d a t te n slo tte 93, = 1 w o rd t.
2
. Het Vliesmodel
W ij zullen de o v erd rach tsfu n ctie v aak in h e t gehele complexe vlak beschouw en; en schrijven — = cp (p) = cp (o + jco).
Z o als in de v o o rafg aan d e v o o rd rach ten b esp ro k en is, zal cp (p) een gebroken ra tio n ele functie van p zijn, w a a rv a n wij polen en n ulpunten zó m oeten tra c h te n te bepalen, d a t | cp (jco) j h et g ew enste k a ra k te r krijgt. In p la a ts van j cp (jco) \ kunnen wij ec h te r evengoed \<p(jco)\ beschouw en; schrijven wij d it als cp (jco) . (/> (—jco) d an zien w e d a t h e t k w a d ra a t van de o v e rd ra c h t,
u 2
— . ook v erkregen k an w o rd en als de w a a rd e van de functie cp (p) cp ( —p ) op de im aginaire as.
V ó ó r v e rd e r te gaan, w illen wij nu enkele w o o rd en w ijden a an h e t „vliesm odel” van een functie f ( p ) van een com plexe v ariab ele p, d.w .z. wij beschouw en h e t o p p erv lak
\f(P )\ = |/( o + » |
als functie van o en co. D it o p p erv lak is een b erg lan d sch ap m et „p iek en ” bij de polen van f (p) en „k uilen” bij de nulpunten. O m d it in te zien stellen wij in de om geving van een pool p a\
P =Po+ r eJ9;
in de om geving van een nulpunt p I: p = p T + s cW en kunnen daarm ee sch rijv en :
bij een enkelvoudige pool
A A
\f(P )\ I---- 7ZT + (iets eindigs) | ^ — en
r eJ r
bij een enkelvoudig nulp u n t
\f(p )\ ^ | J eJ<p . (iets / o)j B.s.
M .a.w . dicht bii een pool h eeft h et o p p erv lak de vorm van een n aald m et een hyperbolisch profiel, dicht bij een nulpunt van een kegelvorm ig kuiltje (zie fig. 2).
O m h et gew enste ged rag van 99 (ja>)\ te verkrijgen zal het dus nodig zijn om n a a st de im aginaire as, in de b u u rt van h e t d o o rla a t- gebied polen te leggen die h e t vlies om hoog tillen en in de b u u rt van h e t dem pingsgebied nulpunten die h e t vlies om laag houden.
O m de invloed van deze polen en nulp u n ten op h e t vliesm odel als h e t w a re gescheiden van e lk a a r te kunnen b espreken zullen wij tra c h te n om d o o r een conform e afb eeld in g van h e t frequen- tiev lak (/>-vlak) bedoelde gebieden uit e lk a a r te leggen.
H ie rto e zullen w e e e rs t iets over conform e afbeeldingen in h e t algem een bespreken.
3.
Conforme Afbeelding
Indien wij een #-vlak op een w -vlak afb eeld en d o o r m iddel van de functie iv = f ( z ) , dan kunnen w e een n a d e r inzicht in
Benaderingsmethode van overdrachtsfuncties 299
„V lie sm o d el” van de functie
w=f(z)
dw AW
dz Az
de eigenschappen van deze afb eeld in g verkrijgen door h e t beschouw en van de a f geleide functie (fig. 3).
dw A w fig. 3
A fb e eld in g van een s-v la k op een w-vlak.
Im m ers — ^ voor d z A z voldoend kleine aangroeiin- gen; kennen wij deze afg e leide als functie van s, dan v e rte lt d it hoe lijnstukjes in h e t .s-vlak en h e t w -vlak bij e lk a a r behoren, bijv. te n aanzien van hun richtingen.
B eschouw en wij bijv.: dw
d z V ( i -*•)(!->& ■ *•) / (i — z) (i + z) (i — kz) (i + kz)i { k < i) . D eze vorm is reëel als z reëel en |.s |< jl of — is, en
k
zuiver im aginair als z reëel en l< |# |< C — is. D it b e te k e n t d a t k
de lijnstukken in h e t w -vlak die co rresp o n d eren m et de reële .s-as voor
j
z | < I en | z j j> — de richting van de reële as hebbenk
en voor I <C | z j < j— de richting van de im aginaire as van h e t k
w -vlak hebben. D o o r m eer in h e t bijzonder h et gedrag van elk d e r 4 facto ren on d e r h e t w o rte lte k e n te b e schouw en, kan men a a n to nen d a t h e t doorlopen van de reële as van h e t £-vlak, daarb ij de singuliere
pun-dz Z(1-z2)(1-k2z2)
fig. 4
E ig e n schappen van de a fbeelding
z= .s n (w , k) ten z — I en z — — doe k boogjes a an de bovenzijde ontw ijkend, neerk o m t op h e t d o o r lopen van h e t w -vlak volgens fig. 4.
D e pun ten z = I, z = — en z = co co rresp o n d eren d aarb ij m et k resp. w w = . l m d t / ( i - t1) (I - k*P) = K {k ).