sym m etrisch of antim etrisch) als h e t te b erek en en bedrijfs- p aram eterfilter.
b) Zijn spiegelbeeldim pedanties aan beide zijden zijn van h et constante-/^ type.
c) Z ijn spiegelbeelddem ping h e e ft hetzelfde a a n ta l polen als h e t referen tiefilter v erm inderd m et een halve pool bij h e t oneindige voor een laag d o o rlaten d filter, en verm in d erd m et een halve pool bij h e t oneindige en een halve pool bij nul voor een b an d d o o rlaten d filter.
E en stru ctu u r, w a a rd o o r h e t zo gedefinieerde hulpfilter k an v erw ezenlijkt w orden, k an nu in h e t algem een als stru c tu u r voor h e t te b erek en en filter g eb ru ik t w o rden. N a tu u rlijk zal m en in de p ra k tijk o n d er verschillende m ogelijke stru c tu re n diegene kiezen die de m eest econom ische verw ezenlijking to e la a t en die v o ld o et a an eventuele bijkom ende eisen (p arallel schakeling m et an d ere filters, enz.).
O pm erking
In h e t geval van an tim etrische filters m ag m en n iet u it h et oog verliezen d a t de volgens de hierboven beschreven m ethode gevonden stru c tu u r een in k ettin g geschakelde ideale tra n s fo r m ato r m oet b e v a tte n . Z u lk een tra n sfo rm a to r is in d e rd a a d ook voor optim aal b erek en d e antim etrische sp ieg elb eeld p aram eter- filters v e re ist als deze m et gelijke ingangs- en uitgangsim pedan- ties w o rd en afgesloten.
6.2 Omvormen van de gevonden structuur in een ladder structuur m et m inim um aantal elementen
In h e t geval van b an d d o o rlaten d efilters is de volgens p a r. 6.1 gevonden stru c tu u r (w a a rv a n wij n atu u rlijk v ero n d erstellen d a t zij een la d d e rstru c tu u r is) m eestal voor de b erekening v an de elem enten nog n iet geschikt om dat zij gew oonlijk geen la d d e r stru c tu u r m et minimum a a n ta l elem enten is. N oem en wij N h e t a a n ta l elem enten van een filterstru ctu u r, dan is een la d d e rstru c tu u r m et minimum a a n ta l elem enten d a a rd o o r gekenm erkt d a t N gelijk is a an h e t a a n ta l onafhankelijke coëfficiënten van de o v erd rach tsfu n ctie S 12 = f j g , d.w .z.
en
N = ng + n f— + i voor f even
w a a r ng en « / respectievelijk de g rad en van de polynom en g en f zijn.
E en la d d e rstru c tu u r m et minimum a a n ta l elem enten k an ge w oonlijk gem akkelijk u it de oorspronkelijke stru c tu u r d o o r to e passing v an equivalentie-' T T fi T T f2 T T ® O---T Cl 1 ---M K4
©
X C2X 2
C7 -IKwö^ C3 KiJE
K2 K7 L4 -H-'TJBtT'-o K3 o— m/1JE
Fig. 6.1B ep alin g van een stru c tu u r w a arm e e een filte r m et tw e e b edrijfsdem pingspolen bij eindige freq u en ties in h e t bo v en ste sp e r gebied, een h alv e bedrijfsdem pingspool bij ƒ = 0 en een bedrijfsdem pingspool v an d e ord e 3/2 bij' f — co k a n v e rw e
zenlijkt w o rd en .
elem en taire cellen v an b e t h u lp filter. L a d d e rstru c tu u r, die m .b.v. de o n d e r
a gegeven cellen o p g eb o u w d is. M e t b equ iv alen te la d d e rstru c tu u r m et m inim um a a n ta l elem enten zo n
d e r ideale tra n sfo rm a to r. M e t b eq u iv alen te la d d e rstru c tu u r m et m inim um a a n ta l elem enten w a a r
o n d e r één ideale tra n sfo rm a to r.
a) b) c)
d)
tra n sfo rm aties (b .v .N o rto n - tra n sfo rm aties *) afgeleid w o rd en . H ierbij v a lt op te m erken, d a t deze tra n s fo r m aties n atu u rlijk alleen principieel en n iet num eriek m oeten w o rd en uitgevoerd (d.w .z., h e t m oet in principe m ogelijk zijn, zulk een om vorm ing op een stru c tu u r m et gegeven num erieke ele- m e n tw aard en u it te voeren).
B eschouw en wij als v o o r b eeld een sym m etrisch band- d o o rlaten d filter m et één dem pingspool bij ƒ , en bij J \ ( f t en ƒ„ in h e t bovenste spergebied), een dem pings pool van de orde 3 / 2 bij f = 00 en een dem pingspool v an orde 1 / 2 bij f = O. H e t hierm ee overeenstem m ende, in p a r. 6 .1 gedefi nieerde hulpfilter h eeft dus één spiegelbeelddem pings- pool bij elke van de drie freq u en ties f = 00 en k a n m .b.v. de in fig. 6 .1 a aangegeven cellen, en dus ook m .b.v. de stru c tu u r van fig. 6.1 b, v erw ezen lijk t w o rden. V e rd e r w o rd t de o v erd rach tsfu n ctie
gegeven door
S12
v an h e t te b erek en en filter C *->I2 / g A p (p 2 + col) (p2 -f col) 8 2 i — o A i p {Filters met willekeurig gekozen dempingspolen 375
z o d a t ng = 8 en n / = 5 • Bijgevolg m oet een la d d e rstru c tu u r m et minimum a a n ta l elem enten preciesN = ng + « / + i
2 I I
elem enten b ev atten .
P a ssen wij nu op elk van de drie shu n tco n d en sato ren van fig. 6.1 d een N o rto n -tra n sfo rm a tie van h e t in fig. 6 .2 aangegeven type toe en noem en wij de hierm ee overeenstem m ende tra n s- form atieverhoudingen respectievelijk n x, n2 en n 3. A ls wij h ier bij h e t p ro d u k t n x n2 ni = I kiezen, d an zal de nieuw e stru c tu u r nog altijd gelijke ingangs- en uitgangsim pedantie hebben en wij kunnen nog ov er tw ee van de drie p a ra m e te rs n2 en n3 vrij beschikken. In h e t bijzonder kunnen wij deze zo kiezen d a t de
m et C5 en C6 overeenstem m ende co n d en sato ren v an de nieuw e stru c tu u r oneindig g ro o t w o rd en z o d a t de in fig. 6 .1 c aangegeven stru c tu u r v erk reg en w o rd t.
In p la a ts v an n z n2 n3 = I te eisen kunnen wij de drie p a r a m eters n x, n2 en n3 n atu u rlijk ook zo b ep alen d a t de m et C4, Cs en C6 overeenkom ende co n d en sato ren v an de nieuw e stru c tu u r alle drie oneindig g ro o t w o rd en w a a rd o o r wij de in fig. 6 .1 d a a n gegeven stru c tu u r verkrijgen. Z o als wij gem akkelijk kunnen zien, h eb b en de stru c tu re n van de figuren 6 .1 c en 6 .1 d beide precies N = II elem enten, de id eale tra n s fo rm a to r in fig. 6.1 d n a tu u r lijk m eegerekend.
_c_ c 1-n ncn-fl n/1
i —°2 iH h j H H i— °2
T ' Tïï
1o--- 1----o2’ 1o--- 1---- -°2
f i g .6.2
N o rto n -tra n sfo rm a tie van een sh u n t-co n d en sato r.
7. Berekening van de elementen
7.1 Berekening van de impedantie- adm ittantie- en kettingm atrices Z ijn de polynom en f , g en k bekend, dan kunnen de im pe d antie-, de a d m ittan tie- en de k ettin g m atrix van h e t te b e re kenen filter gem akkelijk m .b.v. (2.2) (2.5) (2.12) en (2.13) b e re ken d w o rd en . N a tu u rlijk is h e t in h e t algem een geenszins vereist, alle elem enten van deze m atrices w erk elijk u it te rekenen. D e kennis v an tw ee, of ev entueel drie, v an deze elem enten is vol doende, om h e t in p a r. 7.2 verm elde afsplitsingsproces te k u n nen to ep assen .
H e t is ook nodig, zich erv an te overtuigen, of de m.b.v. (2.12) of (2.13) b erek en d e m atrices w erkelijk m et de gekozen filte rstru c tu u r overeenkom en. In d e rd a a d hebben wij in hoofd stuk 3 reed s gezien, d a t h e t tek en van g in principe w illekeurig kan gekozen w o rden, en d a t de vervanging van g d o o r —g op de vervanging van de oorspronkelijke vierpool d o o r zijn duale vierpool neerkom t. V a n de an d ere k a n t la a t ons de in p a r. 6.1 gegeven regel eveneens steed s toe, een aan deze regel b e a n t w o ordende vierpool door zijn duale te vervangen. H ie ru it blijk t duidelijk, d a t h e t teken van g noodzakelijk in overeenstem m ing m et de gekozen filte rstru c tu u r m oet b e p aald w orden.
O v e r de w a a rd e n van de a fslu itw e e rsta n d en 7?, en R2 mogen wij in principe vrij beschikken alhoew el men in de m eeste ge vallen R 1 = R2 zal kiezen. R 1 en Z?2 van e lk a a r verschillend kan v ooral d an n u ttig zijn als h e t h ierd o o r m ogelijk is, een ideale tra n sfo rm a to r, die n iet d o o r een N o rto n tra n sfo rm a tie k an ge ëlim ineerd w o rden, u it te sp aren . D it is b.v. voor an tim etrische laag d o o rlaten d efilters van h e t ty p e b , en algem een voor laag- d o o rlaten d efilters m et p re d isto rsie (zie h o o fd stu k 8) h e t geval.
7.2 Toepassing van het a f splitsingsproces
D e eigenlijke berekening v an de elem enten geschiedt h e t b e st m.b.v. h et afsplitsingsproces van B a d e r d a t reed s d o o r M ilo rt !) beschreven w erd . A l n aarg elan g de stru c tu u r, die wij voor de berekening van h e t filter gekozen hebben, is d it afsplitsingsproces ech ter niet altijd onm iddellijk toe te passen. H oe men in d erg e lijke gevallen te w erk k an gaan, zullen wij aan de h an d van h e t filter van fig. 6.1 k o rt toelichten. H e t s p re e k t vanzelf d a t h e t hierbij alleen om een v oorbeeld g a a t en d a t men in an d ere gevallen eventueel een iets an d ere, alhoew el principieel analoge m ethode m oet toepassen.
B eschouw en wij in h e t bijzonder de tw ee equivalente figuren 6.1 c en 6.1 ah D e stru c tu u r fig. 6.1 d kan zonder m oeilijkheid m.b.v. h et afsp litsin g sp ro ces b erek en d w o rd en ; w illen wij ec h te r van de in fig. 6 .1 c aangegeven stru c tu u r u itg aan , dan kunnen wij w e lisw a a r de zelfinducties Z., en L 4 onm iddellijk m .b.v. deze m ethode b e re k e nen, m aar voor de cap aciteiten K A en K , is d it n iet m eer m ogelijk*).
*) V o o r sym m etrische filte rs is d a a re n b o v e n L 1 = Z 4 en A 4 = K1. W ij w illen v an deze sym m etrie eig en sch ap p en h ier e c h te r geen g e b ru ik m a k e n om dat de h ier b eschreven re d en e rin g ook vo o r n iet sym m etrische g evallen geldig is.