door W . M ilort 1. Algem ene beschouwingen
A lvorens de synthese van la d d e rn e tw e rk e n zonder w ederzijdse zelfinducties, w a a rv a n de o v erd rach tsfu n ctie T schebyschew -eigen- schappen in d o o rla a t- en dem pingsgebied heeft, te behandelen, w o rd en e e rst enige synthese-m ethoden en hulpm iddelen a an de han d van eenvoudige v o orbeelden besproken.
1.1. Synthese volgens D arlington
Zij gegeven de o v erd rach tsim p ed an tie \zt
lig. 1 geschakelde n etw erk . van h e t als in
fig. 1
D e stro o m b ro n sch ak elin g van een p assiev e lin eaire vierpool.
Is Zi de ingangsim pedantie van h e t g evraagde reactiev e n etw erk , d an is:
P0= \ i0\\R c [ z ,] en P 2 = \u2|2
O m d a t voor d it p assieve reactiev e n e tw e rk P a = P v g eldt: R e [z,] = Zt |12
U it de gegeven o v erd rach tsim p ed an tie is dus d irect de g ro o t heid R e [z2] te bepalen. D eze g rootheid is op zichzelf nog niet voldoende om een re a c tie f n e tw e rk te rea lise re n ; d a a rto e is de volledige im pedantie Z; nodig.
H e t is duidelijk d a t e r in principe oneindig vele uitdrukkingen voor Sj te co n stru eren zijn die alle hetzelfde reële deel Re [z,] b ezitten, om dat de toevoeging van een re a c ta n tie aan z ,• n iet to t
h e t reële deel erv a n b ijd raag t. D eze overtollige re a c ta n tie d ra a g t u ite ra a rd evenm in bij to t de o v erd rach tsim p ed an tie. H e t is d a a r om gew enst een re a lise e rb are minimum-reactieve im pedantie Zi te vinden die de g evraagde R e [sj bezit. Bij een m inim um -reactieve im pedantie o n tb rek en de polen op de co-as.
U itg aan d e van de w eten sch ap d a t op de co-as g eldt:
R e [ * ( « > ) ] = \ {.S i ( p ) + Z i ( - p ) ) P=j<o
kunnen w e de g evraagde Zi ( p ) vinden d o o r R e [zz( —j p ) \ in p a r tiële b reu k en te o n tw ik k elen en alle w o rtels in h e t lin k er h alf v lak van h e t p - vla k toe te kennen aa n s; ( p ) ; z,- ( —p ) k rijg t alle w o rtels in h e t re c h te rh alfv la k toegew ezen.
D arlin g to n h eeft nu v e rd e r een m ethode o n tw ikkeld om v anuit z z (p ) h e t n e tw e rk op te bouw en. D e b ehandeling van deze m ethode zou h ier ec h te r te v er voeren. D e ontw ikkeling van Zi (p ) in een o n g eb alan ceerd la d d e rn e tw e rk is slechts d an m o gelijk, indien alle nulpunten van de oiierdrachtsfunctie op de co-as liggen, o m d at deze in een la d d e rn e tw e rk alleen als nulpunten v an im pedanties in d w a rsta k k e n of als polen van im pedanties in lan g stak k en kunnen w o rd en g erealiseerd.
1.1.1. S te l |~ /|2 = --- (B u tte rw o rth -k a ra k te ristie k ) I + co
Re I> « ( - » ] = I 6
= --— 6 = | i Zi(P) + = i«>
+ CO I — p
_ 1
“ 2 T (P )
T(-p)
( i + p ) ( i + p + p ) ( i - p ) ( i - p + p )
E en eenvoudige b erekening leert, d a t T (p ) = i + — p + — p1 3 3 D u s: Zi(p) — 3 + 4 p + 2 p 3(1 + 2 p + 2p* + p° ) R ealiserin g : y i{ p ) = 3 P + 6 p 2 + 6 p + 3 2 p 2 + \ p + 3 I 4 i P + 7 3 \ p + i 2
Schem a: t
Synthese van laddernetwerken 321
fig. 2 H e t schem a voor de o v e rd ra c h ts- im pedantie _ 1 * 1 + 1p - f 2^2 ft3 1.1.2 . G egeven: fig. 3 D e sp a n n in g sb ro n sc h ak e lin g van een passieve lin eaire vierpool.
(
2\ 2 1 -<» )
I - 3 ca + 4 co4 Re [y i ( - j p ) \ = = (I + f *— . = \{ y i( p ) + y i(p )} -/ 2\ 2( 1 <’> )
I - W + 4C0 4 i + 3 / + 4P 4 N u is I + 3p* + 4/»4 = (1 + 2p zy - p = (1 + p + 2p 2) (1 - p + 2p ) D us R e [ y ,( - jp ) \ , f 2 I n p ) " , n - P ) 1-21 11 + p + 2p I — p + 2p \ B erekening D u s: y ;(p )van T (p ) lev ert: p2 + p + 2 4 P ' + 2 /1 + 2 T (p ) = 1 + b + \p fig. 4 H e t schem a v oor de o v e rd ra c h ts- a d m itta n tie 1 + ^ 2 1 p 2ft2
D it schem a is erg onplezierig v an w ege de co n d en sato r m et de w a a rd e —j F a ra d . D e rem edie hierteg en is jVi(p) te v erm eerd eren m et een b e
d ra g ^ p , w a a rd o o r er niets v e r a n d e rt a an R e [y; (co)] en a an \yt\ ■ D e nieuw e yi(p) is d a aren teg en n iet m eer m inim um -reactief; er ligt nu een n u lp u n t op de co-as, zoals
blijkt uit:
P* + P +
2 , ï „ _ P * + P '+
P + I ( P + l ) ( P * + OJ \P ) — 2 + 2^ — i - 5
4 / ? + 2^> + 2 2 / » +
P
+I 2p
+P
+ 1en w el voor p = + ƒ , overeenkom end m et b e t nulp u n t v an y*. G ew ijzigd schem a:
Het gewijzigde schema voor dezelfde overdrachts- admittantie als figuur 4.
1.2 . Synthese volgens Caner
V o o r de in fig. 1 gegeven situ atie volgt u it de vierpoolverge- lijkingen:
zO *12 I + S22
U it de gegeven
\z/\
volg tzt
d o o r su b stitu tie van co =—jp-
D e groo th eid z 22 m oet een re a lise e rb a re re a c ta n tie zijn, hetgeen im pliceert d a t de som van te lle r en noem er een H u rw itz-p o ly - noom is en d a t de te lle r van even g ra a d en de noem er van oneven g ra a d is of om gekeerd.
O m d a t 012 en ,z22 dezelfde noem er b ezitten , kunnen w e schrijven: _ T t T J N r 12
Z t~ N t i + T J N N + r 22
U it z t k a n dus d ire c t #22 = —— w o rd en b e p a a ld d o o r N t te split-V
sen in een even en een oneven deel, w aarb ij er w el op gelet
T Tt
d ien t te w o rd en d a t- — dezelfde nulp u n ten h eeft a ls — . In h et
N N t
algem een m oet dus N h e t h o o g ste-g raad sd eel van N t b e v atten , o p d a t d an in ied er geval de nulp u n ten voor
p
->■ oo n iet v erg e te n w orden.D e re a c ta n tie £22 m oet w e e r zodanig w o rd en g erealiseerd d a t alle n ulpunten v an £I2 to t hun re c h t kom en als nulp u n ten van d w a rsta k k e n of als polen v an lan g stak k en .
Synthese van laddernetwerken 323
1.2 .1. S te l zt = l / ( 2 P + P 3)I + 2 / 7 + p* + p I + ( i + 2p*) / ( 2 / 7 + p° )
D u s z 22 = — 2^ 3; de nulpunten van zI2 = ---3 w o rd en
ge-2 /7 + p 2 /7 + p
vorm d d o o r een drievoudig n u lp u n t voor p = O R ealisering: y 22 = Schem a: Z ie f i g . 2 . /7 + 2 /7 /7 2 / 7 2 + I 2 j 4 ^ V I + /7 1.2 .2 . S tel y t = 1 4- p + 2/7'
D e g ra a d van de te lle r is in d it geval gelijk aa n de g ra a d van de noem er; e r is in d it geval geen „v erb o rg en ” nulp u n t v o o r p en de keuze van N uit N t is nu d an ook vrij.
O m aansluiting aa n 1.1.2 te verkrijgen kiezen w e: I + 2 » 2 I + / 7 2
y 22 = ---— en jy12 =
P P
H e t te re aliseren nulp u n t is dus p * = — 1 of p = j . R ealisering:
2
I + 22?
S p lits van y22 = --- een re a c ta n tie A p af, zodanig d a t P
, I + 2/ ? 2 „ i + (2 - A ) p 2 . , . r ,
y j = --- A p = -------— een nulpunt h eeft voor p = /
p p
V
H ie ru it volgt: A = I. E r blijft over z j = ---Schem a: zie fig. 5. I + p
G evolgtrekking: D e m ethode van D a rlin g to n b e ru st op de synthese van een m inim um -reactieve ingangsim pedantie, die van C a u e r op de sy n th ese van een re a c ta n tie, w aarb ij die re a c ta n tie zo „gekneed” m oet w o rd en d a t alle n ulpunten van de o v e r d rach tsfu n ctie to t hun re c h t kom en, m a a r w aarb ij in e erste in stan tie in h e t geheel n iet w o rd t gelet op h e t al of n iet m ini m um -reactieve k a ra k te r van de ingangs-im m ittantie. D it la a ts te b lijk t d irect u it h e t behandelde v oorbeeld: de faze van de synthese van fig. 4 w o rd t zonder m eer overgeslagen.
1.2.3. S tel ** ( / + i) ( / + 2)
8/?5 + 5t?4 + is p 3 + 8 / + 677-1-2
H ie ru it volgt: #22 5/?4 + 8^ + 2 ^ _ (p2 + 1) (;pa + 2) 87?° + 157?'’ + 6p 8p5 + 15p + 6p
N u lp u n ten van z I2: p = j , p = ƒ/ 2 en p ->• 00
D e re a c ta n tie h eeft n ulpunten voor: 77 = 0.567’, 7? = 1.1357 en p -* 00 en polen v o o r: p = o, p = 0,767 en p = 1,147'.
N u lp u n ten en polen van z22 zijn enkelvoudig en w isselen e lk a a r af, dus £22 is in d e rd a a d een re a lise e rb a re re a c ta n tie.
G een enkele w o rte l van z22 v a lt ec h te r sam en m et een nulpunt v an z z2, z o d at z22 „g ek n eed ” m oet w o rden. D it is op m eerdere m anieren m ogelijk, zoals u it h et o n d e rstaan d e zal blijken. a): U itg aan d e van y 22, sp litsen w e een re a c ta n tie p A af, zo danig d a t de re sta d m itta n tie een nulp u n t h eeft d a t sam en v alt m et een n u lp u n t van z12. 7 *
(8
- $A)ps +(15
- SA )p3 +(6
- 2A)p) 57*
4 + Sp’’4 2
J p —j y ! = o H ie ru it volgt: A = —3
57/ + 87^ + 2+22' r/3 P(\P* + S) ( / + 2)
R ealiseer nu de pool van z22 voor p = J \ 2: Bp
p2 + 2 s _ 1 5 )7,4 + | 8 - 5 5 W
7» ( 4 / + S) ( / + 2)
= o> =j y i
O plo ssin g : B — t,. D e te lle r w o rd t nu: 7?4 + 37^ + 2 = (p* + 1) (p* + 2)D e fa c to r p ' + 2 kom t nu in te lle r en noem er voor en w o rd t uitgedeeld.