2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling

TU/e

Kromming

Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (2DB00)

1 Inleiding

De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofd- stuk 11. Daar worden deze begrippen echter algemeen voor ruimtelijke krommen behan- deld. Wij beperken ons tot het eenvoudiger geval van een vlakke kromme, en leiden eerst een formule voor de kromming af voor het geval de kromme in parametervoorstelling is gegeven. Daarna bekijken we het speciale geval dat de kromme een deel is van de grafiek y = f (x). De begrippen kromming en kromtestraal spelen bijvoorbeeld een rol bij het beschrijven van de doorbuiging van balken.

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling x = x (t) y = y (t)

In een punt P = (x (t) , y (t)) van de kromme maakt de raakljn een hoek ϕ met de x-as, en in het punt Q = (x (t + ∆t) , y (t + ∆t)) is dit ϕ + ∆ϕ. De lengte van de kromme tussen P en Q noemen we ∆s. (zie figuur 1)

DEFINITIE 2.1 De kromming in punt P is κ =

∆t→0lim

∆ϕ

∆s     .

Figuur 1: Berekening van de kromming

We bepalen nu een uitdrukking voor deze kromming in termen van de co¨ordinaat-functies x (t) en y (t) .

Uit tan (ϕ) = dy

dx = y⁰(t)

x⁰(t) volgt ϕ = arctan y⁰(t) x⁰(t)



, waarbij we aannemen dat x⁰(t) 6= 0.

Met behulp van de afgeleide van de functie arctan en de kettingregel volgt dan dϕ

dt = 1

1 + y⁰(t) x⁰(t)

2

x⁰(t) y⁰⁰(t) − x⁰⁰(t) y⁰(t)

x⁰(t)² = x⁰(t) y⁰⁰(t) − x⁰⁰(t) y⁰(t) x⁰(t)² + y⁰(t)²

Voor ∆s geldt ∆s ≈ q

(∆x)²+ (∆y)², dus ∆s

∆t ≈

s ∆x

∆t

2

+ ∆y

∆t

2

. Hieruit volgt dat ds

dt = q

x⁰(t)²+ y⁰(t)². We combineren deze beide uitkomsten op de volgende manier:

κ =    

∆t→0lim

∆ϕ

∆s    

=       

∆t→0lim

∆ϕ

∆t 1

∆s

∆t       

=     

dϕ dt

 ds dt

⁻¹    

.

Hieruit volgt dus dat

κ = |x⁰(t) y⁰⁰(t) − x⁰⁰(t) y⁰(t)|

x⁰(t)²+ y⁰(t)^2
3₂ .

Voorbeeld 2.1 De cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal R wordt gegeven door de vergelijking x²+ y² = R². Deze cirkel wordt ook gegeven door parametervoorstelling

 x = R cos t

y = R sin t , 0 ≤ t ≤ 2π .

Figuur 2: Kromtestraal ρ.

De kromming is gelijk aan κ = 1

R. De kromming is dus voor ieder punt op de cirkel gelijk.

Voorbeeld 2.2 De ellips met vergelijking x² a²+y²

b² = 1, (a 6= b) kunnen we parametriseren als

 x = a cos t

y = b sin t , 0 ≤ t ≤ 2π .

De kromming is gelijk aan κ(t) = ab

(a²sin²(t) + b²cos²(t))³².

Nu is κ⁰(t) = 0 als 2(a² − b²) sin(t) cos(t) = 0, dus als sin(t) = 0 of als cos(t) = 0, dus als t = 0,¹₂π, π,³₂π. Een tekenoverzicht laat nu zien dat als a > b het maximum wordt aangenomen als t = 0, π, d.w.z. in de punten (±a, 0) van de ellips. Als a < b wordt het maximum aangenomen als t = ¹₂π,³₂π, d.w.z in de punten (0, ±b) van de ellips.

3 Kromtestraal

Zoals we in voorbeeld 2.1 hebben gezien heeft een cirkel in ieder punt dezelfde kromming en deze kromming is gelijk aan de inverse van de straal. Meer algemeen leidt dit tot (zie figuur 2)

DEFINITIE 3.1 De kromtestraal in punt P van een kromme is de straal van de cirkel door punt P welke raakt aan de kromme en waarvan de kromming gelijk aan de kromming in punt P .

De kromtestraal in punt P is dus de inverse van de kromming in punt P ; notatie ρ = 1 κ.

4 Kromming van de grafiek van een functie

Als we de grafiek van een functie

y = f (x) bekijken en hiervan de kromming willen berekenen dan is dit een bijzonder geval van het voorgaande.

In dit geval kunnen we als parametrisering nemen x = x y = f (x) De formule voor de kromming wordt nu

κ = |f⁰⁰(x)|

1 + f⁰(x)^2
3₂

Voorbeeld 4.1 Een functie f (x) = ax + b heeft als grafiek een rechte lijn. De kromming is zoals te verwachten gelijk aan 0.

Voorbeeld 4.2 Voor de parabool y = x²wordt de kromming gegeven door κ = 2 (1 + 4x²)³²

. De kromming is dus afhankelijk van de plaats op de parabool. De kromming is maximaal als 1 + 4x² zo klein mogelijk is, d.w.z. als x = 0.

5 Opgaven

1. Bepaal in de volgende gevallen de kromming van de gegeven krommen in de aange- geven punten

(a) y = x³ in het punt (2, 8) . (b) y = cosh x in het punt (0, 1) .

(c) y = sin x in het punt (π, 0) en in het punt ¹₂π, 1
. (d)  x = t − 1

y = t²+ 2t + 3 in het punt (1, 11) .

2. Bepaal in elk van de volgende gevallen in welke punten van de gegeven krommen de kromming maximaal is.

(a) y = x²+ x.

(b) y = e^x. (c)  x = 5 cos t

y = 3 sin t

3. Gegeven is de kromme y = A (x³− 1) + B (x − 1) + x. Bepaal de waarden van A en B z´o dat de raaklijn in het punt (1, 1) horizontaal loopt, en de kromming in dit punt gelijk is aan 12.

4. Bepaal de kromming van de kromme x³+ y³+ 2x²− 4y + 3x = 0 in het punt (0, 0) . 5. Bepaal de kromming van de kromme x²cos y + ye^−x= 1 in het punt (0, 1) .