Laat r(t) = hx(t), y(t), z(t)i (t ∈ D) een vectorvoorstelling zijn van een kromme C, a ∈ D en L = hL1, L2L3i ∈ R3.
‘De limiet voor t nadert naar a van r(t) is L’ wordt genoteerd als limt→ar(t) = L
Wat betekent dit eigenlijk ?
De vectorfunctie r is gedefinieerd op een open interval rond a met uitzondering van eventueel het punt a zelf.
En verder moet voor alle t met een ‘kleine’ afstand tot a (t 6= a) gelden dat de afstand van r(t) tot L ‘klein’ is.
December 8, 2009 1
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Wat betekent het dat voor alle t met een ‘kleine’ afstand tot a (t 6= a) geldt dat de afstand van r(t) tot L ‘klein’ is ?
Voor alle t ∈ D met 0 < |t − a| ‘klein’ is |r(t) − L| ‘klein’.
De wiskundige definitie is tenslotte:
Bij elke > 0 bestaat een δ > 0 zodat voor alle t met 0 < |t − a| < δ geldt dat |r(t) − L| <
Het is mogelijk om te bewijzen dat
limt→ar(t) = L ⇔
limt→ax(t) = L1
limt→ay(t) = L2 limt→az(t) = L3
.
r heet continu in a als lim
t→ar(t) niet alleen bestaat maar ook gelijk is aan r(a).
Gevolg
r continu is in a alleen maar als de componentfuncties x, y en z continu zijn in a.
December 8, 2009 3
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
r heet differentieerbaar in a als lim
h→0
r(a + h) − r(a)
h bestaat.
De limiet heet de afgeleide van r in a.
Notatie r0(a) = dr
dt(a) Stelling
r is differentieerbaar in a ⇔
De componentfuncties x, y en z zijn differentieerbaar in a en r0(a) = hx0(a), y0(a), z0(a)i.
r0(a) is een raakvector aan C in r(a) en r0(a) heeft de richting van de toenemende parameter.
De eigenschappen voor het differenti¨eren van vectorfuncties zijn een direct gevolg van de eigenschappen voor het differenti¨eren van gewone functies van functies van ´e´en variabele.
December 8, 2009 5
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Laat D = [a, b] en r is continu op D.
Dan bestaat de Riemann-integraal van r over D en
b
Z
a
r(t)dt =
Z b
a
x(t)dt, Z b
a
y(t)dt, Z b
a
z(t)dt
.
De lengte van een kromme
Laat C = {r(t)|a ≤ t ≤ b} waarbij r een differentieerbare vectorfunctie is op [a, b].
Dan is de lengte van C gelijk aan
b
Z
a
|r0(t)| dt.
December 8, 2009 7
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
De lengte van een kromme
Wordt s : [a, b] → R gegeven door s(t) =
t
Z
a
|r0(u)| du dan s0(t) = |r0(t)| voor a < t < b en dus is de lengte van C gelijk aan
Z b a
s0(t) dt = Z b
a
ds(t) = Z s(b)
s(a)
ds.
De laatste formule geeft aanleiding tot de notatie Z
C
ds voor de lengte van de kromme C. Dus
lengte (C) = Z
C
ds =
b
Z
a
|r0(t)| dt.
Functies van twee variabelen
Een re¨ele functie van twee re¨ele variabelen voegt aan twee re¨ele getallen ´e´en re¨eel getal toe.
Laat D ⊂ R2, B ⊂ R en f het voorschriftvan een functie van D naar B ( f : D → B ).
D heet hetdomein, B heet hetcodomein,
{f (x, y) | (x, y) ∈ D} hetbereiken
{(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D} de grafiek van de functie.
December 8, 2008 3
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
De grafiek van de functie f gegeven door f : (x, y) → x2y2e−x2−y2.
Als f : D → R met D ⊂ R2 dan heet {(x, y) ∈ D | f (x, y) = c}
eenhoogtelijn ofniveaukromme van f .
December 8, 2008 5
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Hoogtelijnen van de functie f gegeven door f : (x, y) → x2y2e−x2−y2.
