Instantonen
Sam van den Brink
17 juli 2015
Bachelorscriptie
Begeleiding: dhr. prof. dr. Eric Laenen, dhr. prof. dr. Jasper Stokman
Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde & Instituut voor Theoretische Fysica Amsterdam
Samenvatting
Deze tekst werkt toe naar het beschrijven van de Pontryagin-index, die aan instantonop-lossingen van het Yang-Mills-systeem kan worden toegekend, met behulp van connecties op principale bundels. Hiervoor zal eerst een aantal voorbeelden van solitaire-golven worden gegeven, waarvoor zo een zelfde soort index bestaat. Daarna worden princi-pale bundels behandeld en zal een classificatie van principrinci-pale G-bundels over Sn worden gegeven. Een introductie in ijktheorie zal worden gegeven waarna dit zal worden gefor-muleerd in termen van connecties op principale bundels. Met behulp hiervan en met behulp van de gevonden classificatie van principale bundels zal een index voor Yang-Mills-instantonen worden gevonden die de Pontryagin-index wordt genoemd.
Titel: Instantonen
Auteur: Sam van den Brink, samjanavandenbrink@gmail.com, 10345639 Begeleiding: dhr. prof. dr. Eric Laenen, dhr. prof. dr. Jasper Stokman Tweede beoordelaars: dhr. prof. dr. Jan de Boer, dhr. dr. Hessel Posthuma
Omslagillustratie: Impressie van een instanton in euclidische Yang-Mills-theorie [2]. Einddatum: 17 juli 2015
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam
Inhoudsopgave
1. Inleiding 4
2. Solitaire golven en Solitonen 5
2.1. Kink en antikink . . . 6
2.1.1. Topologische klassen . . . 11
2.2. Het niet-lineaire O(3)-model . . . 12
3. De Hopf-bundel 16 3.1. Principale bundels . . . 16
3.2. Transitiefuncties . . . 21
3.3. Equivalente bundels . . . 24
3.4. Classificatie van principale G-bundels over Sn . . . . 28
4. Connecties en IJktheorie 32 4.1. IJktheorie . . . 32
4.1.1. Abelse ijktheorie . . . 32
4.1.2. Niet-abelse ijktheorie . . . 35
4.2. Connecties op principale bundels . . . 37
4.2.1. Lie-algebra-waardige 1-vormen . . . 41
4.3. Principale bundels en connecties in ijktheorie . . . 44
5. Instantonen 50 5.1. Euclidische veldentheorie . . . 50 5.1.1. Dubbele potentiaalput . . . 51 5.2. Yang-Mills-Instantonen . . . 52 6. Besluit 57 Bibliografie 58 A. Populaire samenvatting 59
1. Inleiding
Heel erg veel natuurkundige theorie¨en kunnen niet zonder wiskunde. Toch hebben de twee wetenschappen lange tijd naast elkaar geleefd zonder onderling contact te hebben. Pas vrij recentelijk gebeurt het weer dat de twee wetenschappen samenkomen, wat dan vaak meteen het begin is van een stroomversnelling van vooruitgang in beide vakgebie-den. Zo hebben algemene relativiteitstheorie en differentiaalmeetkunde elkaar enorm vooruit geholpen.
De wiskunde en natuurkunde die in deze teks beschreven wordt, hebben zo een zelfde soort samenkomst meegemaakt. Dit is de samenkomst van ijktheorie en de theorie over connecties op principale bundels. Met deze theorie¨en samen zullen we kijken naar in-stantonen in het Yang-Mills-systeem. Instantonoplossingen van een systeem zijn eindige actie oplossingen van de euclidische versie van dat systeem. De euclidische versie van het Yang-Mills-systeem valt namelijk heel mooi in wiskundige termen te omschrijven. Oplossingen van de euclidisch versie van een systeem kunnen informatie geven over het tunnelgedrag van deeltjes in dat systeem.
In hoofdstuk 2 zullen eerst wat simpele voorbeelden behandeld worden van oplos-singen van veldvergelijkingen, waaraan met behulp van resultaten uit de topologie een topologisch invariante index kan worden toegekend. In hoofdstuk 3 zal de benodigde wiskundige voorkennis worden behandeld. Er zal in dit hoofdstuk een aantal stellin-gen bewezen worden over principale bundels die op het voorbeeld van de Hopf-bundel zullen worden toegepast. Het zal uiteindelijk een hoger dimensionale variant van de Hopf-bundel zijn die een rol zal spelen in het classificeren van instantonoplossingen van het Yang-Mills-systeem.
Hoofdstuk 4 zal eerst een inleiding geven in ijktheorie vanaf een natuurkundig oogpunt en zal daarnaast de wiskundige theorie over connecties op principale bundels behandelen. Daarna zullen verschillende punten in beide theorie¨en aangewezen worden waaruit zal blijken dat de theori¨en egr op elkaar lijken en dus gebundeld kunnen worden om samen tot betere resultaten te komen. Dit zal dan ook in hoofdstuk 5 gedaan worden om uit-eindelijk de classificatie te vinden, die wordt aangegeven met de Pontryagin-index, van instantonoplossingen van het Yang-Mills-systeem met behulp van connecties op princi-pale bundels.
In deze tekst zal worden aangenomen dat de lezer bekend is met een aantal funda-mentele theorie¨en uit de natuurkunde en de wiskunde, waaronder het Lagrange varia-tieprincipe, topologie en homotopie-equivalentie van afbeeldingen en ruimtes, de theorie over differentiaalvormen op gladde vari¨eteiten en een basiskennis van quantumfysica. Vaak is geprobeerd een vrij intuitive benadering van deze theorie¨en te gebruiken, echter zonder deze theorie¨en ooit gezien te hebben zullen delen van deze tekst moeilijk tot niet te begrijpen zijn.
2. Solitaire golven en Solitonen
Solitaire golven zijn bepaalde oplossingen van (niet-lineaire) veldvergelijkingen [6]. In dit hoofdstuk zullen we voorbeelden zien van solitaire golven, waarvoor een indeling in topologische klassen mogelijk is. Uiteindelijk zal blijken dat zo een zelfde soort inde-ling in klassen ook mogelijk is voor instantonoplossingen van de euclidische Yang-Mills-vergelijkingen. Dit hoofdstuk is geschreven aan de hand van het boek Solitons and Instantons van R. Rajaraman [6].
Om de eigenschappen van solitaire golven te illustreren bekijken we eerst de rela-tief makkelijke en alom bekende veldvergelijking in twee dimensies (´e´en ruimte- en ´e´en tijdsdimensie): φ := ∂µ∂µφ := 1 c2 ∂2 ∂t2 − ∂2 ∂x2 φ(x, t) = 0 (2.1) Oplossingen van deze vergelijking hebben twee eigenschappen die later in deze paragraaf terugkomen in de definities van solitaire golven en solitonen.
1. Voor elke gladde functie f : R → R is f (x ± ct) een oplossing van vergelijking 2.1 (dit is gemakkelijk na te gaan door dit in de vergelijking in te vullen). Bovendien is elke oplossing van de vergelijking in deze vorm te schrijven.
2. De vergelijking is lineair. Hieruit volgt dat de som van twee gelokaliseerde oplos-singen van 2.1 (golfpakketjes) f1(x − ct) en f2(x + ct), weer een oplossing van 2.1
is. Omdat we in dat geval de som van twee gelokaliseerde golfpakketjes bekijken, die in tegengestelde richting bewegen, zullen deze golfpakketjes op een gegeven tijdstip ‘botsen’ en na het passeren weer in hun originele vorm terugkomen en (onverstoord) doorbewegen.
Omdat de gegeven veldvergelijking zo simpel is, hebben de oplossingen van deze ver-gelijking zulke mooie eigenschappen. Voor een andere veldverver-gelijking zullen in het algemeen lang niet alle oplossingen deze mooie eigenschappen hebben. Daarom gaan we, ge¨ınspireerd door deze eigenschappen, bepaalde typen oplossingen van veldvergelij-kingen defini¨eren.
Voor deze definities zullen we de begrippen energiedichtheid en gelokaliseerd gebrui-ken. De energiedichtheid van een oplossing φ(x, t) van een veldvergelijking is een functie ε van φ zodat de integraal van deze functie over een deel van de ruimte de energie van dat deel van de golf voorstelt. De integraal over de totale ruimte is dan uiteraard de totale energie en deze moet behouden zijn in de tijd. Over het algemeen bestaat zo een energiedichtheid niet voor alle oplossingen φ, maar voor natuurkundige interpretaties kunnen we ons beperken tot de oplossingen die dit wel hebben.
Nu noemen we een oplossing φ gelokaliseerd als de energiedichtheid op elk tijdstip gelokaliseerd is in de ruimte, ofwel als x → ∞ dan gaat de energiedichtheid ε(x, t) snel genoeg naar nul, dat hij integreerbaar is. Dit betekent dus dat de totale energie eindig is en bovendien zegt dat iets over waar φ heen moet convergeren. Als namelijk geldt dat φ(x, t) → a als x → ∞, dan moet gelden dat ε(a) = 0, dus φ moet naar een nulpunt van ε convergeren.
Met deze twee termen kunnen we nu solitaire golven en solitonen als volgt defini¨eren. Van een set (niet-lineaire) veldvergelijkingen heet een oplossing een solitaire golf, als het een niet-singuliere gelokaliseerde oplossing is, waarvan de energiedichtheid geschreven kan worden als
ε(x, t) = ε(x − ut). (2.2) Stel φ0 is een solitaire-golf-oplossing van een veldvergelijking met energiedichtheid
ε0(x − ut). Als voor iedere andere oplossing met energiedichtheid ε(x, t) en met
ε(x, t) →
N
X
i=1
ε0(x − ai− uit), als t → −∞, (2.3)
ook geldt dat
ε(x, t) →
N
X
i=1
ε0(x − ai− uit + δi), als t → +∞, (2.4)
dan wordt deze solitaire-golf-oplossing een soliton genoemd.
Dit betekent dat een soliton een solitaire-golf-oplossing is, die na botsing met golven van hetzelfde type, eventueel eerst van vorm en richting veranderd, maar uiteindelijk weer in zijn eigen vorm met zijn eigen snelheid terugkeert. De energiedichtheid van een soliton ‘overleeft’ dus botsingen. We zullen nu een aantal voorbeelden van solitaire golven zien, die al dan niet ook solitonen zijn.
2.1. Kink en antikink
Dit is weer een voorbeeld met (1+1) dimensies van solitaire golven, de kink- en de antikinkoplossingen. We zullen echter zien dat deze solitaire golven geen solitonen zijn. Er valt namelijk een zogenaamde topologische index toe te kennen aan oplossingen van veldvergelijkingen van een bepaalde vorm, die behouden blijft in de tijd. Met deze index kan geconcludeerd worden dat de kink en de antikink na botsing met elkaar niet meer in hun oorspronkelijke vorm terug kunnen veranderen. Maar laat ons bij het begin beginnen.
Laten we een scalarveld φ(x, t) beschouwen dat zich gedraagt volgens de volgende Lagrangiaan L(x, t) = 1 2( ˙φ) 2− 1 2(φ 0 )2− U (φ), (2.5) waarin de afgeleide naar de tijd met een punt ( ˙φ) en de afgeleide naar de plaats met een accent (φ0) wordt aangegeven. Bovendien is de lichtsnelheid gelijk aan ´e´en gesteld. De
Lagrange-vergelijking geeft de veldvergelijking voor dit scalarveld φ. De Euler-Lagrange-vergelijking luidt in dit geval namelijk
∂ ∂t ∂L ∂ ˙φ + ∂ ∂x ∂L ∂φ0 = ∂L ∂φ. (2.6)
Hieruit volgt de veldvergelijking van het systeem φ := ¨φ − φ00 = −∂U
∂φ. (2.7)
De golffunctie φ heeft natuurlijk ook een energiedichtheid ε(x, t) en een totale energie E[φ], die behouden moet blijven in de tijd. De energiedichtheid kunnen we uit de Lagrangiaan berekenen, door
ε = ˙φ∂L ∂ ˙φ + φ 0∂L ∂φ0 − L = 1 2( ˙φ) 2+ 1 2(φ 0 )2+ U (φ) (2.8) De totale energie wordt dan gegeven door
E[φ] = Z ∞ −∞ ε dx = Z ∞ −∞ (1 2( ˙φ) 2 +1 2(φ 0 )2+ U (φ)) dx. (2.9) Deze totale energie moet uiteraard eindig zijn om een fysische interpretatie te kunnen geven aan de oplossing φ.
We kunnen nu de minimale waarde van de potentiaal U gelijk aan nul stellen, aangezien alleen de verandering van de potentiaal effect heeft op de fysica van het systeem. Omdat de energiedichtheid integreerbaar moet zijn over de hele ruimte, moet gelden dat de energiedichtheid naar nul gaat als x → ±∞. Dus de potentiaal moet naar nul gaan als x → ±∞, waaruit volgt dat φ(x, t) naar een nulpunt en dus ook een minimum van U moet gaan als x → ±∞. Dit geeft in sommige gevallen al veel informatie over de mogelijke oplossingen φ van dit systeem.
Nu is vaak de potentiaal U dusdanig ingewikkeld, dat het vinden van oplossingen van de veldvergelijking (2.7), niet erg gemakkelijk is. Daarom wordt vaak een klasse van oplossingen bekeken, die gemakkelijker te vinden zijn: de statische oplossingen, ofwel de oplossingen waarvoor geldt ˙φ = 0. Voor deze oplossingen reduceert de veldvergelijking tot:
φ00= ∂U
∂φ. (2.10)
Met behulp van deze statische oplossingen kunnen uiteindelijk ook niet-statische oplos-singen gevonden worden. Echter met deze methode zullen in de meeste gevallen niet alle niet-statische oplossingen gevonden worden. Toch beperken we ons in het grootste deel van deze paragraaf tot slechts de statische oplossingen. Aan het einde van de para-graaf zullen we laten zien, dat met deze statische oplossingen niet-statische oplossingen geconstrueerd kunnen worden.
Om deze statische oplossingen te vinden kijken we nu naar een (schijnbaar) heel ander probleem: een puntdeeltje met massa ´e´en dat beweegt in een eendimensionale ruimte
met potentiaal V . De potentiaal neemt op verschillende plekken zijn globale maximum aan, dat we zonder verlies van algemeenheid op nul stellen. De plek van het deeltje op ieder tijdstip wordt aangegeven door de functie φ(t). Dit betekent dat voor de totale energie geldt E = 1 2 dφ dt 2 + V (φ). (2.11)
De totale energie blijft behouden, dus als afgeleid wordt naar t, volgt hieruit: d2φ dt2 dφ dt + ∂V ∂φ dφ dt = 0, (2.12) ofwel d2φ dt2 = − ∂V ∂φ. (2.13)
Als we nu t vervangen door x en V vervangen door −U , dan staat er precies dezelfde differentiaalvergelijking als in (2.10). De oplossingen voor het systeem dat net is be-schreven, geven dus direct statische oplossingen voor ons systeem. Deze gelijkenis met een veel meer tot de verbeelding sprekend systeem gaan we gebruiken om het systeem, waar we mee begonnen, op te lossen.
Om concreet de golfvergelijking op te lossen, is een concrete potentiaal nodig. Het voorbeeld met de kink- en de antikinkoplossingen heeft de volgende potentiaal
U (φ) = 1 4λ(φ
2 − m2/λ)2. (2.14)
De veldvergelijking met deze potentiaal wordt dan ¨
φ − φ00 = m2φ − λφ3. (2.15) Maar we bekijken eerst de statische oplossingen, ofwel oplossingen van
φ00 = λφ3− m2φ. (2.16)
We hebben net gezien dat die corresponderen met oplossingen voor een puntdeeltje in ´e´en dimensie met potentiaal V (φ) = −14λ(φ2− m2/λ)2 (zie figuur 2.1). De oplossingen
die voor dit systeem gevonden worden, moeten wel compatibel zijn met oplossingen van ons originele systeem. Dus er moet gelden dat als x → ±∞ dan moet φ naar een nulpunt van U en dus een nulpunt van V gaan. Dus als x → ±∞ dan φ → ±√m
λ. Bovendien
moet, gezien de integraal in vergelijking 2.9, als x → ±∞ ook de snelheid van het deeltje naar nul gaan. Dus op t = ±∞ bevind het deeltje zich met snelheid nul op een van de twee toppen van de potentiaal V . Aan vergelijking 2.11 is nu te zien dat de totale energie van het analoge systeem van het deeltje gelijk is aan nul.
Er zijn dus in eerste instantie vier mogelijkheden voor het kiezen van begin- en eind-posities van het deeltje. Maar aangezien de totale energie constant blijft en het deeltje in ´e´en dimensie leeft, kan het deeltje zich niet omdraaien als het zich niet op een top van de potentiaal bevindt. Als een deeltje in ´e´en dimensie zich omdraait, moet de snelheid
Φ
V
Figuur 2.1.: De potentiaal V als functie van de golffunctie φ van het analoge klassieke systeem, ontworpen voor het vinden van statische oplossingen van het kink-, antikinksysteem.
daarvoor namelijk even gelijk aan nul zijn, wat niet mogelijk is als de potentiaal niet ook gelijk aan nul is.
Het deeltje kan dus nooit op de linkertop beginnen en naar links gaan bewegen, of op de rechtertop beginnen en naar rechts gaan bewegen. We hadden namelijk zojuist geconcludeerd dat het deeltje zowel op een top moest beginnen als eindigen. Het deeltje kan wel op de linkertop beginnen en naar rechts gaan bewegen, of andersom. Als het deeltje zich op eindige tijd t op een van de twee toppen bevindt zal zijn snelheid gelijk aan nul zijn. Aangezien dit een top van de potentiaal is, geeft vergelijking 2.13 dat
¨
φ = 0. Hieruit volgt dat
... φ = − d dt ∂V ∂φ = − ∂2V ∂φ2φ = 0,˙ (2.17) .... φ = −∂ 2V ∂φ2φ −¨ ∂3V ∂φ3( ˙φ) 2 = 0, (2.18)
en zo voort. Hieruit volgt dus dat de golffunctie in dat geval constant is en dat het deeltje constant stilstaat op ´e´en van de twee toppen. Het kan dus alleen gebeuren dat het deeltje van de ene top naar de andere top beweegt, of dat het stilstaat op ´e´en van de twee toppen. De oplosing voor φ zal dus ´of constant zijn, ´of eruit zien als in figuur 2.2 of 2.3, waar de asymptoten op dezelfde plek zitten als de toppen van de potentiaal V en dus de dalen van de potentiaal U . De energiedichtheid is te zien in figuur 2.4. Deze is gelokaliseerd, dus beide oplossingen zijn solitaire golven, wat we ook ge¨eist hebben om deze oplossingen te vinden.
Om de exacte oplossingen te vinden gebruiken we vergelijking 2.11, die de totale energie van het deeltje in het analoge klassieke systeem geeft. We hebben beredeneerd
x
Φ
Figuur 2.2.: De statische “kinkoplossing” van de veldvergelijking 2.7
x
Φ
Figuur 2.3.: De statische “antikinkoplossing” van de veldvergelijking 2.7
x
Ε
Figuur 2.4.: Energiedichtheid van de kink- en de antikinkoplossingen.
dat daze totale energie nul moet zijn aangezien deze constant is in de tijd en zowel V (φ) als dφdt gaan naar nul als t → ±∞. Er volgt dus dat
1 2 dφ dt 2 = −V (φ), (2.19)
wat in ons originele systeem geeft 1 2 dφ dx 2 = U (φ). (2.20)
Een simpele scheiding van variabelen geeft (vanwege het kwadraat) twee verschillende oplossingen, namelijk φ(x) = ±√m λtanh m √ 2(x − x0) , (2.21)
waar x0 vrij gekozen mag worden, ofwel de ‘plaats’ van de oplossing mag vrij gekozen
worden. Deze twee oplossingen corresponderen met de kink en de antikink uit figuur 2.2 en 2.3. Samen met de twee constante oplossingen zijn dit dus alle statische oplossingen van het systeem opgelegd door 2.5.
Om hiervan niet-statische oplossingen te maken gebruiken we dat het systeem Lorentz-invariant is. In een inertiaalstelsel met een andere snelheid wordt een statische oplossing dan ineens bewegend. We passen dus de volgende transformatie toe voor −1 < v < 1 (de lichtsnelheid was gelijk aan ´e´en gesteld):
x 7→ γ(x − vt) = x − vt
1 − v2. (2.22)
Dus we krijgen voor elke snelheid −1 < v < 1 een niet-statische oplossing van het systeem, namelijk φv(x, t) = ± m √ λtanh m(x − x0− vt) √ 2(1 − v2) . (2.23)
Dit is dus eigenlijk gewoon een bewegende, lengtegecontraheerde kink of antikink. Merk op dat we met deze methode niet per see alle oplossingen van de veldvergelijking (2.7) hebben gevonden, maar alleen de oplossingen die Lorentz-getranformeerden van statische oplossingen zijn, ofwel oplossingen die in een bepaald inertiaalstelsel statisch zijn.
2.1.1. Topologische klassen
Om de oplossingen van veldvergelijkingen van systemen van de vorm 2.7 te vinden heb-ben we beredeneerd, dat de oplossing φ(x, t) op elk moment naar ´e´en van de nulpunten van de potentiaal moet convergeren als x → ±∞. De oplossing op elk tijdstip kan alleen maar continu veranderen in de tijd. Dus als de set van nulpunten van de poten-tiaal discreet is, dan kunnen deze limieten niet veranderen. Ofwel limx→∞(φ(x, t)) en
limx→−∞(φ(x, t)) zijn constant in de tijd.
Er zijn dus als het ware homotopieklassen van oplossingen van zo een vergelijking. Twee oplossingen φ1 en φ2 zitten in dezelfde klasse dan en slechts dan als
lim
x→∞(φ1(x, t)) = limx→∞(φ2(x, t)) en x→−∞lim (φ1(x, t)) = limx→−∞(φ2(x, t)). (2.24)
Iedere klasse wordt dus aangegeven met twee getallen, namelijk deze twee limieten. Een oplossing φ kan dus niet door continue deformaties in een andere klasse terechtkomen.
De potentiaal van het systeem uit deze sectie (2.14) heeft twee absolute minima, √m λ
en −√m
λ. Er zijn dus vier klassen van oplossingen van dit systeem, namelijk ( m √ λ, m √ λ), (√m λ, − m √ λ), (− m √ λ, m √ λ) en (− m √ λ, − m √
λ). De kink, de antikink en de twee constante
oplos-singen zitten alle vier in een andere klasse. Een kink gevolgt door een antikink zit in de klasse (−√m
λ, − m √
λ) en een antikink gevolgt door een kink in ( m √ λ, m √ λ) (zie figuur 2.2 en 2.3).
Het is moeilijk te berekenen wat er gebeurt als een kink en een antikink naar elkaar toe bewegen en dan botsen, maar het is zeker dat de klasse gelijk blijft. Als een kink vanaf rechts aankomt en een antikink vanaf links (zie figuur 2.5) is dit een oplossing uit de klasse (√m
λ, m √
λ). Stel deze zouden na tegen elkaar gebotst te zijn weer in hun oude
vorm met hun oude snelheid terugkeren, dan zou dit eruit zien als in figuur 2.6. Dit zou dus in de klasse (−√m
λ, − m √
λ) behoren. Dit kan dus nooit voorkomen, omdat een
oplossing niet van klasse kan veranderen.
x
Φ
Figuur 2.5.: Een van links naderende kink- en van rechts naderende antikinkoplossing.
x
Φ
Figuur 2.6.: Een zich aan de lijkerkant verwijderende kinkoplossing en een zich aan de rechtekant verwijderende antikinkoplossing.
Het kan dus nooit gebeuren dat de kink en de antikink na het botsen in hun oude vorm met hun oude snelheid terugkeren. Dit kan geconcludeerd worden, puur door naar de topologie van de oplossingen te kijken en zonder enige berekening uit te voeren.
2.2. Het niet-lineaire O(3)-model
Hier volgt een voorbeeld van solitaire golf in twee ruimte en ´e´en tijdsdimensie. In deze dimensie kunnen we iets interessants zeggen over statische oplossingen van dit systeem
als we een Lagrangiaan van dezelfde vorm nemen als in sectie 2.1. Stel we nemen een Lagrangiaan van deze vorm in (D + 1) dimensies
L(φ) = 1
2(∂µφ) · (∂
µφ) − U (φ) (2.25)
waar φ een vector is van N gekoppelde re¨ele scalarvelden φ = (φ1, . . . , φN) en µ =
0, . . . , D (met de gebruikelijke Minkowskische metriek). We kunnen weer het minimum van U (φ) gelijk aan nul stellen, zodat de absolute minima van U overeenkomen met zijn nulpunten.
Met de Euler-Lagrange-vergelijkingen krijgen we dat voor idere 1 ≤ i ≤ N geldt dat ∂2φi ∂t2 − D X j=1 ∂2φi ∂x2 j = −∂U ∂φi . (2.26)
Een statische oplossing voldoet dan aan
D X j=1 ∂2φ i ∂x2 j = ∂U ∂φi . (2.27)
Weer met de Euler-Lagrange-vergelijkingen kunnen we inzien dat oplossingen φ van deze vergelijkingen geven dat δW [φ] = 0, als
W [φ] : = Z 1 2 N X i=1 D X j=1 ∂φi ∂xj 2 + U (φ) ! dDx (2.28) = Z 1 2 N X i=1 D X j=1 ∂φi ∂xj 2! dDx + Z U (φ) dDx. (2.29) Als we het eerste deel van deze integraal V1[φ] noemen en het tweede deel V2[φ], dan
geldt dus W [φ] = V1[φ] + V2[φ]. We zien aan de definitie, dat zowel W als V1 en V2 niet
negatief kunnen zijn. Stel nu φ1 is een statische oplossing, ofwel een oplossing van 2.27,
dan kan het volgende gedefini¨eerd worden:
φλ(x) = φ1(λx). (2.30) Met deze definitie en de definitie van V1 en V2 krijgen we
W [φλ] = V1[φλ] + V2[φλ] = λ2−DV1[φ1] + λ−DV2[φ1] (2.31)
Er geldt dat δW [φ1] = 0, dus als we bovenstaande uitdrukking afleiden naar λ en
vervolgens λ = 1 invullen, moet dat nul geven. Er volgt dus
(2 − D)V1[φ1] = DV2[φ1]. (2.32)
Met dit resultaat kunnen verschillende dingen geconcludeerd worden. Ten eerste geldt als D ≥ 3 dat dit in de meeste gevallen een tegenspraak geeft, aangezien beide V1 en
V2 niet negatief zijn. De enige situatie waarin dit niet een tegenspraak zou geven is, als
zowel V1[φ1] als V2[φ1] gelijk aan nul is. Aan de definities van V1 en V2 is te zien dat dit
alleen gebeurt als φ1 constant gelijk is aan een nulpunt van U . Er geldt dus dat er geen
niet-triviale statische oplossingen van dit systeem kunnen bestaan als D ≥ 3.
Maar als D = 2 (wat het geval is in dit voorbeeld), dan moet gelden dat V2[φ1] = 0,
ofwel U (φ1(x)) = 0 voor alle x in de ruimte. De statische oplossing φ1 is continu in de
ruimte en de tijd, dus als de potentiaal U een discrete set van nulpunten (ofwel absolute minima) heeft, dan moet φ1 weer constant gelijk zijn aan ´e´en van de nulpunten van U .
Voor niet triviale statische oplossingen moet de set van nulpunten van U dus niet-discreet zijn. Een voorbeeld daarvan is natuurlijk de constante potentiaal U (φ) = 0. In dit geval zouden echter de enige niet singuliere oplossingen, constante oplossingen zijn. Om het systeem interessanter te maken voegen we een beperking aan het systeem toe. De oplossing φ(x) = (φ1(x), . . . , φN(x)) moet lengte 1 hebben, ofwel
φ(x) · φ(x) := (φ1(x))2+ · · · + (φN(x))2 = 1. (2.33)
Met een Lagrange multiplicator kan deze beperking in de veldvergelijkingen worden gebracht, maar in deze sectie zullen we niet naar de exacte oplossingen van dit probleem kijken. Zonder expliciete berekeningen uit te voeren, zullen we conclusies trekken over de mogelijke oplossingen φ van dit probleem.
We gaan daarom kijken wat voor soort functie statische oplossingen φ van dit probleem nu zijn. In eerste instantie was φ een functie van de tweedimensionale ruimte naar N gekoppelde re¨ele scalarvelden, ofwel
φ : R2 → RN. (2.34)
Maar de opgelegde beperking, dat de lengte van φ(x) gelijk aan ´e´en moet zijn, zorgt ervoor dat niet alle waarden in RN bereikt kunnen worden. Voor de rest van het
voor-beeld gaan we ervan uit dat φ een set van drie gekoppelde re¨ele scalarvelden is. Het beeld van φ kan dus alleen liggen in de verzameling {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2 = 1}. Dit is precies de tweedimensionale sfeer die in de driedimensionale ruimte ligt. Deze tweedimensionale sfeer zullen we aangeven met S2 := {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2 = 1}.
We kunnen φ dus nu zien als functie naar S2, dus
φ : R2 → S2. (2.35)
Met behulp van de energie van de oplossing zullen we nog een beperking hierop opleggen. De energie van een statische oplossing van dit probleem wordt namelijk gegeven door
E = 1 2
Z
(∂σφ) · (∂σφ) d2x, (2.36)
waar σ = 1, 2 alleen over de ruimtelijke co¨ordinaten loopt. We zoeken naar solitaire-golf-oplossingen, ofwel oplossingen met eindige energie. Dus (∂σφ) · (∂σφ) moet snel genoeg
afvallen als x naar oneindig gaat. De verandering in φ in alle ruimtelijke richtingen moet dus naar nul gaan als x naar oneindig gaat. Er geldt dat als het ware dat ‘de afgeleide
in het oneindige’ gelijk aan nul is, ofwel ‘in het oneindige is φ constant’. We kunnen dus zeggen dat limR→∞φ(Rv) dezelfde waarde heeft voor alle v ∈ R2. Er kan dus als het
ware gesproken worden over φ(∞).
De oplossing φ kan dus gezien worden als functie met domein R2∪ {∞}. We weten dat dat homeomorf is met de Riemann-sfeer, die homeomorf is met S2. Dus we kunnen
R2∪ {∞} zien als tweedimensionale sfeer. Dan kan φ dus gezien worden als functie met S2 als domein, ofwel
φ : S2 → S2. (2.37)
Nu is er in de topologie een theorie die continue afbeeldingen tussen topologische ruimtes in bepaalde klassen indeelt. Dit zijn de zogenaamde homotopieklassen. Twee afbeeldingen zitten in dezelfde homotopieklasse als de ene afbeelding ‘continu vervormd’ kan worden tot de andere afbeelding. De homotopieklassen van continue functies van Sn naar een topologische ruimte X worden aangegeven door Π
n(X).
In dit geval hebben we dus te maken met Π2(S2) en het blijkt zo te zijn dat Π2(S2) ∼= Z.
We kunnen dus aan elke oplossing van dit model een geheel getal toekennen. Dat getal wordt de index van de oplossing genoemd. Als twee oplossingen verschillende indices hebben, kan de ene oplossing dus niet in de andere veranderen. Veranderingen in de tijd zijn namelijk continu. We hebben dus net zoals in het vorige voorbeeld uit paragraaf 2.1 bepaalde klassen van oplossingen gevonden.
Dit model kan gebruikt worden om een ferromagneet te modelleren. Een ferromagneet is een materiaal met elektronen die een spin in een bepaalde richting hebben. Deze spins kunnen voorgesteld worden als vectoren met allemaal dezelfde grootte en het systeem heeft de laagste energie als spins van naburige electronen zo veel mogelijk in dezelfde richting staan. Deze twee eigenschappen zien we terug in het niet-lineaire O(3)-model in vergelijkingen (2.33) en (2.36), waar de drie scalarvelden in het model de spin voorstellen. Er is een continuiteitslimiet genomen, dus op elk punt in de continue ruimte bevindt zich een deeltje met een spin. De oplossingen van het niet-lineaire O(3)-model beschrijven dus mogelijke configuraties van een oneindig grote continue ferromagneet.
We bekijken deze magneet in twee ruimte dimensies, wat niet altijd compatibel is met onze driedimensionale wereld. Als we echter dit probleem in drie ruimtedimensies zouden bekijken en ook de potentiaal identiek gelijk aan nul stellen, dan zou de redenering uit deze paragraaf vrijwel hetzelfde gaan, tot we zouden uitkomen op een afbeelding
φ : S3 → S2, (2.38)
die het analoog zou zijn van (2.37). Het blijkt echter dat ook Π3(S2) ∼= Z, waardoor
dezelfde conclusie zal volgen. In het volgende hoofdstuk zal iets meer over dit soort afbeeldingen besproken worden.
Het volgende hoofdstuk zal ook een introductie geven op principale bundels. Deze zijn cruciaal in het cre¨eren van een zelfde soort classificatie van oplossingen, waar we in het afgelopen hoofdstuk twee voorbeelden van gezien hebben, voor instantonoplossingen van de Yang-Mills-vergelijkingen. De Hopf-bundel, die steeds als voorbeeld zal worden genomen, zal een simpele versie blijken van de principale bundels die uiteindelijk een rol zullen spelen bij instantonoplossingen.
3. De Hopf-bundel
In het begin van de negentiende eeuw bestudeerde de Duitse wiskundige Heinz Hopf continue afbeeldingen tussen sferen van eventueel verschillende dimensies. Het was al bekend dat continue afbeeldingen tussen sferen van dezelfde dimensie in te delen waren in oneindig veel homotopieklassen (πn(Sn) = Z). Ook was het bekend dat er van de
afbeeldingen van de tweedimensionale sfeer naar de eendimensionale sfeer slechts ´e´en homotopieklasse was.
Heinz Hopf was de eerste die een afbeelding construeerde van de driedimensionale sfeer naar de tweedimensionale sfeer die niet homotoop was met de constante afbeelding. Dat deze afbeelding bestond was vrij verbazend in die tijd en deze afbeelding wordt dan ook tegenwoordig de Hopf-afbeelding genoemd. Door de Hopf afbeelding samen te stellen met afbeeldingen van S3 naar zichzelf uit verschillende homotopieklassen liet Hopf zelfs
zien dat er oneindig veel homotopieklassen zijn van afbeeldingen van S3 naar S2 ([5],[3]). De Hopf-afbeelding kan gebruikt worden om een zogenaamde principale bundel te construeren. Om te beschrijven hoe dit gaat zullen we eerst bekijken wat principale bundels zijn. Daarna zullen we een aantal eigenschappen van principale bundels bekijken en we zullen dit hoofdstuk eindigen met een classificatie van principale bundels met als basisruimte een sfeer. Dit hoofdstuk is geschreven aan de hand van het boek Topology, Geometry and Gauge fields van Gregory L. Naber [5].
3.1. Principale bundels
De Hopf-bundel is een principale bundel, wat een speciaal geval is van een bundel. Om een idee te geven van wat een bundel is, volgt hier eerst een voorbeeld van een bundel.
Bekijk hiervoor een ‘mooie’ m-dimensionale deelverzameling (een gladde deelvari¨eteit1)
M van Rn. Aan een punt p ∈ M kan je een m-dimensionale lineaire deelruimte van Rn
toekennen als raakruimte, die je kan defini¨eren met behulp van de afgeleides van paden in M door p. Deze raakruimte aan het punt p noemen we TpM . Als we nu aan ieder punt
van M de raakruimte ‘vastplakken’ dan wordt dat de raakbundel T M van M genoemd, ofwel
T M = a
p∈M
{p} × TpM.
Een element in deze bundel is dus een paar (p, v) met p ∈ M en v ∈ TpM . Deze bundel
heeft een aantal eigenschappen. We kunnen bijvoorbeeld een afbeelding π : T M → M
1
Een gladde vari¨eteit is een ruimte die lokaal homeomorf is met een open deelverzameling van Rm. Bovendien moeten deze lokale delen op een gladde manier aan elkaar vast zitten.
definieren door π(p, v) := p. Er geldt voor deze afbeelding dat π−1({p}) = TpM ∼= Rm.
Er geldt ook dat voor iedere p ∈ M er een p ∈ U ⊂ M bestaat, die homeomorf is met een open deelverzameling V ⊂ Rm. Voor die U bestaat er een homeomorfisme
Ψ : T M U → V × R m, waar T M U := π −1(U ) =`
p∈U{p} × TpM . Ofwel: lokaal in M
lijkt de raakbundel op het cartesisch product van M met Rm. Dit homeomorfisme Ψ
wordt de lokale trivialisatie genoemd.
Een bundel in het algemeen kan je zien als een ruimte, met aan ieder punt van die ruimte een andere ruimte op een bepaalde manier eraan ‘vastgeplakt’, zodat er ook een lokale trivialisatie bestaat. Om dit wat preciezer te maken volgt nu de definitie van een bundel.
Definitie 3.1.1. Een bundel is een tupel (E, M, π, F ), waar E, M en F topologische ruimtes zijn en π : E → M een continue surjective afbeelding is. Bovendien moet er gelden dat voor iedere p ∈ M , Ep := π−1({p}) ∼= F en dat er voor iedere p ∈ M
een open omgeving p ∈ U ⊂ M bestaat zodat EU := π−1(U ) ∼= U × F gegeven door
Ψ : EU ∼
−→ U × F die de vorm heeft Ψ(x) = (π(x), ψ(x)).
We noemen E de totale ruimte, M de basisruimte, π de projectie en F de vezel van de bundel. In de praktijk wordt gezegd dat E een bundel van F over M is. Zoals eerder gezegd noemen we Ψ de lokale trivialisatie. Uit het bovenstaande voorbeeld volgt dat (T M, M, π, Rm) een bundel is. Het is zelfs een bepaald speciaal geval van een bundel, omdat F ∼= Rm in dit geval een lineaire ruimte is en de lokale trivialisatie deze lineariteit
respecteert (ψ
TpM : TpM → R
m is lineair). In dat geval noemen we zo een bundel een
vectorbundel.
Met dit zelfde idee zijn er nog meer speciale gevallen van bundels, waaronder de principale bundel. Een principale bundel heeft als vezel F een groep. Voor de groep moet een rechtswerking gedefini¨eerd zijn op de bundel, die mooi samen gaat met de vezels van de bundel. Vaak is deze groep een zogenaamde Lie-groep, wat een gladde vari¨eteit is met een groepsstructuur die glad is. Dat houdt in dat de groepsbewerking en de inverse (g, h) 7→ g · h en g 7→ g−1 gladde afbeeldingen moeten zijn. Erg simpele voorbeelden van Lie-groepen zijn natuurlijk (R, +) en (R∗, ·) en standaardvoorbeelden zijn matrixgoepen zoals GL(n, R) en SO(n, R), respectievelijk de inverteerbare matrices en de rotatiematrices.
In het algemeen is de groep geen Lie-groep, terwijl we toch over dingen als continue afbeeldingen en homeomorfismen willen kunnen spreken. Daarom moet er een topologie op G gedefinieerd zijn. Op het moment dat het niet duidelijk is wat deze topologie zou moeten zijn (bij een Lie-groep is dit bijvoorbeeld wel duidelijk), wordt vaak de discrete topologie gekozen, opdat alle afbeeldingen naar G automatisch continu zijn. Een vereiste is bij het kiezen van deze topologie dat de groepsbewerking en de inverse (g, h) 7→ g · h en g 7→ g−1 continue afbeeldingen zijn. Een groep met zo een topologie erop gedefinieerd wordt een topologische groep genoemd. Een Lie-groep is dus een speciaal geval van een topologische groep.
Een principale bundel heeft dus een groep als vezel, die een rechtswerking heeft op de bundel. Om dit concept beter te begrijpen kijken we weer eerst naar een voorbeeld.
Omdat hier het getal π zal voorkomen als de helft van de omtrek van de eenheidscir-kel, zal de projectieafbeelding van de bundel in dit voorbeeld p worden genoemd. We bekijken hiervoor namelijk de volgende projectie afbeelding2, p : R → S1 = {z ∈ C :
|z| = 1} gegeven door p(x) := e2πix. Voor de vezels van deze afbeelding geldt duidelijk
p−1(e2πix) = x + Z ∼
= Z en Z kunnen we beschouwen als een groep (met optelling als bewerking).
Verder moet, om een bundel te zijn, voor ieder punt op de cirkel gelden dat er een open omgeving U is zodat het bijbehorende deel van de totale ruimte R triviaal is. Voor een punt e2πix0 kies U
x0 = {e
2πix : x ∈ (x
0 − 14, x0+ 14)}. Dan geldt p−1(Ux0) =
(x0−14, x0+14)+Z ⊂ R, waaruit volgt dat p−1(Ux0) ∼= Ux0×Z. De lokale trivialisatie wordt
geven door Ψx0(x) = (p(x), ψx0(x)) = (e
2πix,x − (x
0−14)). Er wordt dus voldaan aan
de lokale-trivialisatie-eigenschap waaruit we kunnen concluderen dat (R, S1, p, Z) een
bundel is.
Maar in dit geval is de vezel een groep, waarvan de groepsstructuur te maken heeft met de bundelstructuur. Er kan namelijk een werking gedefini¨eerd worden van Z op R, namelijk voor x ∈ R en n ∈ Z defini¨eren we x ? n := x + n. Voor deze werking geldt duidelijk dat p(x + n) = p(x), dus door de werking blijven elementen uit de bundel wel in dezelfde vezel. Bovendien geldt dat ψx0(x + n) = ψx0(x) + n voor een x0 ∈ R waarvoor
geldt dat x ∈ (x0 −14, x0+ 14) + Z.
De vezel neemt op deze manier dus een deel van de groepsstructuur van Z over. De actie beperkt tot de vezel, die homeomorf is met Z, doet dus hetzelfde als de gewone optelling binnen Z. Met behulp van deze werking is de vezel dus niet alleen als ruimte hetzelfde als de groep, maar maakt de groepsstructuur van de groep echt iets uit. Dit brengt ons tot de volgende definitie. In die definitie zal “·” gebruikt worden om een groepsbewerking aan te geven en zal “?” gebruikt worden om een rechtswerking aan te geven.
Definitie 3.1.2. Een principale bundel is een bundel (E, M, π, G) met een topologische groep als vezel. Bovendien moet deze groep G een continue rechtswerking op E hebben met de volgende eigenschappen:
1. De werking behoud de vezels. Ofwel: π(x ? g) = π(x) voor alle x ∈ E en g ∈ G. 2. Voor elke lokale trivialisatie Ψα, behorende bij Uα ⊂ M , van de vorm Ψα(x) =
(π(x), ψα(x)), geldt ψα(x ? g) = ψα(x) · g voor alle x ∈ EUα ⊂ E en g ∈ G.
We noemen deze bundel een principale G-bundel over M . In het geval van een prin-cipale bundel wordt vaak de letter G gebruikt in plaats van F voor de vezel. Een principale G-bundel wordt glad genoemd, als G een Lie-groep is en zowel de rechtswer-king als de projectie en de lokale trivialisatie gladde afbeeldingen zijn. We zien dat de bundel (R, S1, p, Z) inderdaad een principale bundel is. Er is namelijk een rechtswerking
gedefini¨eerd van Z op R, die voldoet aan de twee eigenschappen uit de definitie. Boven-dien, als we de discrete topologie op Z defini¨eren, zijn de groepsbewerking, de inverse en de groepswerking op R continue afbeeldingen.
2Deze afbeelding is de overdekkingsafbeelding die wordt gebruikt om te bewijzen dat de fundamen-taalgroep van de cirkel isomorf is met Z.
Waarschijnlijk is de triviale principale bundel het makkelijkste voorbeeld van een principale bundel. Voor een vari¨eteit M wordt de triviale principale G-bundel over M gegeven door (M ×G, M, π, G), met π((p, g)) := p, met rechtswerking (p, g)?h := (p, g·h) en met als lokale trivialisatie de identiteit3. Het is makkelijk in te zien dat dit aan de definitie van de principale bundel voldoet. Alle principale G-bundels over M lijken lokaal op deze triviale principale bundel.
Door de twee eigenschappen van de rechtswerking uit de definitie van de principale bundel, geldt dat de baan van ieder element van E precies de vezel is waar dat element in zit.
Lemma 3.1.3. Als (E, M, π, G) een principale bundel is, dan geldt voor iedere x ∈ E dat π−1(π({x})) = x ? G := {x ? g|g ∈ G}.
Bewijs. Uit de eerste eigenschap van de werking uit de definitie van de principale bundel volgt meteen dat xG ⊂ π−1(π({x})). Neem nu een element x0 ∈ π−1(π({x})), dan geldt
dat π(x0) = π(x). Neem nu g := (ψ(x))−1· ψ(x0). Dan geldt dat
Ψ(x ? g) = (π(x ? g), ψ(x ? g)) = (π(x), ψ(x) · g) = (π(x0), ψ(x0)) = Ψ(x0).
En aangezien Ψ bijectief is, moet nu gelden dat x ? g = x0, waaruit volgt dat x0 ∈ xG. Dus er geldt dat π−1(π({x})) = xG.
Dus de werking op iedere vezel is transitief (de baan van de werking is de hele vezel). Ook kan het volgende worden bewezen over de rechtswerking van een principale bundel. Lemma 3.1.4. De rechtswerking van een principale bundel is vrij. Dat wil zeggen, dat voor x ∈ E en g ∈ G geldt dat x ? g = x dan en slechts dan als g het eenheidselement van G is.
Bewijs. Volgens de definitie van een werking moet gelden dat x ? e = x als e het een-heidselement van G is.
Stel nu dat x ? g = x voor een bepaalde g ∈ G. Dan geldt dus dat
(π(x), ψ(x)) = Ψ(x) = Ψ(x ? g) = (π(x ? g), ψ(x ? g)) = (π(x), ψ(x) · g).
Dus er geldt dat ψ(x) = ψ(x) · g. Linksvermenigvuldigen met (ψ(x))−1 geeft dat g = e, waar e weer het eenheidselement van G is.
Voorbeeld 3.1.5. De Hopf-Bundel
Een (voor deze tekst) belangrijk voorbeeld van een principale bundel is de Hopf-bundel. Dit is een principale S1-bundel over S2, waar de totale ruimte S3 is. De projectieafbeelding van de Hopf-bundel is de Hopf-afbeelding. Heinz Hopf construeerde deze afbeelding en liet daarmee zien dat er niet-triviale afbeeldingen bestaan tussen sferen van verschillende dimensie.
3De trivialisatie is in dit geval niet lokaal maar globaal gedefinieerd, vandaar dat dit de triviale bundel wordt genoemd.
Om deze afbeelding te defini¨eren bekijken we eerst de gelijkenis tussen de tweesfeer S2 en de complexe projectieve ruimte CP1 = {(z
1 : z2)|(z1, z2) ∈ C2\{(0, 0)}} waar (z1 : z2) = (z10 : z 0 2) :⇔ Er is een λ ∈ C zodat (z1, z2) = λ(z10, z 0 2).
Er kan namelijk een homeomorfisme gedefinieerd worden van CP1 naar de Riemann-sfeer ˆC := C ∪ {∞} door (z1 : z2) 7→ zz12. Deze heeft als inverse functie z 7→ (z : 1) als
z ∈ C en ∞ 7→ (1 : 0). De Rieman-sfeer is homeomorf met de tweesfeer, dus S2 en CP1
zijn homeomorf. We kunnen dus in het vervolg de notatie van CP1 gebruiken als we het over S2 hebben.
We bekijken S1 als deelverzameling van C door S1 = {λ ∈ C : |λ| = 1} en we
bekijken S3 als deelverzameling van C2 door S3 = {(z1, z2) ∈ C2 : |z1|2 + |z2|2 = 1}.
Dan kunnen we de projectieafbeelding π : S3 → CP1 van de Hopf-bundel defini¨eren
door π(z1, z2) := (z1 : z2). Deze afbeelding is duidelijk surjectief en zijn vezels worden
gegeven door π−1({(z1 : z2)}) = {λ( z1 p|z1|2+ |z2|2 , z2 p|z1|2+ |z2|2 ) : λ ∈ C met |λ| = 1} ∼= S1. Om te laten zien dat dit een lokaal triviale bundel vormt bekijken we voor i = 1, 2 de open omgevingen Ui = {(z1 : z2) ∈ CP1 : zi 6= 0}. Omdat volgens de definitie van de
projectieve ruimte niet allebei de componenten z1en z2 gelijk aan nul kunnen zijn, wordt
heel CP1 door U1 en U2 overdekt. Er geldt dat π−1(Ui) = {(z1, z2) ∈ S3 : zi 6= 0}, dus
we kunnen de volgende (potenti¨ele) lokale trivialisaties defini¨eren Ψi : π−1(Ui) → Ui×S1
door
Ψi(z1, z2) := ((z1 : z2),
zi
|zi|
).
We definieren Φi : Ui×S1 → π−1(Ui) in de hoop daarmee een inverse van Ψi te vinden,
door Φi((z1 : z2), λ) := (z10 |zi| zi λ, z02|zi| zi λ),
waar zj0 = zj/p|z1|2+ |z2|2 voor j = 1, 2. Er geldt nu voor (z1, z2) ∈ π−1(Ui) ⊂ S3 dat
zj0 = zj, dus Φi◦ Ψi(z1, z2) = Φi((z1 : z2), zi |zi| ) = (z1, z2). En er geldt voor ((z1 : z2), λ) ∈ Ui× S1 Ψi◦ Φi((z1 : z2), λ) = Ψi(z10 |zi| zi λ, z20|zi| zi λ) = ((z10|zi| zi λ : z20|zi| zi λ), z 0 i |zi| zi λ |z0 i |zi| zi λ| ) = ((z1 : z2), λ).
Dus Φi = Ψ−1i , waaruit volgt dat Ψi inderdaad een homeomorfisme is en bovendien
van de vorm Ψi = (π, ψi). We kunnen dus concluderen dat (S3, CP1, π, S1) een lokaal
triviale bundel is.
We kunnen S1 als een groep zien door de vermenigvuldiging van de complexe getallen over te nemen. De cirkel S1 is namelijk een ondergroep van de multiplicative groep van
de complexe getallen. Om van deze bundel een principale bundel te maken definieren we een rechtswerking van S1 op S3. Deze rechtswerking is als volgt voor (z
1, z2) ∈ S3
en λ ∈ S1
(z1, z2) ? λ := (z1λ, z2λ).
Als geldt dat |z1|2+ |z2|2 = 1 en |λ| = 1 dan geldt ook dat |z1λ|2+ |z2λ|2 = |λ||z1|2 +
|λ||z2|2 = |z1|2+ |z2|2 = 1 dus (z1λ, z2λ) ∈ S3. Dus dit defini¨eert een rechtswerking, die
ook duidelijk continu is. Ook geldt dat
π((z1, z2) ? λ) = π(z1λ, z2λ) = (z1λ : z2λ) = (z1 : z2) = π(z1, z2) en Ψi((z1, z2) ? λ) = (π((z1, z2) ? λ), ziλ |ziλ| ) = (π(z1, z2), ψi(z1, z2) · λ).
Dus de Hopf-bundel (S3, CP1, π, S1) zoals hierboven beschreven is een principale S1 -bundel.
Nu we een aantal belangrijke eigenschappen en belangrijke voorbeelden van princi-pale bundels hebben gezien, beginnen we nu wat theorie te ontwikkelen om te kunnen deduceren wat voor verschillende principale bundels er allemaal mogelijk zijn. Daarvoor zullen we eerst kijken naar zogenaamde transitiefuncties van bundels.
3.2. Transitiefuncties
Volgens de definitie van een bundel (E, M, π, F ) (Definitie 3.1.1) bestaat er voor iedere p ∈ M een open verzameling U van M met p ∈ U , zodat er een lokale trivialisatie Ψ : EU
∼
−→ U × F bestaat. Dit geeft ons dus een collectie open verzamelingen van M met bijbehorende lokale trivialisaties, die we zullen noteren als {(Uα, Ψα)|α ∈ J }, waar
J een of andere indexverzameling is. Elke p ∈ M moet in zo een open verzameling liggen dus er moet gelden dat
[
α∈J
Uα = M.
Als we aannemen dat M samenhangend is, dan kunnen deze Uα niet allemaal
paars-gewijs disjunct zijn. Dat betekent dat sommige van deze open deelverzamelingen van M overlappen. Bekijk zo een Uα ∩ Uβ 6= ∅ met α 6= β en α, β ∈ J, en bekijk de twee
lokale trivialisaties Ψα : EUα ∼
−→ Uα× F en Ψβ : EUβ ∼
−→ Uβ× F . Hieruit krijgen we twee
eventueel verschillende trivialisaties van EUα∩Uβ, namelijk Ψα
E Uα∩Uβ en Ψβ E Uα∩Uβ. Zo definieren we Ψαβ : Uα∩ Uβ × F ∼ −→ Uα∩ Uβ× F , door Ψαβ := Ψα EUα∩Uβ ◦ Ψβ EUα∩Uβ −1 . (3.1)
Deze Ψαβ worden de transitiefuncties genoemd. Omdat Ψα = (π, ψα) voor alle α ∈ J is
ψp,αβ voor elke p ∈ Uα∩ Uβ een homeomorfisme is van F naar zichzelf, die gedefini¨eerd wordt als ψp,αβ := ψα π−1({p})◦ (ψβ π−1({p})) −1 . (3.2)
In het geval dat (E, M, π, G) een principaalbundel is geldt dus dat ψp,αβ een
homeo-morfisme is van G naar zichtzelf. In dit geval kunnen we zelfs nog wat meer zeggen over dit homeomorfisme, waarvoor eerst het volgende lemma bewezen zal worden.
Lemma 3.2.1. Stel (E, M, π, G) is een principale G-bundel en {(Uα, Ψα)|α ∈ J } zijn
de bijbehorende lokale trivialisaties. Als π(x) = π(x0) ∈ Uα∩ Uβ dan ψα(x) · (ψβ(x))−1 =
ψα(x0) · (ψβ(x0))−1.
Bewijs. Stel π(x) = π(x0) ∈ Uα∩ Uβ, dan geldt dus dat x en x0 in dezelfde fiber zitten,
ofwel x en x0 zitten in dezelfde baan van de werking van G op E. Dus er is een g ∈ G zodat x ? g = x0. Nu volgt er
ψα(x0) · (ψβ(x0))−1 = ψα(x ? g) · (ψβ(x ? g))−1 = ψα(x) · g · (ψβ(x) · g)−1 = ψα(x) · (ψβ(x))−1.
Wat was wat aangetoond moest worden.
Met dit lemma kan een expliciete vorm van het bovengenoemde homeomorfisme van G naar zichzelf worden gegeven. Hiervoor defini¨eren we de functie gαβ : Uα ∩ Uβ → G
door gαβ(p) := ψα(x) · (ψβ(x))−1 voor een x ∈ π−1({p}). Aangezien lemma 3.2.1 laat
zien dat de keuze van x ∈ π−1({p}) hiervoor niet uitmaakt, is deze afbeelding goed gedefinieerd. De continuiteit neemt deze afbeelding over van de continuiteit van ψα en
ψβ en de continuiteit van de groepsbewerking en het groepsinverteren.
Lemma 3.2.2. Het homeomorfisme ψp,αβ : G ∼
−→ G uit (3.2), is linksvermenigvuldiging met gαβ(p).
Bewijs. Laat g ∈ G willekeurig. Er geldt dat ψβ
π−1({p}) een homeomorfisme is, dus er
is zeker een x ∈ π−1(p) zodat ψβ(x) = g. Dus er geldt dat
ψp,αβ(g) = ψα(x) = ψα(x) · (ψβ(x))−1· ψβ(x) = gαβ(p) · g.
Dus ψp,αβ is inderdaad linksvermenigvuldiging met gαβ(p).
Er is een aantal belangrijke eigenschappen die de transitiefuncties Ψαβhebben. Omdat
deze van de vorm Ψαβ(p, g) = (IdUα∩Uβ(p), ψp,αβ(g)) zijn en we in dit geval alleen naar
principale bundels kijken, kunnen we de lemma’s over ψp,αβ, die we net bewezen hebben,
goed gebruiken om deze eigenschappen van de transitiefuncties aan te tonen. Uit lemma 3.2.2 weten we namelijk dat Ψαβ(p, g) = ((IdUα∩Uβ(p), gαβ(p) · g). De drie eigenschappen
zijn de volgende.
Eigenschappen 3.2.3. Stel (E, M, π, G) is een principale bundel, dan gelden voor de transitiefuncties van deze bundel de volgende eigenschappen.
1. Stel α, β, γ ∈ J zijn zo dat Uα∩ Uβ∩ Uγ 6= ∅, dan geldt voor de overlap Uα∩ Uβ∩
Uγ× G dat
Ψαβ◦ Ψβγ = Ψαγ.
Deze eigenschap wordt de cocykelconditie genoemd. 2. Er geldt Ψαα = IdUα×G.
3. Er geldt Ψαβ = Ψ−1βα.
Met behulp van lemma 3.2.2 krijgen we namelijk voor p ∈ M en een x ∈ π−1({p}) gαβ(p) · gβγ(p) = ψα(x) · (ψβ(x))−1· ψβ(x) · (ψγ(x))−1 = gαγ(p),
waaruit eigenschap 1 (de cocykelconditie) volgt. Eigenschappen 2 en 3 volgen op triviale wijze uit de definitie van de transitiefuncties.
Deze drie eigenschappen gelden ook voor transitiefuncties van bundels die geen prin-cipale bundels zijn. Hiervoor kan dan uiteraard lemma 3.2.2 niet gebruikt worden om de cocykelconditie aan te tonen en het bewijs hiervan is dan ook wat ingewikkelder. Wij zullen alleen het resultaat voor principale bundels nodig hebben en daarom het algemene bewijs hier niet geven.
Omdat deze functies gαβ in ´e´en-op-´e´en-correspondentie zijn met de transitiefuncties
Ψαβ noemen we de functies gαβ ook wel de transitiefuncties van de bundel. We zullen
in het volgende voorbeeld zien wat de transitiefuncties van de Hopf-bundel zijn. Voorbeeld 3.2.4. De Hopf-bundel
In voorbeeld 3.1.5 zijn al expliciet de lokale trivialisaties van de Hopf-bundel gegeven. Met die lokale trivialisaties kunnen de transitiefuncties uitgerekend worden. Noem U1∩
U2 =: V dan geldt dat
Ψ1,2 = Ψ1 π−1(V )◦ Φ2 V ×S1 en Ψ2,1 = Ψ2 π−1(V )◦ Φ1 V ×S1.
Aangezien deze functies symmetrisch zijn in 1 en 2, zullen we hier alleen Ψ1,2 uitrekenen
en de berekening van Ψ2,1 aan de lezer overlaten. We brengen in herinnering dat waar
zj0 staat, zj0 = zj/p|z1|2+ |z2|2 wordt bedoeld. Er geldt dan
Ψ1,2((z1 : z2), λ) = Ψ1 π−1(V )◦ Φ2 V ×S1((z1 : z2), λ) = Ψ1 π−1(V )(z 0 1 |z2| z2 λ, z20|z2| z2 λ) = ((z10|z2| z2 λ : z20|z2| z2 λ), z 0 1 |z2| z2 λ |z0 1 |z2| z2 λ| ) = ((z1 : z2), z1 |z1| |z2| z2 λ). Dit klopt inderdaad met lemma 3.2.2, want
g1,2((z1 : z2)) = ψ1((z1 : z2)) · (ψ2((z1 : z2)))−1 = z1 |z1| |z2| z2 .
We zien dat V = {(z1 : z2) ∈ CP1 : z1 6= 0 en z2 6= 0} correspondeert met de
Riemann-sfeer zonder 0 en ∞, en dus correspondeert met de tweesfeer zonder noord- en zuidpool. Deze laatste is homotoop met de cirkel, dus g1,2 : V → S1 kan gezien worden
als afbeelding van de cirkel op zichzelf, op homotopie van de afbeelding na. We zullen later zien dat de homotopieklasse van deze afbeelding de bundel, op bundelequivalentie na, uniek bepaalt.
Noem nu het deel van de Riemann-sfeer waarmee V correspondeert ˆV = ˆC\{0, ∞} en bekijk de cirkel om de oorsprong Cr = {z ∈ ˆC : |z| = r} ⊂ V . De projectie van ˆˆ V op Cr is dan een homotopie-equivalentie, waardoor V homotopie-equivalent is met Cr.
Voor de homotopieklasse van de functie g1,2 kunnen we dus kijken wat g1,2 doet op Cr.
Er geldt dat Cr = {z ∈ ˆC : |z| = r} = {rλ ∈ C : λ ∈ Sˆ 1}, dus dit correspondeert
met {[rλ, 1] ∈ CP1 : λ ∈ S1} in CP1. Er geldt dat g
1,2([rλ, 1]) = |rλ|rλ = λ en dit geldt
voor alle r > 0, dus als je g1,2 bekijkt als functie van de cirkel naar zichzelf, dan geldt
λ 7→ λ. Gezien als functie van S1 naar S1 is de transitiefunctie g
1,2 van de Hopf-bundel
dus homotoop aan de identiteit.
3.3. Equivalente bundels
De vraag rijst nu misschien, in hoeverre deze transitiefuncties bepalen hoe de bundel eruit ziet. Ofwel: kunnen we aan de transitiefuncties van twee bundels zien of deze bundels hetzelfde zijn? Hiervoor moeten we ons echter eerst de vraag stellen, wanneer twee bundels ‘hetzelfde’ zijn. Daarom voeren we hier eerst het begrip bundelequivalentie voor principale bundels in.
Definitie 3.3.1. Twee principale G-bundels over M , (E1, M, π1, G) en (E2, M, π2, G),
heten equivalent als er een homeomorfisme F : E1 ∼
−→ E2 (een bundelequivalentie) bestaat
zodat voor elke x ∈ E1 geldt dat
π2(F (x)) = π1(x)
en voor alle g ∈ G en x ∈ E1 geldt dat
F (x ? g) = F (x) ? g.
Het homeomorfisme tussen E1 en E2 moet dus de vezels van de bundel behouden en
iedere vezel moet boven hetzelfde punt in M blijven. Bovendien moet de rechtwerking van de principale bundel behouden blijven. Het is gemakkelijk na te gaan dat dit een equivalentierelatie is.
Het is natuurlijk interessant om te weten of een bundel (E, M, π, G) equivalent is met de triviale bundel. Als dit namelijk het geval is kunnen we daarna in plaats van E de ruimte M × G beschouwen, waarmee meestal makkelijker te rekenen valt. Voor principale bundels bestaat hier een erg handige stelling voor. Deze zegt dat als er een globale sectie op de principale bundel bestaat, dan is deze bundel equivalent met de triviale bundel. Hiervoor zullen we eerst kort de definitie van een sectie herhalen.
Definitie 3.3.2. Stel (E, M, π, F ) is een bundel. We noemen een continue functie s : M → E een globale sectie op deze bundel, als geldt dat π ◦ s = IdM.
Een sectie kent dus op een continue manier aan elk punt in de basisruimte M een waarde toe in de vezel boven dat punt.
Het interessante van deze secties is, dat met een globale sectie op een principale bundel een bundelequivalentie met de triviale bundel geconstrueerd kan worden. Dat brengt ons tot de volgende stelling.
Stelling 3.3.3. Er bestaat een globale sectie op de principale bundel (E, M, π, G) dan en slechts dan als deze bundel equivalent is met de triviale bundel (M × G, M, ˜π, G). Bewijs. Stel de principale bundel (E, M, π, G) is equivalent met de triviale principale G-bundel over M . Dan is er dus een bundelequivalentie F : M × G −→ E. Definnieer∼ nu ˜s : M → M × G door ˜s(p) := (p, e), waar e ∈ G het eenheidselement is. Deze ˜
s is een sectie op de triviale bundel. Definieer nu s = F ◦ ˜s, dan geldt dat s een continue functie van M naar E is. Bovendien geldt, omdat F een bundelequivalentie is, π ◦ s = π ◦ F ◦ ˜s = ˜π ◦ ˜s = IdM. Dus s is een globale sectie op (E, M, π, G).
Stel nu dat er een globale sectie s op (E, M, π, G) bestaat. Er geldt dat de vezels van de bundel overeenkomen met de banen van de rechtswerking van G op E en bovendien geeft een sectie uit iedere vezel een element. Er geldt dus dat
E = a
p∈M
π−1({p}) = a
p∈M
{s(p) ? g|g ∈ G}.
Met lemma 3.1.4 volgt zelfs dat er voor iedere x ∈ E een unieke g ∈ G bestaat zodat x = s(π(x)) ? g. Definieer nu F : M × G → E, door F (p, g) := s(p) ? g dan volgt dat dit een bijectie is. De rechtswerking en de sectie s zijn continu, dus F is ook continu. Er geldt ook dat F ((p, g) ? g0) = F (p, g · g0) = s(p) ? (g · g0) = (s(p) ? g) ? g0 = F (p, g) ? g0 en er geldt π(F (p, g)) = π(s(p) ? g) = π(s(p)) = p = ˜π(p, g), wat de twee eigenschappen uit definitie 3.3.1 zijn.
We hoeven nu alleen nog aan te tonen dat de inverse van F continu is, om te kunnen concluderen dat F een bundelequivalentie is. Neem hiervoor x ∈ E willekeurig dan is er een g ∈ G zodat x = s(π(x)) ? g. Neem een omgeving U van π(x) met een lokale trivialisatie Ψ : π−1(U ) → U × G die van de vorm Ψ = (π, ψ) is. Dan volgt er dat
ψ(x) = ψ(s(π(x)) ? g) = ψ(s(π(x))) · g,
waaruit we kunnen concluderen dat g = (ψ(s(π(x))))−1· ψ(x) en dus dat F−1(x) = (π(x), (ψ(s(π(x))))−1· ψ(x))
de inverse van F is. Omdat zowel π als s als ψ continue functies zijn, volgt dat de inverse van F continu is en dus dat F een homeomorfisme is.
Er geldt dus dat F een bundelequivalentie is en dat (E, M, π, G) equivalent is met de triviale bundel.
Een andere manier om te zien dat twee bundels (over dezelfde basisruimte) equivalent zijn is door te kijken naar de transitiefuncties van de bundels. Maar stel de ene bundel heeft {(U1
α, Ψ1α) : α ∈ I} als lokale trivialisaties en de andere bundel heeft {(Uβ2, Ψ2β) :
β ∈ J } als lokale trivialisaties, dan hoeven {Uα1 : α ∈ I} en {Uβ2 : β ∈ J } niet overeen te komen. De transitiefuncties van de twee bundels hebben dan verschillende domeinen en we kunnen ze niet met elkaar vergelijken. Nemen we nu echter
{U1 α∩ U
2
β : α ∈ I, β ∈ J },
dan kunnen beide bundels daarover getrivialiseerd worden, door de bijbehorende restric-ties van de originele transitiefuncrestric-ties te nemen. We kunnen dus altijd aannemen dat twee bundels over dezelfde basisruimte, ook dezelfde trivialiserende omgevingen hebben. Nu kunnen we het volgende lemma gebruiken om de lokale trivialisaties te vergelijken. Lemma 3.3.4. Stel (E1, M, π1, G) en (E2, M, π2, G) zijn twee principale G-bundels met
respectivelijk {(Uα, Ψ1α)|α ∈ J } en {(Uα, Ψ1α)|α ∈ J } als lokale trivialisaties en
respec-tivelijk g1
αβ, gαβ2 : Uα ∩ Uβ → G als transitiefuncties. Dan geldt dat (E1, M, π1, G) en
(E2, M, π2, G) equivalent zijn, dan en slechts dan als er voor elke α ∈ J een functie
λα : Uα→ G bestaat zodat voor alle α, β ∈ J met Uα∩ Uβ 6= ∅ geldt dat
g2αβ(p) = (λα(p))−1· gαβ1 (p) · λβ(p)
voor alle p ∈ Uα∩ Uβ.
Bewijs. “⇒” Stel (E1, M, π1, G) en (E2, M, π2, G) zijn equivalent, F : E1 → E2 is de
bundelequivalentie en {Ψi
α = (πi, ψiα)} (i = 1, 2) zijn de lokale trivialisaties. Er geldt
voor x ∈ E1 dat π2(F (x)) = π1(x), dus als π(x) ∈ Uα dan ook π2(F (x)) ∈ Uα. We
kunnen dus kijken naar
ψα1(x) · ψα2(F (x))−1. Er geldt voor iedere g ∈ G dat
ψα1(x ? g) · ψ2α(F (x ? g))−1 = ψα1(x) · g · ψα2(F (x)) · g−1 = ψα1(x) · ψα2(F (x))−1, dus voor elke p ∈ Uα geldt dat ψ1α(x) · (ψα2(F (x)))
−1 dezelfde waarde geeft voor alle
x ∈ π1−1({p}). We kunnen dus definieren λα(p) := ψα1(x) · ψ
2
α(F (x))
−1
voor een x ∈ π1−1({p}). Er geldt per definitie dat g1
αβ(p) = ψα1(x) · (ψ1β(x))
−1en g2
αβ(p) = ψα2(F (x)) · (ψβ2(F (x))) −1
voor een x ∈ π1−1({p}). Het gewenste resultaat volgt nu meteen.
“⇐” Stel nu dat er voor elke α ∈ J een functie λα is zodat voor alle p ∈ Uα∩ Uβ geldt
dat g2
αβ(p) = (λα(p))−1· g1αβ(p) · λβ(p). Dan geldt dus voor alle p ∈ Uα∩ Uβ dat
(λα(p))−1 = g2αβ(p) · (λβ(p))−1· (g1αβ(p)) −1
. Defini¨eer nu voor iedere α ∈ J de functie Fα : π−11 (Uα)
∼
−→ π2−1(Uα) door
Fα(x) := Ψ2α
−1
We weten dat per definitie geldt
gαβ1 (π(x)) := ψ1α(x) · (ψβ1(x))−1.
Het combineren van deze drie vergelijkingen geeft voor alle x ∈ π1−1(Uα) ∩ π1−1(Uβ)
Fα(x) = Ψ2α −1 (π1(x), (λα(π(x)))−1· ψ1α(x)) = Ψ2α−1 (π1(x), gαβ2 (π(x)) · (λβ(π(x)))−1· (gαβ1 (π(x))) −1· ψ1 α(x)) = Ψ2α−1 (π1(x), gαβ2 (π(x)) · (λβ(π(x)))−1· ψβ1(x)) = Ψ2α−1◦ Ψ2αβ(π1(x), (λβ(π(x)))−1· ψβ1(x)) = Ψ2β−1(π1(x), (λβ(π(x)))−1· ψβ1(x)) = Fβ(x).
Met het plaklemma kan dus een continue functie F : E1 → E2 geconstrueerd worden
die voor iedere α ∈ J voor x ∈ π1−1(Uα) gelijk is aan Fα. Er kan gemakkelijk
gecon-troleerd worden dat deze F een bundelequivalentie is. Dus de bundels (E1, M, π1, G) en
(E2, M, π2, G) zijn equivalent.
De transitiefuncties geven als het ware een plakvoorschrift voor hoe de triviale ge-deelten van de bundel {EUα} aan elkaar geplakt moeten worden om de hele bundel te
verkrijgen. Het is dan ook zo dat de hele principale bundel (E, M, π, G) op bundelequi-valentie na vastligt, als een overdekking {Uα} van M met bijbehorende transisiefuncties
gegeven is. We zullen dit belangrijke resultaat presenteren zonder het te bewijzen, om-dat het bewijs lang en niet inzichtelijk is. Voor het volledige bewijs wordt verwezen naar het vierde hoofdstuk van Topology, Geometry and Gauge fields van Gregory L. Naber [5].
Stelling 3.3.5. Laat M een Hausdorffruimte zijn en G een topologische groep. Stel {Uα|α ∈ J} is een open overdekking van M en stel voor elke α, β ∈ J met Uα∩ Uβ 6= ∅
is een continue functie gαβ : Uα∩ Uβ → G gegeven, waarvoor geldt
gαβ(p) · gβγ(p) = gαγ(p),
voor alle α, β, γ ∈ J en alle p ∈ Uα ∩ Uβ ∩ Uγ. Dan bestaat er een principale bundel
(E, M, π, G) die lokale trivialisaties heeft voor Uα voor alle α ∈ J en die de volgende
transitiefuncties heeft
Ψαβ(p, g) = ((IdUα∩Uβ(p), gαβ(p) · g).
Bovendien is deze bundel uniek op bundelequivalentie na.
In het geval dat M een sfeer is, ofwel M = Sn, kan zelfs nog iets sterkers dan dit
bewezen worden. Hiermee kunnen we, gegeven de transitiefuncties van de principale bundel over Sn, zien of de twee bundels equivalent zijn. Zo kunnen we met behulp van de transitiefuncties alle mogelijke principale G-bundels over Sn classificeren.
3.4. Classificatie van principale G-bundels over S
nWe kunnen precies bepalen wat alle equivalentieklassen zijn van de principale G-bundels over een n-dimensionale sfeer. Voor Sn kunnen namelijk altijd de open omgevingen UZ = Sn\{(1, 0, . . . , 0)} en UN = Sn\{(−1, 0, . . . , 0)} gebruikt worden als omgevingen
waarop de lokale trivialisaties gedefini¨eerd zijn (U1 en U2 uit voorbeeld 3.1.5 komen
precies overeen met deze UZ en UN). Omdat UZ en UN homotoop zijn met een punt, is
elke bundel over UZ of UN equivalent aan de triviale bundel ([5]).
De evenaar van Sndie gegeven wordt door {(x
0, . . . , xn) ∈ Sn : x0 = 0} = {(0, x1, . . . , xn) :
x21+ · · · + x2n = 1} is duidelijk homeomorf met Sn−1 en ligt bevat in zowel UZ als UN.
Daarom kunnen we nu het volgende defini¨eren.
Definitie 3.4.1. Laat (E, Sn, π, G) een principale G-bundel over Sn en beschouw de lokale trivialisaties van deze bundel op UZ en UN. Noem V := UZ ∩ UN en bekijk
gN Z : V → G zodat de transitiefunctie ΨN Z(p, g) = (p, gN Z(p) · g) (uit lemma 3.2.2).
Dan wordt de karakteristieke afbeelding van deze bundel T : Sn−1 → G gedefinieerd door T := gN Z
Sn−1,
waar Sn−1 gezien wordt als de evenaar van Sn en dus bevat zit in V .
Omdat V homotopie-equivalent is met Sn−1 is er een ´e´en-op-´e´n-relatie tussen de ho-motopieklassen van afbeeldingen met als domein V en de hoho-motopieklassen van afbeel-dingen met als domein Sn−1. De homotopieklasse van T kan dus ge¨ıdentificeerd worden
met de homotopieklasse van gN Z.
Laat P de projectie van V op Sn−1 gegeven door
P (x0, x1, . . . , xn) = (0, x1 px2 1+ · · · + x2n , . . . , xn px2 1+ · · · + x2n ), dan kan nu het volgende lemma bewezen worden.
Lemma 3.4.2. Voor iedere continue afbeelding T van Sn−1 naar G bestaat er op
bun-del equivalentie na een unieke principale G-bunbun-del over Sn met T als karakteristieke afbeelding.
Bewijs. Stel T is een continue afbeelding van Sn−1 naar G. Neem weer U
Z en UN als
overdekking van Sn en defini¨eer op V de functie
gN Z := T ◦ P.
De afbeeldingen T en P zijn beide continu, dus gN Z is ook continu. Definieer nu
gZN(p) := (gN Z(p))−1 voor alle p ∈ V en gZZ(p) = e voor alle p ∈ UZ en gN N(p) = e
voor alle p ∈ UN waar e ∈ G het eenheidselement voorstelt. Deze gN Z, gZN, gZZ en gN N
voldoen duidelijk aan de cocykelconditie en bovendien is Sn een Hausdorffruimte, dus
stelling 3.3.5 geeft nu dat er op bundelequivalentie na een unieke principale G-bundel over Sn bestaat met T als karakteristieke afbeelding.
We weten nu dus dat iedere functie van Sn−1 naar G een bundel over Sn geeft. Om de principale G-bundels over Sn te classificeren moeten we dus kijken wanneer twee
zulke functies equivalente bundels geven en wanneer niet. Dit doen we in het volgende belangrijke lemma. Voor het bewijs van dit lemma zullen we gebruik maken van lemma 3.3.4.
Lemma 3.4.3. Laat (E1, Sn, π1, G) en (E2, Sn, π2, G) twee principale bundels over Sn
(n ≥ 2) met karakteristieke functies T1 en T2 en G padsamenhangend, dan geldt dat
(E1, Sn, π1, G) en (E2, Sn, π2, G) equivalent zijn dan en slechts dan als T1 en T2 homotoop
zijn (T1 ' T2).
Bewijs. “⇒” Stel (E1, Sn, π1, G) en (E2, Sn, π2, G) zijn equivalent. Volgens lemma 3.3.4
bestaan er dan functies λN : UN → G en λZ : UZ → G zodat voor alle p ∈ V geldt
gN Z2 (p) = (λN(p))−1· g1N Z(p) · λZ(p).
Defini¨eer µi = λi
Sn−1 voor i = N, Z, dan geldt dus T2(p) = (µN(p)) −1 · T
1(p) · µZ(p)
voor alle p ∈ Sn−1. De functies µi zijn restricties van λi, waar λi een functie is op de
samentrekbare ruimte Ui, dus de functies µi zijn nulhomotoop. Noem de bijbehorende
homotopie¨en Hi : Sn−1 × [0, 1] → G met Hi(p, 0) = µi(p) en Hi(p, 1) = e voor alle
p ∈ Sn−1, waar e het eenheidselement4 van G voorstelt.
Hiermee kunnen we een homotopie H : Sn−1× [0, 1] → G defini¨eren tussen T
1 en T2,
namelijk
H(p, t) := (HN(p, t))−1· T1(p) · HZ(p, t).
Hieruit volgt dat T1 ' T2.
“⇐” Stel nu dat T1 homotoop is met T2. Dan is er dus een homotopie H : Sn−1×
[0, 1] → G met H(p, 0) = T1(p) en H(p, 1) = T2(p). Nu kunnen we ˜H : Sn−1× [0, 1] → G
defini¨eren door
˜
H(p, t) := T1(p) · (H(p, t))−1.
Hiervoor geldt dat ˜H(p, 0) = T1(p) · (T2(p))−1 en ˜H(p, 1) = T1(p) · (T1(p))−1 = e, dus
T1T2−1 : Sn−1 → G gedefini¨eerd door (T1T2−1)(p) := T1(p) · (T2(p))−1 is nulhomotoop. Er
is dus een functie ν : DN → G waarvoor geldt dat ν
Sn−1 = T1T −1
2 , waar DN de bovenste
helft van Sn voorstelt, ofwel
DN := {(x0, . . . , xn) ∈ Sn : x0 ≥ 0} ⊂ UN.
Defini¨eer nu op UN de functie λN : UN → G door
λN(p) :=
(
ν(p) als p ∈ DN
gN Z1 (p) · (gN Z2 (p))−1 anders.
Op Sn−1 geldt dat ν(p) = T1(p)·(T2(p))−1 = gN Z1 (p)·(gN Z2 (p))−1, dus met het plaklemma
volgt dat λN continu is.
Definieer nu ˜UZ := Int(DZ) := {(x0, . . . , xn) ∈ Sn: x0 < 0} ⊂ UZ en vervang UZ voor
˜
UZ in de trivialiserende omgevingen en vervang de lokale trivialisaties en de
transitie-functies voor de bijbehorende restricties voor beide bundels. Dus {(UN, ΨjN), ( ˜UZ, ˜ΨjZ)}
zijn nu de lokale trivialisaties van (Ej, Sn, πj, G) voor j = 1, 2. Merk op dat nu geldt
dat UN ∩ ˜UZ disjunct is met DN.
Defini¨eer λZ : ˜UZ → G door λZ(p) = e voor alle p ∈ ˜UZ. Dan geldt nu voor p ∈ UN∩ ˜UZ
dat (λN(p))−1· g1N Z(p) · λZ(p) = g2N Z(p) · (g 1 N Z(p)) −1· g1 N Z(p) = g 2 N Z(p).
Hieruit volgt met lemma 3.3.4 het gewenste resultaat.
Dit is precies wat we nodig hebben om de principale G bunndels over Sn te
classi-ficeren. We hebben met dit lemma namelijk een ´e´en-op-´e´en-relatie aangetoond tussen de equivalentieklassen van principale G-bundels over Sn en de homotopieklassen van continue functies van Sn−1 naar G. Van dit laatstgenoemde is al veel bekend. Naar de
zogenaamde homotopiegroepen is namellijk al veel onderzoek gedaan.
De n-de homotopiegroep van een ruimte X wordt geschreven als Πn(X) en is de
verza-meling5 van alle homotopieklassen van continue afbeeldingen van Snnaar X. Als de n-de
homotopiegroep van twee ruimtes niet overeenkomt, zijn deze ruimtes niet homotopie-equivalent. De homotopiegroepen kunnen dus gebruikt worden om aan te tonen dat twee ruimtes niet homotopie-equivalent zijn. De simpelste homotopiegroep Π1(X) wordt ook
wel de fundamentaalgroep genoemd.
We formuleren de concluderende stelling van deze paragraaf.
Stelling 3.4.4. Stel G is een padsamenhangende groep en n ≥ 2, dan zijn de equiva-lentieklassen van principale G-bundels over Sn in ´e´en-op-´e´en-relatie met elementen van
Πn−1(G).
Bewijs. Stel T is de karakteristieke afbeelding van de principale bundel (E, Sn, π, G),
dan is de afbeelding
[(E, Sn, π, G)] 7→ [T ],
waar [(E, Sn, π, G)] de equivalentieklasse van (E, Sn, π, G) is en [T ] de klasse van T in Πn−1 is, met lemma 3.4.3 goed gedefini¨eerd en een bijectie.
Voorbeeld 3.4.5. De Hopf-bundel
De Hopf-bundel uit voorbeeld 3.1.5 is een principale bundel over S2 en de vezel G
van deze bundel is S1. We weten dat S1 padsamenhangend is, dus we kunnen stelling
3.4.4 gebruiken om de principale S1 bundels over S2 te classificeren. Stelling 3.4.4 zegt namelijk dat de equivalentieklassen van deze bundels in ´e´en-op-´e´en-relatie zijn met elementen van Π1(S1). We weten dat Π1(S1) ∼= Z, dus voor ieder geheel getal bestaat
er een principale S1-bundel over S2.
In voorbeeld 3.2.4 hebben we al gezien dat de karakteristieke afbeelding (die we toen nog niet zo noemden) van de Hopf-bundel homotoop is aan de identiteit. De homoto-pieklasse van de identiteit correspondeert met het gehele getal 1 ∈ Z.
5Op deze verzameling is een groepsstructuur aangebracht (vandaar de naam homotopiegroep), maar deze is niet relevant voor deze tekst.
De volgende bundels zullen belangrijk blijken voor het bestuderen van instantonen. Voorbeeld 3.4.6. Als we alle principale Sp(1) bundels over S4 willen bekijken moeten
we dus kijken naar Π3(Sp(1)). Met Sp(1) wordt hier de groep van alle quaternionen met
norm 1 bedoeld, ofwel
Sp(1) = {q ∈ H : |q| = 1} = {a + bi + cj + dk ∈ H : a2+ b2 + c2+ d2 = 1}. Deze ondergoep van de multiplicative groep van de quaternionen H∗ is duidelijk homeo-morf met S3, dus Π3(Sp(1)) ∼= Π3(S3) ∼= Z. Dus weer geldt dat er voor ieder geheel
getal een Sp(1)-bundel over S4 bestaat.
Als in het voorbeeld van de Hopf-bundel (voorbeeld 3.1.5) alle complexe getallen wor-den vervangen voor quaternionen, wordt dit een Sp(1)-bundel over S4 die correspondeert met het gehele getal 1 ∈ Z. De topologische groep Sp(1) blijkt isomorf en homeomorf te zijn met SU (2), via het homeomorfisme
a + bi + cj + dk 7→ a + bi c + di −c + di a − bi .
Dit voorbeeld geeft dus ook voor elke geheel getal een principale SU (2)-bundel over S4. In de komende hoofdstukken zullen we zien waarom voorgaande twee voorbeelden zo belangrijk zijn.
