De eindige actie oplossingen van de euclidische veldvergelijkingen van een theorie worden instantonen genoemd. Het zal in dit hoofdstuk blijken dat door naar dit soort oplossingen van de Yang-Mills-theorie te kijken er met principale bundels (hoofdstuk 3) en connecties daarop (hoofdstuk 4) een zelfde soort klassenverdeling van de oplossingen gevonden kan worden, als we in hoofdstuk 2 voor de kink en de antikink en voor het niet-lineaire O(3)-model hebben gezien.
De eerste paragraaf van dit hoofdstuk is geschreven aan de hand van het boek Solitons and Instantons van R. Rajaraman [6]. In de tweede paragraaf van dit hoofdstuk is dit boek samen met Topology, Geometry and Gauge fields van Gregory L. Naber [5] als bron gebruikt, tenzij anders vermeld.
5.1. Euclidische veldentheorie
Tot noch toe hebben we steeds de minkowskische metriek gµν gebruikt, waarbij g00 = 1 en gij = −δ
ij in alle andere gevallen. Deze metriek speelt erop in dat systemen invariant
zijn onder Lorentz-transformaties (ook wel O(1, 3)-transformaties genoemd). In deze metriek is een uitdrukking als xµxµ = t2 − x21− x22− x23 namelijk invariant onder deze
transformaties, waar de lichtsnelheid weer gelijk aan 1 is gesteld.
Instantonen zijn echter oplossingen van euclidische systemen. Een euclidisch systeem kan beschouwd worden als een systeem in de vierdimensionale euclidische ruimte in plaats van in de minkowskische ruimte-tijd. De euclidische metriek is dan simpelweg δµν, en
xµxµ= x21+ x22+ x23+ x24 is nu een invariant, waar x4 de tijdscomponent van het systeem
voorstelt. Euclidische systemen zijn daarom invariant onder O(4)-transformaties, die de rotaties en spiegelingen van de vierdimensionale ruimte voorstellen.
In een minkowskisch systeem is dus t2− x2
1− x22− x23 invariant terwijl in een euclidisch
systeem x21+ x22+ x23+ x24 invariant is. Om van een minkowskisch systeem een euclidisch systeem te maken kan daarom de transitie t = −ix4 en SEuc = −iSM in gedaan worden.
Hier wordt met SEuc de actie in het euclidische systeem en met SM in de actie in het
minkowskische systeem bedoelt. Hoe dit gaat zal ge¨ıllustreerd worden in het volgende voorbeeld.
5.1.1. Dubbele potentiaalput
Beschouw een deeltje in ´e´en ruimte en ´e´en tijdsdimensie dat zich bevindt in ´e´en van de twee minima van de volgende potentiaal (te zien in figuur 5.1)
V (x) = 1 4(x
2 − 1)2, (5.1)
waar x de plaats van het deeltje voorstelt. Deze potentiaal wordt de dubbele potenti- aalput genoemd vanwege zijn twee minima.
x V
Figuur 5.1.: De vorm van de potentiaal van het dubbele-potentiaalput-probleem.
De Lagrangiaan van dit systeem wordt gegeven door LM in= 1 2 dx dt 2 − 1 4(x 2− 1)2, (5.2)
waar ‘Min’ staat voor minkowskisch, omdat we nu nog de minkowskische versie van het systeem bekijken. Om naar de euclidische versie van het systeem te gaan moet de transitie t = −iτ en SEuc = −iSM in gedaan worden1. Er volgt dat
SEuc = −iSM in= −i
Z ∞ −∞ (1 2 dx dt 2 − 1 4(x 2 − 1)2) dt (5.3) = −i Z ∞ −∞ (1 2 dx d(−iτ) 2 − 1 4(x 2− 1)2 ) d(−iτ) (5.4) = Z ∞ −∞ (1 2 dx dτ 2 + 1 4(x 2− 1)2) dτ. (5.5)
1We gebruiken in dit geval τ in plaats van x
4, omdat we maar met ´e´en ruimte en ´e´en tijdsdimensie te maken hebben. De fysische betekenis van τ is echter gelijk aan die van x4.
De Lagrangiaan van de euclidische versie van het systeem blijkt dus LEuc= 1 2 dx dτ 2 +1 4(x 2− 1)2 (5.6)
te zijn, die de volgende veldvergelijking geeft d2x dτ2 = dV dx = x 3− x. (5.7) Maar deze veldvergelijking hebben we al opgelost in hoofdstuk 2. Dit is namelijk dezelfde vergelijking als vergelijking (2.16), maar dan met x in plaats van φ, τ in plaats van x en λ = m = 1. Dit was de veldvergelijking voor statische oplossingen van het kink-antikink-systeem, ofwel ˙φ was gelijk aan nul gesteld.
Er geldt dat wat hier onze euclidische actie is (5.5) nu correspondeert met de energie (2.9) van oplossingen van het systeem uit hoofdstuk 2. Voor instantonoplossingen wordt ge¨eist dat de actie eindig is terwijl voor solitaire-golf-oplossingen wordt ge¨eist dat de energie eindig is. De instantonoplossingen van het dubbele-potentiaalput-systeem komen dus overeen met de statische solitaire-golf-oplossingen van het kink-antikink-systeem uit paragraaf 2.1.
De instantonoplossingen die we zoeken corresponderen dus met de kink- en de anti- kinkoplossing (2.21). Deze worden in dit geval
x(τ) = ± tanh 1 √ 2(τ − τ0) . (5.8)
Net als voor de statische solitaire-golf-oplossingen uit paragraaf 2.1, kunnen we de in- stantonoplossingen van dit systeem in vier topologische klassen indelen.
We zullen nu de kinkoplossing bekijken, ofwel de oplossing uit (5.8) met het plusteken (zie ook figuur 2.2). Voor τ → −∞ gaat de plaats van het deeltje in het euclidische systeem naar −1 en voor τ → ∞ gaat de plaats van het deeltje naar 1. Dit beschrijft dus een manier voor een deeltje, dat zich met energie nul in het ene minimum bevindt, om naar het andere minimum van de potentiaal te bewegen.
Dit gebeurt natuurlijk wel in de euclidische ruimte-tijd en niet in de minkowskische, dus in eerste instantie zecht dit niets over het originele minkowskische systeem. Maar het blijkt dat deze instantonoplossingen toch gebruikt kunnen worden bij het bestuderen van het tunnelgedrach van deeltjes in de dubbele potentiaalput. En in het algemeen kunnen instantonen gebruikt worden om het tunnelgedrach van deeltjes te bestuderen ([6]).
5.2. Yang-Mills-Instantonen
In deze paragraaf zullen we ons bezig houden met instantonoplossingen van het Yang- Mills-systeem. Het Yang-Mills-systeem is een systeem dat invariant is onder SU (2) ijktransformaties en de gezochte oplossingen zijn SU (2) ijkvelden Aµ. Voor instanton-
zijn dus ijkvelden Aµ met µ = 1, 2, 3, 4, die waarden aannemen in de Lie-algebra van
SU (2) en bovendien wordt de euclidische metriek gebruikt waardoor we alle indices laag kunnen zetten (omdat er in de euclidische metriek geen verschil is tussen een lage en een hoge index). De ijkvelden Aµ kunnen we wiskundig formuleren als een SU (2)-waardige
1-vorm A op R4, waar
A = A1dx1+ A2dx2+ A3dx3+ A4dx4 (5.9)
en waar met SU (2) de Lie-algebra van SU (2) wordt bedoeld.
De veldsterkte Gµν wordt equivalent aan (4.31) uit paragraaf 4.1 gedefini¨eerd door
Gµν = ∂µAν − ∂νAµ+ [Aµ, Aν]. (5.10)
We hebben gezien dat deze veldsterkte transformeert volgens
Gµν → G0µν = g(x)Gµν(g(x))−1, (5.11)
waar de functie g aan ieder punt in de ruimte-tijd op een continue manier een element uit SU (2) toekent. Hierom geldt dat Tr(GµνGµν) invariant is onder ijktransformaties (dit is
de euclidische variant van Tr(GµνG
µν), met simpelweg de euclidische metriek in plaats
van de minkowskische metriek). De Lagrangiaan van het euclidische Yang-Mills-systeem die wij zullen gebruiken wordt dan ook gegeven door
L = −1
2Tr(GµνGµν). (5.12) Met de Euler-Lagrange-vergelijkingen kunnen hieruit de Yang-Mills-vergelijkingen wor- den gehaald waar oplossingen voor dit systeem aan moeten voldoen.
We zoeken oplossingen Aµ voor dit systeem met eindige actie, ofwel met
S = −1 2
Z
R4
Tr(GµνGµν) d4x < ∞. (5.13)
Dit betekent dat voor r → ∞ de waarde van Tr(GµνGµν) in alle richtingen snel genoeg
naar nul moet gaan, waar r =px2
1+ x22+ x23 + x24 de afstand tot de oorsprong voorstelt.
Laten we nu eerst het geval bekijken waarvoor Tr(GµνGµν) = 0 voor alle x ∈ R4. We
zien met vergelijking (4.31) duidelijk dat dit het geval is, als Aµ= 0 voor alle µ en alle
x ∈ R4. Maar Tr(GµνGµν) is ijkinvariant, waardoor iedere ijkgetransformeerde (Az)µ
van het nul-veld ook als resultaat heeft dat de bijbehorende Lagrangiaan identiek nul is. Deze ijkvelden die een ijkgetransformeerde zijn van het nul-veld heten zuivere ijken en zijn van de vorm
(Az)µ(x) = (g(x))−1∂µ(g(x)), (5.14)
waar g in dit geval een continue functie van de ruimt-tijd (R4) naar SU (2) is (dit is de ijkgetransformeerde van het nulveld met de functie (g(x))−1). Het blijkt zelfs zo te zijn dat ieder ijkveld waarvoor geldt, dat de veldsterkte identiek nul is, een zuivere ijk is.
Voor instantonen eisen we dat Tr(GµνGµν) in alle richtingen naar nul gaat als r → ∞.
niet de enige optie. Als Aµnamelijk in alle richtingen in de limiet een zuivere ijk is, volgt
ook dat Tr(GµνGµν) in alle richtingen naar nul moet gaan als r → ∞. Het omgekeerde
hiervan blijkt ook waar te zijn, dus instantonoplossingen moeten in alle richtingen in de limiet een zuivere ijk zijn.
Het blijkt zelfs dat we deze wat vaag geformuleerde conclusie in dit geval een stuk concreter kunnen formuleren ([7]). Er geldt namelijk als Aµ een instantonoplossing van
het Yang-Mills-systeem is, dat er dan een R ∈ R≥0 en een functie g : R4\DR→ SU (2),
waar DR:= {x ∈ R4 : |x| ≤ R}, bestaan zodat in alle richtingen geldt dat
lim
r→∞Aµ= limr→∞ (g(x)) −1
∂µ(g(x)). (5.15)
Er geldt dat R4\DR homotoop is met S3. Voor iedere ρ > R kunnen we de driedi-
mensionale sfeer S3
ρ defini¨eren door Sρ3 := {x ∈ R2 : |x| = ρ}, waarme we de afbeelding
gρ:= g
S3
ρ kunnen defini¨eren. Gezien als afbeelding van S
3 naar SU (2) zijn de afbeeldin-
gen gρ1 en gρ2 duidelijk voor alle R < ρ1 < ρ2 homotoop, aangezien de functie g continu
is en in het gebied {x ∈ R4 : ρ
1 < |x| < ρ2} overal gedefini¨eerd is. We kunnen op deze
manier dus aan g een homotopieklasse in Π3(SU (2)) toekennen.
Deze homotopieklasse geeft intu¨ıtief een klassenindeling voor de instantonoplossingen van het Yang-Mills-systeem. Het volgt nu echter niet direct dat door continue verande- ringen een instantonoplossing Aµ gegarandeerd dezelfde homotopieklasse in Π3(SU (2))
houd. Het blijkt dat dit wel het geval is (wat we straks ook zullen zien). We heb- ben al gezien dat SU (2) homeomorf is met S3, dus Π
3(SU (2)) ∼= Π3(S3) ∼= Z. We
kunnen dus een index (een getal uit Z) toekennen aan een instantonoplossing in het Yang-Mills-systeem. Deze index wordt vaak de Pontryagin-index genoemd.
We zullen deze discussie voortzetten door enkele conclusies die we net getrokken heb- ben te vertalen in termen van Lie-algebra-waardige 1-vormen. We hebben al gezien dat Aµ correspondeert met de Lie-algebra-waardige 1-vorm uit vergelijking (5.9). Met ver-
gelijking (4.72) kunnen we inzien dat een zuivere ijk gescheven als 1-vorm Az eruit ziet
als
(Az)(x)(v) = (g(x))−1· (Txg)(v) (5.16)
voor elke v ∈ TxR4. En dus (met vegelijking 4.71) dat een zuivere ijk van de vorm is
Az = g∗Θ (5.17)
waar g een funtie is naar SU (2), die gedefini¨eerd is op het gebied waarop de zuivere ijk gedefini¨eerd is, en Θ de Cartan kanonieke 1-vorm op SU (2) voorstelt. Voor een instantonoplossing van het Yang-Mills-systeem geschreven als Lie-algebra-waardige 1- vorm A moet dus gelden dat er een R ∈ R≥0 en een functie g : R4\DR→ SU (2) bestaan
zodat in alle richtingen geldt dat lim
r→∞A = limr→∞g ∗
Θ. (5.18)
Laat nu een instantonoplossing A gegeven zijn, met bijbehorende R en g : R4\D R→
SU (2), zodat (5.18) geldt. Daarmee defini¨eren we een Lie-algebra waardige 1-vorm ˜B op R4\DR door
˜
Voor deze ˜B geldt nu op R4\DR duidelijk dat A = ˜B + g∗Θ en bovendien geldt wegens
(5.18) dat limr→∞B = 0. Aan de hand van deze ˜˜ B defini¨eren we de Lie-algebra-waardige
1-vorm B op R4\D R door
B := adg ◦ ˜B, (5.20)
ofwel voor alle x ∈ R4\DR geldt B(x) = adg(x)◦ ( ˜B(x)), waar adg(x) de functie gede-
fini¨eerd in (4.60) is. Aangezien SU (2) een matrix-Lie-groep is kunnen we met vergelijking (4.61) kunnen we zien dat ook voor B geldt dat limr→∞B = 0.
Aangezien het limiet van B in alle richtingen naar oneindig gelijk is, kunnen we B uitbreiden tot “het punt in oneindig”. Aan het complexe vlak kunnen we “het punt in oneindig” toevoegen om zo de Riemann-sfeer te krijgen. Op dezelfde manier kunnen we “het punt in oneindig” toevoegen aan R4 om zo een ruimte homeomorf met S4 te verkrijgen.
We kunnen een homeomorfisme ϕ : S4 → R4 ∪ {∞} kiezen zodat de zuidpool
(−1, 0, 0, 0, 0) ∈ S4 afgebeeld wordt op (0, 0, 0, 0) ∈ R4 ∩ {∞}, zodat de noordpool (1, 0, 0, 0, 0) ∈ S4 afgebeeld wordt op ∞ ∈ R4 ∩ {∞} en zodat de evenaar S3 =
{(x1, x2, . . . , x5) ∈ S4 : x1 = 0} ⊂ S4 wordt afgebeeld op SR3 ⊂ R4 ∩ {∞}. Er geldt
dan dat R4 correspondeert met UZ := S4\{(1, 0, 0, 0, 0)} in S4 en dat (R4\DR) ∩ {∞}
correspondeert met ˜UN := {(x1, . . . , x5) ∈ S4 : x1 > 0} in S4.
We zullen vanaf nu A zien als Lie-algebra-waardige 1-vorm op UZ en B als Lie-algebra-
waardige 1-vorm op ˜UN, waar dus B gelijk aan nul is op (1, 0, 0, 0, 0) ∈ S4. Deze B is
continu omdat het limiet van B op R4\D
R naar oneindig in alle richtingen gelijk aan
nul was. Bovendien zien we nu g als functie van UZ∩ ˜UN naar SU (2). Uit de definitie
van B in (5.20) en van ˜B in (5.19) zien we duidelijk dat op UZ∩ ˜UN geldt dat
A = adg−1◦ B + g∗Θ, (5.21)
waardoor we nu lemma 4.3.2 kunnen toepassen.
Dit lemma samen met lemma 3.3.5 vertelt ons nu dat er een principale SU (2)-bundel bestaat, namelijk die met UZ en ˜UN als trivialiserende omgevingen en met g als transi-
tiefunctie, en een connectie ω op die bundel zodat A = (sZ)∗ω en B = (sN)∗ω, waar sZ
en sN de kanonieke lokale secties op UZ en ˜UN zijn.
Voor alle instantonoplossingen A van het Yang-Mills-systeem geldt dus dat er een principale SU (2) bundel over S4 bestaat en een connectie ω op die bundel, zodat deze
connectie teruggetrokken naar UZ (ofwel R4) door de kanonieke sectie A oplevert. We
kunnen deze connecties indelen in klassen, aan de hand van de principale SU (2)-bundel waarop ze gedefini¨eerd zijn.
In voorbeeld 3.4.6 hebben we al gezien dat de principale SU (2)-bundels over S4 ge- classificeerd worden door Π3(SU (2)) ∼= Z. Hiermee kunnen we dus ook aan elke instan-
tonoplossing een geheel getal toekennen. Over welke bundel de connectie gedefini¨eerd moet worden, is afhankelijk van de homotopieklasse van de transitiefunctie g. Dit geeft dus dezelfde klassenindeling als de intu¨ıtive klassenindeling die we eerder in deze pa- ragraaf gevonden hebben. Met behulp van connecties op principale bundels hebben we dus de Pontryagin-index van instantonoplossingen van het Yang-Mills-systeem zien terugkomen.
Het blijkt zo te zijn dat er voor iedere SU (2)-bundel over S4 een connectie bestaat die correspondeert met een Yang-Mills-instanton. Zo is er dus voor ieder geheel getal n ∈ Z een Yang-Mills-instanton met Pontryagin-index n. Dit wordt een n-instanton genoemd.
6. Besluit
We hebben in deze tekst gezien dat topologie een rol kan spelen in het natuurkundige probleem van het oplossen van veldvergelijkingen. Door randcondities opgelegd door de fysica achter een systeem kan soms de oplossing van veldvergelijkingen gezien worden als afbeelding tussen twee niet triviale (niet samentrekbare) topologische ruimtes, waar- door er soms een niet-triviale indeling in homotopieklassen van de oplossingen van de veldvergelijkingen gemaakt kan worden.
Bovendien hebben we gezien dat als de oplossing van de vergelijkingen een Lie-algebra- waardige 1-vorm is, dat deze dan onder bepaalde omstandigheden geschreven kan worden als de pullback door een lokale sectie van een connectie op een bepaalde principale bundel. Welke principale bundel daarvoor gekozen moet worden defini¨eerd ook een bepaalde indeling van deze oplossingen in homotopieklassen.
Dat is wat we gebruikt hebben om een klassenindeling te kunnen maken voor instan- tonoplossingen van het Yang-Mills-systeem. Deze bleken namelijk altijd te corresponde- ren met de pullback door een lokale sectie van een connectie over een principale SU (2) bundel over S4, waarvan bleek dat er voor ieder geheel getal zo een bundel bestaat. Het is dan ook zo dat er voor ieder geheel getal een Yang-Mills-instanton bestaat.
Deze instantonoplossingen kunnen, net zoals in het dubbele-potentiaalput-systeem, helpen bij het bestuderen van tunnelgedrag in de (gewone) minkowskische versie van het Yang-Mills-systeem. Om erachter te komen hoe dit precies gaat is meer quantum- mechanische achtergrond en bovendien kennis van psdintegralen nodig. Dit zou echter een mooi vervolg op de natuurkunde uit deze tekst vormen.
Om verder te gaan op de wiskunde uit deze tekst zou gekeken kunnen worden naar de zogenaamde moduliruimte van connecties op een bepaalde bundel. Dit is grofweg de ruimte van alle connecties op een bepaalde principale bundel uitgedeeld naar ijkequiva- lentie van deze connecties. Dit blijkt te interpreteren te zijn als topologische ruimte en wordt gebruikt in de quantumveldentheorie. Dit onderwerp zou dus ook goed op deze tekst aansluiten.
Al met al hebben we een mooie samenkomst gezien van theorie¨en uit de wiskunde en theorie¨en uit de natuurkunde. Hiermee een manier is gevonden om de vectorpotentiaal van Dirac’s magnetische monopool globaal te beschrijven. Bovendien hebben we hiermee een index (de Ponrtyagin-index) aan instantonen in het Yang-Mills-systeem toegekend.
Bibliografie
[1] Aharonov, Y. & Bohm, D. (1959), Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory. The Physical Review, Vol. 115, 485-491.
[2] Hooft, G. ’t, Gerard ’t Hooft, Home Page. http://www.staff.science.uu.nl/ ~hooft101/art2.html
[3] Hopf, H. (1930), ¨Uber die Abbildungen der driedimensionalen Sph¨are auf die Ku- gelfl¨ache. Mathematische Annalen, Vol. 104, 637-665.
[4] Laenen, E., Smith, J. & Wit, B. de (2015), Field theory in particle physics.
[5] Naber, G. L. (2011), Topology, Geometry and Gauge fields. (Springer Sci- ence+Business Media, New York)
[6] Rajaraman, R. (1982), Solitons and Instantons. (North-Holland Publishing Com- pany, Amsterdam)
[7] Ulenbeck, K. (1979), Removable singularities in Yang-Mills fields Bulletin of the American mathematical society, Vol. 1, 579-581.
A. Populaire samenvatting
Stel je hebt een balletje dat perfect wit is en perfect rond. Je gooit dit balletje omhoog en je vangt het weer op. Met behulp van natuurwetten zoals de tweede wet van Newton, F = m · a, kan je precies berekenen hoe dat balletje door de lucht zal bewegen als je weet met welke snelheid het balletje je hand verlaat (we zullen de luchtweerstand verwaarlozen). Bovendien kan je gewoon zien waar het balletje zich bevindt op elk moment en hoe snel die beweegt, waarop jij kan anticiperen om het balletje uiteindelijk weer op te vangen.
Wat je echter niet kon zien is of het balletje in de lucht ook draaide. Het balletje is immers perfect wit en perfect rond. Maar dat maakt ook niet uit, want of dat balletje nu draait of niet het zal dezelfde baan in de lucht beschrijven. Het draaien van het balletje kunnen we dus zien als een ‘interne eigenschap’ van het balletje. Deze eigenschap heeft geen invloed op wat het balletje doet, tenzij het balletje in interactie met iets anders is. Als je het balletje bijvoorbeeld per ongeluk te hoog gooit zodat het tegen het plafond aan komt. In het geval dat het balletje niet draait zal het tegen het plafond botsen en daarna gewoon recht naar beneden vallen. Als het balletje echter draait op het moment dat het tegen het plafond aan komt zal het zich een beetje ‘afzetten’ tegen het plafond in de richting waarin het balletje draait en zal het dus niet meer recht naar beneden vallen. De baan van het balletje wordt in dat geval dus be¨ınvloed door deze ‘interne eigenschap’ op het moment dat het interactie heeft (botst) met het plafond of met iets anders. Het is dus zeker wel balangrijk om te kunnen bijhouden op ieder moment of het balletje draait en zo ja, hoe hard het draait en welke kant op. Dit zullen we zo beter bekijken, maar eerst volgt nu een klein intermezzo over knutselen.
Figuur A.1.: Een m¨obiusband.
niet dat het zo heette. Je neemt een strook papier, waarvan je de uiteinden aan elkaar vast gaat lijmen. Dit kan je op de normale manier doen, waardoor je een normale ring van papier krijgt (zie de linker kant van figuur A.2). Maar je kan ook voordat je de uiteinden aan elkaar plakt ´e´en van die uiteinden een slag draaien. Het resultaat is dan een m¨obiusband die te zien is in figuur A.1. De gewone ring is ‘hoe je het verwacht’ en deze noemen we daarom triviaal, terwijl de m¨obiusband ook mogelijk is maar niet ‘zoals je het verwacht’, waardoor we deze niet-triviaal noemen.
Figuur A.2.: Een gewonde ring (links) een een m¨obiusband (rechts), die symbool staan voor een triviale en een niet-triviale bundel.
Laten we nu teruggaan naar het balletje en zijn ‘interne eigenschap’ dat het draaide. We bekijken nu een balletje dat om zijn as draait, maar dat ondertussen ook in een rondje in de ruimte kan bewegen. De noordpool van het balletje beweegt dus langs de lijn gelabeld met ‘E’ in de linkerkant van figuur A.2, de zuidpool langs de lijn gelabeld met ‘B’ in diezelfde figuur en ondertussen draait het balletje om zijn as. Als nu het balletje naar links om zijn as draait en we laten het een heel rondje langs de band bewegen, terug op dezelfde plek als waar het begon, dan draait het balletje nog steeds naar links om zijn as.
Als we nu het balletje weer de mogelijkheid geven om in een rondje in de ruimte te bewegen, maar nu maken we de polen van het balletje vast aan de randen van de